中考数学冲刺专题规律探索

1 规律探索 一、代数部分 1．观察下列等式： 2 24 1 3 5   ； 2 25 2 3 7   ； 2 26 3 3 9   2 27 4 3 11   ；则第 n （ n 是正整数） 个等式为________. 2 2( 3) 3 (2 3)n n n     2．(09 成都)已知 2 1 ( 1 2 3 ...)( 1)na nn   ，，， ，记 1 12(1 )b a  ， 2 1 22(1 )(1 )b a a   ，…， 1 22(1 )(1 )...(1 )n nb a a a    ，则通过计算推测出 nb 的表达式 nb ＝_______．(用含 n 的代 数式表示) 1 2   n n 3.（四川内江）观察一列数 2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之 比是一个常数，根据此规律，如果 na （ n 为正整数）表示这个数列的第 n 项，那么 18a  ， na  ； （2）如果欲求 2 3 201 3 3 3 3     的值，可令 2 3 201 3 3 3 3S       ①，将①式 两边同乘以 3，得 ②由②减去①式，得 S  ． （3）用由特殊到一般的方法知：若数列 1 2 3 na a a a， ， ， ， ，从第二项开始每一项与前一项 之比的常数为 q ，则 na  （用含 1a q n， ， 的代数式表示），如果这个常数 1q  ， 那么 1 2 3 na a a a     （用含 1a q n， ， 的代数式表示）． 4．（09 江苏）下面是按一定规律排列的一列数： 第 1 个数： 1 112 2      ； 第 2 个数： 2 31 1 ( 1) ( 1)1 1 13 2 3 4                ； 第 3 个数： 2 3 4 51 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 1 1 14 2 3 4 5 6                          ； …… 第 n 个数： 2 3 2 11 1 ( 1) ( 1) ( 1)1 1 1 11 2 3 4 2 n n n                          ． 那么，在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中，最大的数是第 个数 2 6、（10 莱芜）已知： 321 232 3  C ， 10321 3453 5  C ， 154321 34564 6  C ，…， 观察上面的计算过程，寻找规律并计算 6 10C ． 7、（10 衢州）已知 a≠0， 1 2S a ， 2 1 2S S  ， 3 2 2S S  ，…， 2 010 2 009 2S S  ，则 2 010S  (用 含 a 的代数式表示)． 8. （ 11 成 都 ） 设 1 2 2 1 1=1 1 2S   , 2 2 2 1 1=1 2 3S   , 3 2 2 1 1=1 3 4S   ,…, 2 2 1 1=1 ( 1)nS n n    设 1 2 ... nS S S S    ，则 S=_________ (用含 n 的代数式表 示，其中 n 为正整数)． 1 22   n nn ． 9、（10 成都）已知 n 是正整数， 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )n n nP x y P x y P x y ， ， ， ， ， ， ， 是反比例函 数 ky x  图 象 上 的 一 列 点 ， 其 中 1 21 2 nx x x n   ， ， ， ， ． 记 1 1 2 2 2 3 1n n nA x y A x y A x y    ， ， ， ， ． 若 1A a （ a 是 非 零 常 数 ） ， 则 nAAAA  321 的值是____________________（用含 a 和 n 的代数式表示）． 3 10、（广西贵港）若记 y＝f(x)＝ x2 1＋x2，其中 f(1)表示当 x＝1 时 y 的值，即 f(1)＝ 12 1＋12＝ 1 2 ；f(1 2 )表示当 x＝1 2 时 y 的值，即 f(1 2 )＝ (1 2 )2 1＋(1 2 )2 ＝1 5 ；…； 则 f(1)＋f(2)＋f(1 2 )＋f(3)＋f(1 3 )＋…＋f(2011)＋f( 1 2011 )＝_ ．（20101 2 ） 11 、 （ 莆 田 ） 已 知 函 数 2( ) 1f x x   ， 其 中 ( )f a 表 示 当 x a 时 对 应 的 函 数 值 ， 如 2 2 2(1) 1 (2) 1 ( ) 11 2f f f a a      ， ， ，则 (1) (2) (3)..... (100)f f f f  = （5151 ） 12、（湖北 3 分）如图，已知直线 l：y= 3 3 x，过点 A （0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2；…；按此作法继续下去， 则点 nA 的坐标为 （用含有 n 的代数式表示） 13 、 （ 10 泸 州 ） 在 反 比 例 函 数 )0(10  xxy 的 图 象 上 ， 有 一 系 列 点 ,,,,,, 1321 nn AAAAA  若 1A 的横坐标为 2，且以后每点的横坐标与它前一点的横坐标 的差都是 2，现在分别过点 ,,,,,, 1321 nn AAAAA  作 x 轴和 y 轴的垂线段，构成若干 个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为 ,,,,, 321 nSSSS  则 _________1 S , ________321  nSSSS  (用含 n 的代数式表示) 42O y86 2S 2A 1A 4A3A x 3S 1S 4 14、（内江）在直角坐标系中，正方形 1 1 1 1A B C O 、 2 2 2 1A B C C 、…、 n n n n-1A B C C 按如图所 示的方式放置，其中点 1 2 3A A A、 、 、…、 nA 均在一次函数 y kx b  的图象上，点 1 2 3C 、C 、C 、…、 nC 均在 x 轴上．