中考专题冲刺训练：三角形6

中考专题冲刺训练：三角形 6 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD 为中线，延长 CB 至点 E，使 BE ＝BC，连接 DE，F 为 DE 的中点，连接 BF，若 BF＝3，则 BC 的长为（ ） A．6 B．3 C．8 D．6 2．如图，已知△ABC 中，AB＝AC，点 D，E 是射线 AB 上的两个动点（点 D 在点 E 的 右侧），且 CE＝DE，连接 CD，若∠ACE＝x°，∠BCD＝y°，则 y 关于 x 的函数关 系式是（ ） A．y＝90﹣x（0＜x＜180°） B．y＝ x（0＜x＜180°） C．y＝90﹣ x（0＜x＜180°） D．y＝ x（0＜x＜180°） 3．如图，△ABC 的面积为 280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，则图中四边形 EDCF 的面积 等于（ ） A．50 B．55 C．60 D．65 4．如图，AD 和 BE 是△ABC 的中线，AD 与 BE 交于点 O，下列结论正确的有（ ） 个． （1）S△ABE＝S△ABD （2）AO＝2OD （3）S△ABO＝S 四边形 DOEC A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 5．如图，在△ABC 中，BC＝2 ，∠C＝45°，若 D 是 AC 的三等分点（AD＞CD）， 且 AB＝BD，则 AB 的长为（ ） A．2 B． C． D． 6．如图，在直线 AC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE，连接 AE 与 CD 交于 点 H，AE 与 DB 交于点 G，BE 与 CD 交于点 F，下列结论： （1）△ABE≌△DBC； （2）∠AHD＝60°； （3）△AGB≌△DFB； （4）BH 平分∠GBF； （5）GF∥AC； （6）点 H 是线段 DC 的中点． 正确的有（ ） A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 7．如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N， 且 A、C、B 在同一直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝ DN；④PC 平分∠APB；⑤∠APD＝60°．其中不正确的结论是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．如图，△ABC 是不等边三角形，DE＝BC，以 D、E 为两个顶点作位置不同的三角形， 使所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，C 为线段 AE 上一点（不与点 A、E 重合），在 AE 同侧分别作等边△ABC 和等 边△CDE，连接 AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ、OC，以下四个结论：①△BOC≌△EDO；②DE＝DP；③∠AOC＝∠COE；④ OC⊥PQ．其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．如图，△ABC 为等边三角形，点 D、E 分别在边 AC 和 AB 上，AE＝CD，CE 与 BD 交于点 P，BF⊥CE 于点 F，若 AP⊥BP，则下列结论：①∠ACE＝∠CBD，②∠BPE ＝60°，③△APB≌△BFC．其中正确的个数是（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 11．如图，在 Rt△AEB 和 Rt△AFC 中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE 与 AC 相交于 点 M，与 CF 相交于点 D，AB 与 CF 相交于点 N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：① ∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，延长 BC 到点 F，使 CF＝ BC．若 AB＝12，求 EF 的长（ ） A．5 B．6 C．8 D．7 13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所 示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如 图，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b．若大正方形面积是 9，小正方 形面积是 1，则 ab 的值是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 14．