中考数学考前冲刺题8
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中考数学考前冲刺题8

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时间:2021-07-15

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资料简介
中考数学考前冲刺题 8 专项练习 常用几何辅助线 【角平分线】 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 【中垂线】 线段垂直平分线,常向两端把线连。 【线段倍分】要证线段倍与半,延长缩短可试验。 【中点】三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,倍长中线构全等。 三角形中一中点,补中点来补中线,补完中线分面积。 中点附在线段上,构建全等 X 字形。中线交点是重心,分清哪是一比三。 【四边形】平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形里面作高线,平移一腰试试看。 平行移动对角线,补成三角形常见。 【相似】证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。 直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。 【垂径】 半径与弦长计算,弦心距来中间站。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 【切线】 圆上若有一切线,切点圆心半径连。 切线长度的计算,勾股定理最方便。 要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 【直径】是直径,成半圆,想成直角径连弦。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。 【作圆】 要想作个外接圆,各边作出中垂线。 还要作个内接圆,内角平分线梦圆。 【两圆】如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。 若是添上连心线,此弦被它垂直且平分 内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。 【辅圆】要作等角添个圆,证明题目少困难。 【归一】假如图形较分散,对称旋转去实验。 6 月 3 日 【中点问题】 【先练后讲】 例 1.如图所示,AD 是△ABC 的中线,BE 交 AC 于 E,交 AD 于 F,且 AE=EF。求证:AC=BF。 例 2.正方形 ABCD 中,F 是 CD 的中点,E 是 BC 边上的一点, 且 AE=DC+CE。求证:AF 平分∠DAE 例 3.在正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,AE 与 BF 交于点 P,连接 DP, (1)求证:AE⊥BF; (2)求证:DA=DP。 例 4.如图,ABC 中,AD 平分∠BAC,从 B 作 BE⊥AD,交 AD 的延 长线于 E,M 为 BC 中点。试说明:  ME AB AC 1 2 P F E CD A B F B C D E A A E F B D C DM E A B C 【巩固研究】 1、此题多解)已知:正方形 ABCD 中,对角线 AC BD、 相交于 O BE, 平分  CBD AG BE, 分别交 BC BD、 于 G F、 。 求证: CG OF 2 6 月 4 日【角平分线】 【先练后讲】 1、如图,Rt△ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点 M 的垂线交于点 D, 求证:MA=MD。 2、在△ABC 中,AB≠AC,D、E 在 BC 上,且 DE=EC,过 D 作 DF∥BA 交 AE 于点 F,DF=AC, 求证:AE 平分∠BAC。 3、如图,在△ABC 中,∠B=22.50,∠C=600,AB 的垂直平分线 交 BC 于点 D,BD= 26 ,AE⊥BC 于点 E,求 EC 的长。 4、如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=900,AC=BC,D 为 BC 的中 点,CE⊥AD,垂足为 E,BF∥AC 交 CE 的延长线于点 F,求证: AB 垂直平分 DF。 【巩固研究】 1、 如图 1,在△ABC 中,D、E、F 分别为三边的中点,G 点在边 AB 上,△BDG 与四边 形 ACDG 的周长相等,设 BC=a、AC=b、AB=c. (1)求线段 BG 的长; (2)求证:DG 平分∠EDF; (3)连接 CG,如图 2,若△BDG 与△DFG 相似,求证:BG⊥CG. A D O F B G C E 第 1 题图 M D C B A 第 2 题图 E F D CB A 第 3 题图 E F D CB A 第 4 题图 E F D C BA 6 月 5 日【变式】 【先练后讲】 1、 如图,△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合.将△DEF 绕点 E 旋转,旋转过程中,线段 DE 与线段 AB 相交于点 P,线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q. (1)如图①,当点 Q 在线段 AC 上,且 AP=AQ 时,求证:△BPE≌△CQE; (2)如图②,当点 Q 在线段 CA 的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当 BP= a , CQ= 9 2 a 时,P、Q 两点间的距离 (用含 a 的代数式表示). 2、如图 1,△ABC 是等腰直角三角形,四边形 ADEF 是正方形,D、F 分别在 AB、AC 边上, 此时 BD=CF,BD⊥CF 成立. (1)当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图 2,BD=CF 成立吗?