中考数学真题解析1

中考数学真题解析 1 一、选择题 1.下列实数中，是有理数的为( ) A. 2 B. 3 4 C.π D.0 解析： 2 是无理数，A 不正确； 3 4 是无理数，B 不正确； π是无理数，C 不正确； 0 是有理数，D 正确. 答案：D 2.当 a＞0 时，下列关于幂的运算正确的是( ) A.a0=1 B.a-1=-a C.(-a)2=-a2 D. 1 2 2 1a a  解析：A、a0=1(a＞0)，正确； B、a-1= 1 a ，故此选项错误； C、(-a)2=a2，故此选项错误； D、 1 2a a (a＞0)，故此选项错误. 答案：A 3.下列 y 关于 x 的函数中，是正比例函数的为( ) A.y=x2 B.y= 2 x C.y= 2 x D.y= 1 2 x  解析：A、y 是 x 的二次函数，故 A 选项错误； B、y 是 x 的反比例函数，故 B 选项错误； C、y 是 x 的正比例函数，故 C 选项正确； D、y 是 x 的一次函数，故 D 选项错误. 答案：C 4.如果一个正多边形的中心角为 72°，那么这个多边形的边数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：根据正多边形的中心角和为 360°和正多边形的中心角相等，这个多边形的边数是 360 ÷72=5. 答案：B 5.下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( ) A.平均数 B.众数 C.方差 D.频率 解析：根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据 的离散程度或波动大小进行选择. 能反映一组数据波动程度的是方差或标准差. 答案：C 6.如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB，垂足为点 D，要使四边形 OACB 为菱形，还 需要添加一个条件，这个条件可以是( ) A.AD=BD B.OD=CD C.∠CAD=∠CBD D.∠OCA=∠OCB 解析：∵在⊙O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB，∴AD=DB， 当 DO=CD，则 AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，故四边形 OACB 为菱形. 答案：B 二、填空题 7.计算：|-2|+2= . 解析：先计算|-2|，再加上 2 即可.原式=2+2=4. 答案：4 8.方程 3 2x  =2 的解是 . 解析：∵ 3 2x  =2，∴3x-2=4，∴x=2， 当 x=2 时，左边= 3 2 2  =2，右边=2， ∵左边=右边，∴方程 3 2x  =2 的解是：x=2. 答案：x=2 9.如果分式 2 3 x x  有意义，那么 x 的取值范围是 . 解析：由题意得，x+3≠0，即 x≠-3， 答案：x≠-3. 10.如果关于 x 的一元二次方程 x2+4x-m=0 没有实数根，那么 m 的取值范围是 . 解析：∵一元二次方程 x2+4x-m=0 没有实数根，∴△=16-4(-m)＜0，∴m＜-4. 答案：m＜-4. 11.同一温度的华氏度数 y(℉)与摄氏度数 x(℃)之间的函数关系是 y= 9 5 x+32，如果某一温 度的摄氏度数是 25℃，那么它的华氏度数是 ℉. 解析：当 x=25°时，y= 9 5 ×25+32=77. 答案：77 12.如果将抛物线 y=x2+2x-1 向上平移，使它经过点 A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式 是 . 解析：设平移后的抛物线解析式为 y=x2+2x-1+b， 把 A(0，3)代入，得 3=-1+b，解得 b=4，则该函数解析式为 y=x2+2x+3. 答案：y=x2+2x+3. 13.某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要 7 位同学参加，现有包括 小杰在内的 50 位同学报名，因此学生会将从这 50 位同学中随机抽取 7 位，小杰被抽到参加 首次活动的概率是 . 解析：∵学生会将从这 50 位同学中随机抽取 7 位，∴小杰被抽到参加首次活动的概率是： 7 50 . 答案： 7 50 14.已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示： 那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 岁. 解析：从小到大排列此数据，第 27 名成员的年龄是 14 岁， 所以这个小组成员年龄的中位数是 14. 故答案为 14. 15.如图，已知在△ABC 中，D、E 分别是边 AB、边 AC 的中点， AB m  ， AC n  ，那么向 量 DE  用向量 m  ， n  表示为 . 解析：∵ AB m  ， AC n  ，∴ BC AC AB n m        ， ∵在△ABC 中，D、E 分别是边 AB、边 AC 的中点， ∴ 1 1 1 1 2 2 2 2DE BC n m n m         （ ） . 答案： 1 1 2 2n m  16.已知 E 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，AE=AD，过点 E 作 AC 的垂线，交边 CD 于点 F， 那么∠FAD= 度. 解析：如图， 在 Rt△AEF 和 Rt△ADF 中， AD AE AF AF    ， ，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠EAF， ∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°. 答案：22.5. 17.在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=12，点 A 在⊙B 上，如果⊙D 与⊙B 相交，且点 B 在⊙D 内， 那么⊙D 的半径长可以等于 .