若点 1B 的坐标为（1，1），点 2B 的坐标为（3，2），则 点 nA 的坐标为 （2n－1－1，2n－1）。 15、（四川广安）如图所示，直线 OP 经过点 P（4，4 3 ），过 x 轴上的点 1、3、5、7、9、 11…分别作 x 轴的垂线，与直线 OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依 次记为 1S 、 2S … nS ，则 nS 关于 n 的函数关系式是 (8 4) 3nS n  。 16、（云南玉溪）如图，点 A1、A2、A3、……、An 在抛物线 2y x 图象点 B1、B2、B3、……、 Bn 在 y 轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、……、△AnBn－1Bn 都为等腰直角三角形（点 B0 是坐标原点）， 则△ 2011 2010 2011A B B 的腰长= ． 2011 2 17、（09 孝感）对正整数 n，抛物线 2 2 1 1 ( 1) ( 1) n n n n n y x x      与 x 轴交于 An、Bn 两点， 以 n nA B 表示这两点间的距离，则 1 1 2 2 3 3 2011 2011 2012 2012......A B A B A B A B A B     的 值是 5 18、（仙桃）如图所示，直线 y＝x＋1 与 y 轴相交于点 A1，以 OA1 为边作正方形 OA1B1C1，记 作第一个正方形；然后延长 C1B1 与直线 y＝x＋1 相交于点 A2，再以 C1A2 为边作正方形 C1A2B2C2， 记作第二个正方形；同样延长 C2B2 与直线 y＝x＋1 相交于点 A3，再以 C2A3 为边作正方形 C2A3B3C3，记作第三个正方形；…依此类推，则第 n 个正方形的边长为________________．n 19、（09 年泸州）如图，已知 Rt△ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点 C 作 CA1⊥AB， 垂足为 A1，再过 A1 作 A1C1⊥BC，垂足为 C1，过 C1 作 C1A2⊥AB，垂足为 A2，再过 A2 作 A2C2⊥BC，垂足为 C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段 CA1，A1C1， 1 2C A ，…， 则 CA1= ，  55 54 CA AC 5 12 ， 4 5 20、（09 肇庆）观察下列各式： 1 1 111 3 2 3       ， 1 1 1 1 3 5 2 3 5       ， 1 1 1 1 5 7 2 5 7       ，…， 根据观察计算： 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 (2 1)(2 1)n n         ＝ ．（n 为正整数） 21、(本溪)如图所示，已知：点 (0 0)A ， ， ( 3 0)B ， ， (01)C ， 在 ABC△ 内依次作等边三角形， 使一边在 x 轴上，另一个顶点在 BC 边上，作出的等边三角形分别是第 1 个 1 1AA B△ ，第 2 个 1 2 2B A B△ ，第 3 个 2 3 3B A B△ ，…，则第 n 个等边三角形的边长等于 ． 3 2n O y x(A) A1 C1 1 2B A2 A3 B3B2B1 6 二、几何部分 1、（资阳）如图，对面积为 1 的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长 AB、 BC、CA 至点 A1、B1、C1，使得 A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接 A1、B1、C1，得 到△A1B1C1，记其面积为 S1；第二次操作，分别延长 A1B1、B1C1、C1A1 至点 A2、B2、C2， 使得 A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接 A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面 积为 S2；…；按此规律继续下去，可得到△AnBnCn，则其面积 Sn=_____________ . 7 2、（重庆）观察下列图形，则第 n 个图形中三角形的个数是 4n …… 第 1 个 第 2 个 第 3 个 3、（桂林）如图，在△ABC 中，∠A＝ ．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点 A1，得∠A1； ∠A1BC 与∠A1CD 的平分线相交于点 A2，得∠A2； ……；∠A2011BC 与∠A2011CD 的平 分线相交于点 A2012，得∠A2012 ．则∠A2012＝ ． B A C D A1 A2 4、如图，△ABC 是边长为 1 的等边三角形．