若 成立,请证明;若不成立,请说明理由. (2)当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45°时,如图 3,延长 BD 交 CF 于点 G. ①求证:BD⊥CF; ②当 AB=4,AD= 时,求线段 BG 的长. 3、在 Rt⊿POQ 中,OP=OQ=4,M 是 PQ 中点,把一三角尺的直角顶点放 在点 M 处,以 M 为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角边与⊿POQ 的两直角边分别交于点 A、B, (1)求证:MA=MB (2)连接 AB,探究:在旋转三角尺的过程中,⊿AOB 的周长是否存在最小值,若存在,求出 最小值,若不存在。请说明理由。 4、如图,已知△ABC,按如下步骤作图: ①分别以 A、C 为圆心,以大于 AC 的长为半径在 AC 两边作弧,交于两点 M、N; ②连接 MN,分别交 AB、AC 于点 D、O; ③过 C 作 CE∥AB 交 MN 于点 E,连接 AE、CD. (1)求证:四边形 ADCE 是菱形; (2)当∠ACB=90°,BC=6,△ADC 的周长为 18 时,求四边形 ADCE 的面积. 【巩固研究】 1 、 已 知 梯 形 ABCD , AD∥BC , AB⊥BC , AD = 1 , AB = 2 , BC = 3 , 问题 1:如图 1,P 为 AB 边上的一点,以 PD,PC 为边作平行四边形 PCQD,请问对角线 PQ,DC 的长能否相等,为什么? 问题 2:如图 2,若 P 为 AB 边上一点,以 PD,PC 为边作平行四边形 PCQD,请问对角线 PQ 的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由. 问题 3:若 P 为 AB 边上任意一点,延长 PD 到 E,使 DE=PD,再以 PE,PC 为边作平行 四边形 PCQE,请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果 不存在,请说明理由. 问题 4:如图 3,若 P 为 DC 边上任意一点,延长 PA 到 E,使 AE=nPA(n 为常数),以 PE、 PB 为边作平行四边形 PBQE,请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值?如果存在,请求 出最小值,如果不存在,请说明理由. 6 月 6 日【圆切线】 【先练后讲】 1、如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 交于点 E,过点 A 作⊙O 的切线与CD 的延长线交 F E D C B A O 第 1 题图 于点 F ,如果 CEDE 4 3 , 58AC , D 为 EF 的中点. (1)求证: ACFAFC  ; (2)求 AB 的长. 2、 如图,△ABC 中,以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D,CA 是⊙O 的切线, AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E,交 CD 于点 F. (1)求证:CE=CF; (2)若 sinB= 3 5 ,求 DF ∶CF 的值. 3、如图,△ABC 内接于⊙O, AD 是⊙O 直径, E 是 CB 延长线上一点, 且BAE=C.(1)求证: 直线 AE 是⊙O 的切线; (2)若 EB=AB , 5 4cos E , AE=24,求 EB 的长及⊙O 的半径. 4、 如图,已知直线 PA 交⊙O 于 A、B 两点,AE 是⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,且 AC 平分 ∠PAE,过点 C 作 CD⊥PA 于 D. (1) 求证:CD 是⊙O 的切线; (2) 若 AD:DC=1:3,AB=8,求⊙O 的半径. O A B C D E 【课后研究】 1、如图,C 是⊙O 的直径 AB 延长线上一点,点 D 在⊙O 上,且∠A=30°,∠BDC = 1 2 ABD . (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若 OF∥AD 分别交 BD、CD 于 E、F,BD =2,求 OE 及 CF 的长. 2、已知:如图,在△ABC 中,AB=BC,D 是 AC 中点,BE 平分∠ABD 交 AC 于点 E,点 O 是 AB 上一点,⊙O 过 B、E 两点, 交 BD 于点 G,交 AB 于点 F. (1)求证:AC 与⊙O 相切; (2)当 BD=6,sinC= 5 3 时,求⊙O 的半径. 6 月 7 日【变式综合】 【先练后讲】 1.用两个全等的等边△ABC 和△ACD 拼成如图的菱形 ABCD。现把一个含 60°角的三角板 与这个菱形叠合,使三角板的 60°角的顶点与点 A 重合,两边分别与 AB、AC 重合。将三 角板绕点 A 逆时针方向旋转。 (1)当三角板的两边分别与菱形的两边 BC、CD 相交于点 E、F 时(图 a) ①猜想 BE 与 CF 的数量关系是__________________;②证明你猜想的结论。 (2)当三角板的两边分别与菱形的两边 BC、CD 的延长线相交于点 E、F 时(图 b),连结 EF,判断△AEF 的形状,并证明你的结论。 A F D O E B G C A B C D E F 图 a A B C D E F 图 b 2.(1)如图 a,点 O 是线段 AD 的中点,分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三 角形 OAB 和等边三角形 OCD,连结 AC 和 BD,相交于点 E,连结 BC. (1)求∠AEB 的大小; (2)如图 b,ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 的形状和大小不变,将ΔOCD 绕着点 O 旋转(ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠),求∠AEB 的大小. 3.