(只需写出一个符合要求的数) 解析：∵矩形 ABCD 中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13， ∵点 A 在⊙B 上，∴⊙B 的半径为 5， ∵如果⊙D 与⊙B 相交，∴⊙D 的半径 R 满足 8＜R＜18， ∵点 B 在⊙D 内，∴R＞13，∴13＜R＜18， ∴14 符合要求(答案不唯一). 答案：14 18.已知在△ABC 中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ABC 的 点 C 处，此时点 C 落在点 D 处，延长线段 AD，交原△ABC 的边 BC 的延长线于点 E，那么线 段 DE 的长等于 . 解析：作 CH⊥AE 于 H，如图， ∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB= 1 2 (180°-∠BAC)= 1 2 (180°-30°)=75°， ∵△ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ABC 的点 C 处，此时点 C 落在点 D 处， ∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°， ∵∠ACB=∠CAD+∠E，∴∠E=75°-30°=45°， 在 Rt△ACH 中，∵∠CAH=30°，∴CH= 1 2 AC=4，AH= 3 CH=4 3 ，∴DH=AD-AH=8-4 3 ， 在 Rt△CEH 中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴DE=EH-DH=4-(8-4 3 )=4 3 -4. 答案：4 3 -4. 三、解答题 19.先化简，再求值： 2 2 1 4 4 2 2 x x x x x x x      ，其中 x= 2 -1. 解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可. 答案：原式=   2 2 2 1 22 x x x x xx     = 1 2 2 x x x x   = 1 2x  ， 当 x= 2 -1 时，原式= 1 2 1 2  = 2 -1. 20.解不等式组： 4 2 6 1 193 x x x x     ＞ ， ， ，并把解集在数轴上表示出来. 解析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可. 答案： 4 2 6 1 193 x x x x     ＞ ， ， ① ② ∵解不等式①得：x＞-3，解不等式②得：x≤2， ∴不等式组的解集为-3＜x≤2， 在数轴上表示不等式组的解集为： 21.已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y= 4 3 x 的图象经过点 A，点 A 的纵 坐标为 4，反比例函数 y= m x 的图象也经过点 A，第一象限内的点 B 在这个反比例函数的图 象上，过点 B 作 BC∥x 轴，交 y 轴于点 C，且 AC=AB.求： (1)这个反比例函数的解析式； (2)直线 AB 的表达式. 解析：(1)根据正比例函数 y= 4 3 x 的图象经过点 A，点 A 的纵坐标为 4，求出点 A 的坐标， 根据反比例函数 y= m x 的图象经过点 A，求出 m 的值； (2)根据点 A 的坐标和等腰三角形的性质求出点 B 的坐标，运用待定系数法求出直线 AB 的表 达式. 答案：∵正比例函数 y= 4 3 x 的图象经过点 A，点 A 的纵坐标为 4，∴点 A 的坐标为(3，4)， ∵反比例函数 y= m x 的图象经过点 A，∴m=12，∴反比例函数的解析式为：y=12 x . (2)如图，连接 AC、AB，作 AD⊥BC 于 D， ∵AC=AB，AD⊥BC，∴BC=2CD=6，∴点 B 的坐标为：(6，2)， 设直线 AB 的表达式为：y=kx+b， 由题意得， 3 4 6 2 k b k b      ， ，解得， 2 3 6 k b      ， ， ∴直线 AB 的表达式为：y=- 2 3 x+6. 22.如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段 AB 表示高架道路旁的一排居民楼，已知点 A 到 MN 的距离为 15 米，BA 的延长线与 MN 相交于点 D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路 上行驶时，周围 39 米以内会受到噪音(XRS)的影响. (1)过点 A 作 MN 的垂线，垂足为点 H，如果汽车沿着从 M 到 N 的方向在 MN 上行驶，当汽车 到达点 P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点 H 的距离为多少米？ (2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点 Q 时，它与这一排居 民楼的距离 QC 为 39 米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米 长？(精确到 1 米)(参考数据： 3 ≈1.7) 解析：(1)连接 PA.在直角△PAH 中利用勾股定理来求 PH 的长度； (2)由题意知，隔音板的长度是 PQ 的长度.通过解 Rt△ADH、Rt△CDQ 分别求得 DH、DQ 的长 度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ-DH，把相关线段的长度代入求值即可. 答案：(1)如图，连接 PA.由题意知，AP=39m. 在直角△APH 中，PH= 2 2 2 239 15AP AH   =36(米). (2)由题意知，隔音板的长度是 PQ 的长度. 在 Rt△ADH 中，DH=AH·cot30°=15 3 (米). 在 Rt△CDQ 中，DQ= 39 1sin30 2 CQ  =78(米). 则 PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=36+78-15 3 ≈114-15×1.7=88.5≈89(米). 