取 BC 边中点 E，作 ED∥AB，EF∥AC，得到四边 形 EDAF，它的面积记作 S1；取 BE 中点 E1，作 E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形 E1D1FF1，它的 面积记作 S2．照此规律作下去，则 S2011= ． 3 8 · 20101 4      。 5、（丽水）如图，图①是一块边长为 1，周长记为 P1 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去 一块边长为 1 2 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸 板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 2 1 ）后，得图③，④，…，记第 n(n≥3) 块 纸板的周长为 Pn，则 Pn-Pn-1= ▲ . 1 2 1       n … ① ② ③ ④ 6、（济宁）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角形中白色 三角形有 个 ．121 第1个 第2个 第3个 8 7．（宜宾）如图，菱形 ABCD 的对角线长分别为 ba、 ，以菱形 ABCD 各边的中点为顶点作 矩形 A1B1C1D1，然后再以矩形 A1B1C1D1 的中点为顶点作菱形 A2B2C2D2，……，如此下去，得到四 边形 A2009B2009C2009D2009 的面积用含 ba、 的代数式表示为 ． ab2010 2 1）（ 8、（杭州）如图， 1P 是一块半径为 1 的半圆形纸板，在 1P 的左下端剪去一个半径为 1 2 的半 圆后得到图形 2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得 图形 3 4, , , ,nP P P  ，记纸板 nP 的面积为 nS ，试计算求出 2S  ； 3S  ； 并猜想得到 1n nS S    2n  。 9、(湖州) 如图，已知 Rt ABC△ ， 1D 是斜边 AB 的中点，过 1D 作 1 1D E AC⊥ 于 E1 ，连 结 1BE 交 1CD 于 2D ；过 2D 作 2 2D E AC⊥ 于 2E ，连结 2BE 交 1CD 于 3D ；过 3D 作 3 3D E AC⊥ 于 3E ， … ， 如 此 继 续 ， 可 以 依 次 得 到 点 4 5D D， ， … ， nD ， 分 别 记 1 1 2 2 3 3BD E BD E BD E△ ，△ ，△ ，… ， n nBD E△ 的 面 积 为 1 2 3S S S， ， ， … nS . 则 nS =________ ABCS△ （用含 n 的代数式表示）.  2 1 1n  B CA E1 E2 E3 D4 D1 D2 D3 （第 12 题） 9 10、（黑龙江）如图，边长为 1 的菱形 ABCD 中，  60DAB ．连结对角线 AC ，以 AC 为边作第二个菱形 11DACC ，使  601 ACD ；连结 1AC ，再以 1AC 为边作第三个菱形 221 DCAC ， 使  6012 ACD ； … … ， 按 此 规 律 所 作 的 第 n 个 菱 形 的 边 长 为 ．   1 3 n C 2 D 2 C 1 D 1 C D A B 11、（山东青岛）如图，以边长为 1 的正方形 ABCD 的边 AB 为对角线作第二个正方形 AEBO1， 再以 BE 为对角线作第三个正方形 EFBO2，如此作下去，…，则所作的第 n 个正方形的面 积 Sn＝ ． 1 1 2n 12、（桂林）如图，将边长为 a 的正六边形 A1A2A3A4A5A6 在直线 l 上由图 1 的位置按顺时针方 向向右作无滑动滚动，当 A1 第一次滚动到图 2 位置时，顶点 A1 所经过的路径的长为 4 2 3 3 a 当 A1 第一次滚动到图 2 时，顶点 A1 所经过的路径分别是以 A6，A5，A4，A3，A2 为圆心，以 a ， 3a ，2 a ， 3a a， a 为半径，圆心角都为 60°的五条弧 10 11 已知等边△OAB 的边长为 a，以 AB 边上的高 OA1 为边，按逆时针方向作等边△OA1B1， A1B1 与 OB 相交于点 A2。 （1）求线段 OA2 的长； （2）若再以 OA2 为边按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2 与 OB1 相交于点 A3，按此作法进 行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，┉，△OAnBn，（如图），求△OA6B6，的周长。 6．（衢州）如图，AD 是⊙O 的直径． (1) 如 图 ① ， 垂 直 于 AD 的 两 条 弦 B1C1 ， B2C2 把 圆 周 4 等 分 ， 则 ∠ B1 的 度 数 是 ，∠B2 的度数是 ； (2) 如图②，垂直于 AD 的三条弦 B1C1，B2C2，B3C3 把圆周 6 等分，分别求∠B1，∠ B2， ∠B3 的度数； (3) 如图③，垂直于 AD 的 n 条弦 B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn 把圆周 2n 等分，请你 用含 n 的代数式表示∠Bn 的度数(只需直接写出答案)． A O D B1 B2 C1 C2 图① O D A B1 C1 B2 C2 C3B3 图② DBn A O B1 Bn-2 C1 B2 C2 B3 C3 Cn-2 Bn-1 Cn-1 Cn …… 图③ 【答案】解：(1) 22.5°，67.5° (2) 45°， 75°． (3) (90 45)n n   ．(或 360 4590 908nB n n         )