(1)如图 10,在 Rt△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,M 为 AB 中点,AF=CE,请判 断△MEF 的形状. (2)已知:如图 11 在 Rt△ABC 中, AC=BC, ∠C=90°,点 D 为 AB 上任一点,DF⊥AC 于 F, DE⊥BC 于 E,M 为 BC 的中点. ① 判断△MEF 是什么形状的三角形并证明你的结论. ② 当点 D 在 AB 上运动时,四边形 FMEC 的面积是否会改变,并证明你的结论. ③ 当点 D 在 BA 的延长线上运动时,如图 12,①中的结论还成立吗? 4.已知:正方形 中, , 绕点 顺时针旋转,它的两边分别交 (或它们的延长线)于点 .当 绕点 旋转到 时(如图 18),易证 . (1)当 绕点 旋转到 时(如图 19),线段 和 之间 有怎样的数量 关系?写出猜想,并加以证明. (2)当 绕点 旋转到如图 20 的位置时,线段 和 之间又有怎样 的数量关系?请直接写出你的猜想. C B OD 图 a A B AO D C E 图 b 图3 G F B C A D L E 5.(1)如图 1,已知矩形 ABCD 中,点 E 是 BC 上的一动点,过点 E 作 EF⊥BD 于点 F, EG⊥AC 于点 G,CH⊥BD 于点 H,试证明 CH=EF+EG; (2) 若点 E 在BC的延长线上,如图 2,过点 E 作 EF⊥BD 于点 F,EG⊥AC 的延长线于点 G,CH⊥BD 于点 H, 则 EF、EG、CH 三者之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想; (3) 如图 3,BD 是正方形 ABCD 的对角线,L 在 BD 上,且 BL=BC, 连结 CL,点 E 是 CL 上 任一点, EF⊥BD 于点 F,EG⊥BC 于点 G,猜想 EF、EG、BD 之间具有怎样的数量关系, 直接写出你的猜想; (4) 观察图 1、图 2、图 3 的特性,请你根据这一特性构造一个图形, 使它仍然具有 EF、 EG、CH 这样的线段,并满足(1)或(2)的结论,写出相关题设的条件和结论. 【课后研究】 1. 在 ABC△ 中,AC=BC, 90ACB   ,点 D 为 AC 的中点. (1)如图 1,E 为线段 DC 上任意一点,将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 DF, 连结 CF,过点 F 作 FH FC ,交直线 AB 于点 H.判断 FH 与 FC 的数量关系 并加以证明. (2)如图 2,若 E 为线段 DC 的延长线 上任意一点,(1)中的其他条件不变, 你在(1)中得出的结论是否发生改变, 直接写出你的结论,不必证明. 2. 如图 1,BD、CE 分别是△ABC 的外角平分线,过点 A 作 AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分 别为 F、G,连接 FG,延长 AF、AG,与直线 BC 相交于 M、N. (1)试说明:FG= 12(AB+BC+AC); (2)如图 2,若 BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线,则线段 FG 与△ABC 三边又有怎样 H F 图2 图1 H F E B C D A E D B C A 图2 图1 G F H D H G F D A B B A C E C E 的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况说明理由; (3)如图 3,若 BD 为△ABC 的内角平分线,CE 为△ABC 的外角平分线,则线段 FG 与 △ABC 三边的数量关系是 3. 两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放,其中∠ACB =∠DCE = 90°,F 是 DE 的 中点,H 是 AE 的中点,G 是 BD 的中点. (1)如图 1,若点 D、E 分别在 AC、BC 的延长线上,通过观察和测量,猜想 FH 和 FG 的 数量关系为_______和位置关系为______; (2)如图 2,若将三角板△DEC 绕着点 C 顺时针旋转至 ACE 在一条直线上时,其余条件 均不变,则(1)中的猜想是否还成立,若成立,请证明,不成立请说明理由; (2)如图 3,将图 1 中的△DEC 绕点 C 顺时针旋转一个锐角,得到图 3,(1)中的猜想还成 立吗?直接写出结论,不用证明. 6 月 8 日【几何最值】 【先练后讲】 1、在锐角△ABC 中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转,得到 △A1BC1. (1)如图 1,当点 C1 在线段 CA 的延长线上时,求∠CC1A1 的度数; (2)如图 2,连接 AA1,CC1.若△ABA1 的面积为 4,求△CBC1 的面积; (3)如图 3,点 E 为线段 AB 中点,点 P 是线段 AC 上的动点,在△ABC 绕点 B 按逆时针方向 旋转过程中,点 P 的对应点是点 P1,求线段 EP1 长度的最大值与最小值. A B D E CH F G 图 3 A B DE C H F G 图 1 图 2 A B D E C H F G 2、如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M 是 BC 的中点. (1)求证:△MDC 是等边三角形; (2)将△MDC 绕点 M 旋转,当 MD(即 MD′)与 AB 交于一点 E,MC(即 MC′)同时与 AD 交 于一点 F 时,点 E,F 和点 A 构成△AEF.试探究△AEF 的周长是否存在最小值.如果不存在, 请说明理由;如果存在,请计算出△AEF 周长的最小值. 