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要 89 米. 23.已知，如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 E 在边 BC 的延长线上，且 OE=OB， 连接 DE. (1)求证：DE⊥BE； (2)如果 OE⊥CD，求证：BD·CE=CD·DE. 解析：(1)由平行四边形的性质得到 BO= 1 2 BD，由等量代换推出 OE= 1 2 BD，根据平行四边形 的判定即可得到结论； (2)根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论. 解析：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴BO= 1 2 BD， ∵OE=OB，∴OE= 1 2 BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE. (2)∵OE⊥CD，∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE， ∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE， ∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴ BD DE CD CE  ，∴BD·CE=CD·DE. 24.已知在平面直角坐标系 xOy 中(如图)，抛物线 y=ax2-4 与 x 轴的负半轴(XRS)相交于点 A， 与 y 轴相交于点 B，AB=2 5 ，点 P 在抛物线上，线段 AP 与 y 轴的正半轴交于点 C，线段 BP 与 x 轴相交于点 D，设点 P 的横坐标为 m. (1)求这条抛物线的解析式； (2)用含 m 的代数式表示线段 CO 的长； (3)当 tan∠ODC= 3 2 时，求∠PAD 的正弦值. 解析：(1)根据已知条件先求出 OB 的长，再根据勾股定理得出 OA=2，求出点 A 的坐标，再 把点 A 的坐标代入 y=ax2-4，求出 a 的值，从而求出解析式； (2)根据点 P 的横坐标得出点 P 的坐标，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，得出 OE=m，PE=m2-4，从 而求出 AE=2+m，再根据 OC AO PE AE  ，求出 OC； (3)根据 tan∠ODC= 3 2 ，得出 OC OD = 3 2 ，求出 OD 和 OC，再根据△ODB∽△EDP，得出 OD OB ED EP  ， 求出 OC，求出∠PAD=45°，从而求出∠PAD 的正弦值. 答案：(1)∵抛物线 y=ax2-4 与 y 轴相交于点 B， ∴点 B 的坐标是(0，-4)，∴OB=4， ∵AB=2 5 ，∴OA= 2 2AB OB =2，∴点 A 的坐标为(-2，0)， 把(-2，0)代入 y=ax2-4 得：0=4a-4，解得：a=1， 则抛物线的解析式是：y=x2-4. (2)∵点 P 的横坐标为 m， ∴点 P 的坐标为(m，m2-4)，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E， ∴OE=m，PE=m2-4，∴AE=2+m， ∵ OC AO PE AE  ，∴ 2 2 4 2 OC m m   ，∴CO=2m-4. (3)∵tan∠ODC= 3 2 ，∴ OC OD = 3 2 ，∴OD= 2 3 OC= 2 3 ×(2m-4)= 4 8 3 m  ， ∵△ODB∽△EDP，∴ OD OB ED EP  ，∴ 2 4 8 43 8 4 3 m m m    ，∴m1=-1(舍去)，m2=3， ∴OC=2×3-4=2， ∵OA=2，∴OA=OC，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=sin45°= 2 2 . 25.已知，如图，AB 是半圆 O 的直径，弦 CD∥AB，动点 P，Q 分别在线段 OC，CD 上，且 DQ=OP， AP 的延长线与射线 OQ 相交于点 E，与弦 CD 相交于点 F(点 F 与点 C，D 不重合)，AB=20，cos ∠AOC= 4 5 ，设 OP=x，△CPF 的面积为 y. (1)求证：AP=OQ； (2)求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域； (3)当△OPE 是直角三角形时，求线段 OP 的长. 解析：(1)连接 OD，证得△AOP≌△ODQ 后即可证得 AP=OQ； (2)作 PH⊥OA，根据 cos∠AOC= 4 5 得到 OH= 4 5 PO= 4 5 x，从而得到 S△AOP= 1 2 AO·PH=3x，利用△ PFC∽△PAO 得当对应边的比相等即可得到函数解析式； (3)分当∠POE=90°时、当∠OPE=90°时、当∠OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结 论. 答案：(1)连接 OD， 在△AOP 和△ODQ 中， AO OD AOC C ODQ OP DQ         ， ， ， ∴△AOP≌△ODQ，∴AP=OQ； (2)作 PH⊥OA，∵cos∠AOC= 4 5 ，∴OH= 4 5 PO= 4 5 x，∴S△AOP= 1 2 AO·PH=3x， 又∵△PFC∽△PAO，∴ 2 210 AOP y CP x S PO x               ，整理得：y= 23 60 300x x x   ， ∵AP 延长线与 CD 相交于点 F， ∴CF≤CD=12，易知△CPF∽△OPA，∴ CP CF x AO  ，∴x 的定义域为： 50 11 ＜x＜10. (3)当∠POE=90°时，CQ= 25 cos 2 OC QCO  ，PO=DQ=CD-CQ= 7 2 (舍)； 当∠OPE=90°时，PO=AO`cos∠COA=8； 当∠OEP=90°时，如图，由(1)知△AOP≌△ODQ， ∴∠APO=∠OQD，∴∠AOQ=∠OQD=∠APO， ∵∠AOQ＜90°，∠APO＞90°(矛盾)，∴此种情况不存在，∴线段 OP 的长为 8.