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH．连 接 EG，BD 相交于点 O，BD 与 HC 相交于点 P．若 GO＝GP，则 tan∠ADE 的值是 （ ） A． B． C． D． 15．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以 AB、AC、BC 为边在 AB 的同侧作正方形 ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为 S1、S2、S3、 S4，则 S1+S2+S3+S4 等于（ ） A．20 B．18 C．16 D．14 16．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在 BC 上，AE＝BE，点 F 是 CD 的中点， 且 AF⊥AB，若 AD＝2.6，AF＝4，AB＝6，则 CE 的长为（ ） A．2.4 B．2.6 C．2 D．2 ﹣1 17．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成 的，若 AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为 12 的直角边分别向外延长一倍， 得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A．148 B．100 C．196 D．144 18．如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为 D，M 为 AD 上任一点， 则 MC2﹣MB2 等于（ ） A．23 B．46 C．65 D．69 19．如图，△ABC 的角平分线 CD、BE 相交于 F，∠A＝90°，∠CEG＝2∠DCB，且 ∠DFB＝ ∠CGE．下列结论：①EG∥BC，②CG⊥EG，③∠ADC＝∠GCD，④CA 平分∠BCG．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC，AD⊥BC 于点 D．∠ABD 的角平分线 BF 所 在直线与射线 AE 相交于点 G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB 的度数为 （ ） A．50° B．55° C．60° D．65° 参考答案 1．解：∵BE＝BC， ∴点 B 为 CE 的中点， ∵点 F 为 DE 的中点， ∴BF 为△CDE 的中位线， ∴CD＝2BF＝2×3＝6， 在 Rt△ABC 中， ∵∠ACB＝90°，CD 为中线， ∴CD＝AD＝BD＝6， ∴AB＝BD+AD＝6+6＝12， 在 Rt△ABC 中， ∵AB2＝BC2+AC2，AC＝6，AB＝12， ∴BC＝ ＝＝6 ． 故选：A． 2．解：在△ABC 中，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝x°+∠BCE， ∵CE＝DE， ∴∠ADC＝∠DCE＝y°+∠BCE， ∵∠ABC＝∠ADC+∠BCD，即 x°+∠BCE＝y°+∠BCE+y°，即 x＝2y， ∴y 关于 x 的函数关系式为 y＝ x（0＜x＜180°）． 故选：B． 3．解：连接 CE，如图． ∵△ABC 的面积为 280cm2，BD＝3DC， ∴S△ADC＝280× ＝70cm2，S△ABD＝ ＝210cm2． 又 AE＝DE， ∴S△ABE＝S△BDE＝ ＝105cm2， ∴S△AEC＝S△DEC＝ ＝35． ∴S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝140， ∴△ABE 与△BEC 面积比为 105：140＝3：4， ∴△ABE 与△BEC 高之比为 3：4， 即△AEF 与△CEF 的高之比为 3：4， ∴S△CEF＝ S△AEC＝ ＝20， ∴四边形 EDCF 的面积为 S△DEC+S△CEF＝35+20＝55． 故选：B． 4．解：∵AD 和 BE 是△ABC 的中线， ∴ ，S△ABD＝S△ADC＝ ． ∴S△ABE＝S△ABD，故（1）正确； 连接 CO，设 S△AOE＝a，由 E 为 AC 中点，如图所示． ∴S△AOE＝S△COE＝a， 又 D 为 BC 中点， ∴S△ABE＝S△ABD＝ •S△ABC， 又 S△AOE＝a， ∴S△BOD＝a＝S△COD， ∴S 四边形 DOEC＝S△COD+S△COE＝2a． 又因为 S△ABE＝S△ADC＝ •S△ABC，且 S△AOE＝a， ∴S△ABO＝S 四边形 DOEC＝2a，故（3）正确； ∵△ABO 与△BOD 等高，面积比为 2：1， 故底之比 AO：OD＝2：1，即 AO＝2OD，故（2）正确． 故选：D． 5．