【课后研究】 1、如图①,在矩形 ABCD 中,将矩形折叠,使 B 落在边 AD(含端点)上,落点记为 E,这时 折痕与边 BC 或者边 CD(含端点)交于 F,然后展开铺平,则以 B、E、F 为顶点的三角形△BEF 称为矩形 ABCD 的“折痕三角形” (1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形 ABCD 的任意一个“折痕△BEF”是一个 三 角形 (2)如图②、在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4,,当它的“折痕△BEF”的顶点 E 位于 AD 的中 点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点 F 的坐标; (3)如图③,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”? 若存在,说明理由,并求出此时点 E 的坐标?若不存在,为什么? 图① 图② 图③ 图④ 2、在△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转, 旋转角为 (0°< <180°),得到△A1B1C. (1)如图 1,当 AB∥CB1 时,设 A1B1 与 BC 相交于点 D.证明:△A1CD 是等边三角形; (2)如图 2,连接 AA1、BB1,设△ACA1 和△BCB1 的面积分别为 S1、S2.求证:S1∶S2=1∶3; (3)如图 3,设 AC 的中点为 E,A1B1 的中点为 P,AC=a,连接 EP.当 = °时, EP 的长 度最大,最大值为 . 6 月 9 日【定值与变化】 【先练后讲】 1、如图 1,在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为圆心的⊙O 的半径为 2 -1,直线 l y=-X- 2 与坐标轴分别交于 A,C 两点,点 B 的坐标为(4,1) ,⊙B 与 X 轴相切于点 M. (1) 求点 A 的坐标及∠CAO 的度数; (2) ⊙B 以每秒 1 个单位长度的速度沿 X 轴负方向平移,同时,直线 l 绕点 A 顺时针匀速旋转. 当⊙B 第一次与⊙O 相切时,直线 l 也恰好与⊙B 第一次相切.问:直线 AC 绕点 A 每秒旋转多 少度? (3)如图 2.过 A,O,C 三点作⊙O1 ,点 E 是劣弧AO⌒ 上一点,连接 EC,EA.EO,当点 E 在劣弧AO⌒ 上 运动时(不与 A, O 两点重合), EO EAEC  的值是否发生变化?如果不变,求其值,如果变化,说明 理由. 2、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 5y= x+m4 ( m 为常数)的图象与 x 轴交于点 A( 3 ,0),与 y 轴交于点 C.以直线 x=1 为对称轴的抛物线 2y=ax +bx+c (a,b,c 为常 数,且 a≠0)经过 A,C 两点,并与 x 轴的正半轴交于点 B. (1)求 m 的值及抛物线的函数表达式; (2)设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点,过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F.是否存 在这样的点 E,使得以 A,C,E,F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点 E 的坐 标及相应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由; (3)若 P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点,过点 P 任意作一条与 y 轴 不平行的直线交抛物线于    1 1 1 2 2 2M x y M x y, , , 两点,试探究 1 2 1 2 M P M P M M  是否为定值, 并写出探究过程. 【课后研究】 1、如图 1,直线 y=mx+4 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C,CE∥x 轴交∠CAO 的平分线于点 E,抛物线 452  axaxy 经过点 A、C、E,与 x 轴交于另一点 B (1)求抛物线的解析式。 (2)点 P 是线段 AB 上的一个动点,边 CP,作∠CPF=∠CAO,交直线 BE 于 F,设线段 PB 的长为 x,线段 BF 的长为 y5 6 ,当 P 点运动时,求 y 与 x 的函数关系式,并写出自 变量 x 的取值范围,在同一坐标系中,该函数的图象与(1)的抛物线中 y≥0 的部分有 何关系? (3)如图 2,点 G 的坐标为( 3 16 ,0),过 A 点的直线 )0(3  kkkxy 交 y 轴于点 N,与过 G 点的直线 kxky 3 161  交于点 P,C、D 两点交于原点对称,DP 的延长 线交抛物线于点 M,当 k 的取值发生变化时,问:tan∠APM 的值是否发生变化?若不变, 求其值,若变化,请说明理由。 2、已知,如图:在平面直角坐标系中,点 D 是直线 y=-x 上一点,过 O、D 两点的圆⊙O1 分 别交 x 轴、 y 轴于点 A 和 B, (1)当 A(-12,0),B(0,-5)时,求 O1 的坐标; (2)在(1)的条件下,过点 A 作⊙O1 的切线与 BD 的延长线相交于点 C,求点 C 的坐标. (3)若点 D 的横坐标为 2 7 ,点 I 为△ABO 的内心,IE⊥AB 于 E,当过 O、D 两点的⊙O1 的 大小发生变化时,其结论:AE-BE 的值是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,请求 出变化范围. 【先练后讲】 1、如图 1,直线 AB 的解析式为 y=kx-2k(k

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