解：过 B 作 BE⊥AC 于 E， ∵AB＝BD，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠BEC＝90°，AE＝DE， ∵D 是 AC 的三等分点（AD＞CD）， ∴AE＝DE＝DC， 在 Rt△BEC 中，BC＝2 ，∠C＝45°， ∴∠EBC＝∠C＝45°， ∴BE＝CE， 由勾股定理得：2BE2＝DC2＝（2 ）2＝8， 解得：BE＝EC＝2， ∴AE＝1， 在 Rt△AEB 中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝ ， 故选：B． 6．解：连接 GF，过点 B 作 BM⊥AE 于 M，BN⊥CD 于 N． ∵△ABD，△BCE 都是等边三角形， ∴∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BE，BE＝BC， ∴∠ABE＝∠DBC， 在△ABE 和△DBC 中， ， ∴△ABE≌△DBC（SAS），故（1）正确， ∴∠BAE＝∠BDC， ∵∠AGB＝∠DGH， ∴∠AHD＝∠ABG＝60°，故（2）正确， 在△AGB 和△DFB 中， ， ∴△AGB≌△DFB（ASA），故（3）正确， ∴BG＝BF， ∵∠GBF＝60°， ∴△BGF 是等边三角形， ∴∠FGB＝∠ABD＝60°， ∴FG∥AC，故（5）正确， ∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD， ∴BM＝BN， ∴BH 平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故（4）错误， 无法判断 DH＝CH，故（6）错误， 故选：C． 7．解：∵△DAC 和△EBC 都是等边三角形， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠ACE＝∠DCB＝120°， 在△ACE 与△DCB 中， ， ∴△ACE≌△DCB（SAS），故①正确； ∴∠CAM＝∠CDN， 在△ACM 与△DCN 中 ， ∴△ACM≌△DCN（ASA）， ∴CM＝CN，故②正确； DN＝AM， 在△AMC 中，AC＞AM， ∴AC≠DN，故③错误； 如图，过 C 作 CQ⊥DB 于 Q，CH⊥AE 于 H， ∵△ACM≌△DCN， ∴△ACM 和△DCN 的面积相等， ∵DN＝AM， ∴由三角形面积公式得：CQ＝CH， ∴CP 平分∠APB，∴④正确； ∵△ACE≌△DCB， ∴∠AEC＝∠DBC， ∵∠ECB＝60°， ∴∠EAC+∠AEC＝∠ECB＝60°， ∴∠APD＝∠EAC+∠ABP＝∠EAC+∠AEC＝60°，∴⑤正确； 故选：A． 8．解：当 B 和 D 是对应点，C 和 E 是对应点，此时△ABC≌△FDE， 当 B 和 E 是对应点，C 和 D 是对应点，此时△ABC≌△FED， 即有 2 个， 故选：B． 9．解：∵△ABC 和△CDE 是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD 与△BCE 中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE， ∴∠AOB＝∠CAD+∠CEB＝∠CBE+∠CEB＝∠ACB＝60°， ∴∠AOE＝120°， 作 CG⊥AD 于 G，CH⊥BE 于 H，如图所示： 在△ACG 和△BCH 中， ， ∴△ACG≌△BCH（AAS）， ∴CG＝CH， ∴OC 平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠COE，③正确； ∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝120°，∠DOC＝∠DOQ+∠COE＝120°， ∴∠ODC+∠OCD＝60°， ∴∠ODC＜60°， ∴∠EDO＝∠CDE+∠ODC＜120°， ∴∠BOC≠∠EDO， ∴△BOC 与△EDO 不全等，①错误； ∵∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°， ∴∠ACB＝∠BCQ＝60°， 在△ACP 与△BCQ 中， ， ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴AP＝BQ，PC＝QC， ∵AD＝BE， ∴AD﹣AP＝BE﹣BQ， ∴DP＝QE， ∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°， ∴∠DQE≠∠CDE，故②错误． ∵PC＝QC，∠PCQ＝60°， ∴△PCQ 是等边三角形， ∴∠CPQ＝60°， ∴∠ACB＝∠CPQ， ∴PQ∥AE， ∵∠AOC＝60°， 当 OC⊥AE 时，∠OAC＝30°， 则 AP 平分∠BAC， 而 AP 不是∠BAC 的平分线， ∴OC 与 AE 不垂直， ∴OC 与 PQ 不垂直，④错误； 正确的结论有 1 个， 故选：A． 10．解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BCD＝∠CAE＝60°， 在△ACE 和△CBD 中， ， ∴△ACE≌△CBD（SAS）， ∴∠ACE＝∠CBD，故①正确， ∵∠BPE＝∠PCB+∠CBD＝∠PCB+∠ACE＝∠ACB＝60°，故②正确， ∵AP⊥BD，BF⊥CE， ∴∠APB＝∠BFC＝90°， ∵∠ACB＝∠ABC＝60°，∠ACE＝∠CBD， ∴∠BCF＝∠ABP， 在△APB 和△BFC 中， ， ∴△APB≌△BFC（AAS），故③正确， 故选：D． 11．解：∵∠EAC＝∠FAB， ∴∠EAB＝∠CAF， 在△ABE 和△ACF， ， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴∠B＝∠C．AE＝AF． 由△AEB≌△AFC 知：∠B＝∠C，AC＝AB； 在△ACN 和△ABM， ， ∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）； ∴CM＝BN， 由于条件不足，无法证得②CD＝DN； 综上所述，正确的结论是①③④，共有 3 个． 故选：C． 12．解：如图，连接 DC， ∵点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点， ∴DE∥ BC，DC＝ AB， ∵CF＝ BC， ∴DE∥FC， ∴四边形 DEFC 是平行四边形， ∴DC＝EF， ∴EF＝ AB＝6． 故选：B． 13．解：∵直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b，大正方形面积是 9， ∴a2+b2＝9， ∵小正方形面积是 1， ∴（a﹣b）2＝1， ∴a2+b2﹣2ab＝1， ∴9﹣2ab＝1， ∴ab＝4， 故选：A． 14．解：∵四边形 EFGH 为正方形， ∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°， ∵OG＝GP， ∴∠GOP＝∠OPG＝ （180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠PBG＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DBC＝45°， ∴∠GBC＝22.5°， ∴∠PBG＝∠GBC， 在△BPG 和△BCG 中， ， ∴△BPG≌△BCG（ASA）， ∴PG＝CG， 设 OG＝PG＝CG＝x， ∵O 为 EG、BD 的交点， ∴EG＝2x，FG＝ x， ∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴AE＝BF＝CG＝x， DE＝BG＝x+ x， ∴tan∠ADE＝ ＝ ＝ ﹣1， 故选：C． 15．解：连接 PF，过点 F 作 FD⊥AK 于点 D， ∵AB＝EB，∠ACB＝∠ENB＝90°， 而∠CBA+∠CBE＝∠EBN+∠CBE＝90°， ∴∠CBA＝∠EBN， ∴△CBA≌△NBE（AAS）， 故 S4＝S△ABC； 又∵FA＝AB，∠FDA＝∠ACB＝90°， 而∠FAD+∠CAB＝∠CAB+∠ABC＝90°， ∴∠FAD＝∠ABC， ∴△FAD≌△ABC（AAS）， 同理可证△ACT≌△FDK， ∴S2＝S△FDK＝S△ABC， 同理可证△TPF≌△KME，△AQF≌△ABC， ∴S1+S3＝S△ADF＝S△ABC， 综上所证：S1+S2+S3+S4＝3S△ABC＝3× ＝18． 故 A、C、D 错误， 故选：B． 16．解：如图所示，延长 AF 至 BC 延长线上交于 G 点， ∵AD∥BG， ∴∠D＝∠GCF， 而点 F 是 CD 的中点， ∴DF＝CF， 在△ADF 和△GCF 中： ， ∴△ADF≌△GCF（ASA）， ∴AF＝FG，AD＝CG， 又∵AE＝BE， ∴∠B＝∠EAB， 而 AF⊥AB， ∴∠G+∠B＝90°， ∠EAB+∠EAF＝90°， ∴∠G＝∠EAF， 即△AEG 为等腰三角形，AE＝GE，EF⊥AG， 在 Rt△ABG 中，E 为斜边的中点， ∴EF 为 Rt△ABG 的中位线， ∴EF＝ ＝3， 又∵AF＝4， ∴AG＝8， ∴BG＝ ＝ ＝10， 又∵△EFG 也为直角三角形， ∴EG＝ ＝ ＝5， 而 CG＝AD＝2.6， ∴CE＝EG﹣CG＝5﹣2.6＝2.4， 故选：A． 17．解：设将 CA 延长到点 D，连接 BD， 根据题意，得 CD＝12×2＝24，BC＝7， ∵∠BCD＝90°， ∴BC2+CD2＝BD2，即 72+242＝BD2， ∴BD＝25， ∴AD+BD＝12+25＝37， ∴这个风车的外围周长是 37×4＝148． 故选：A． 18．解：在 Rt△ABD 和 Rt△ADC 中， BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2， 在 Rt△BDM 和 Rt△CDM 中， BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2， ∴MC2﹣MB2 ＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2） ＝AC2﹣AB2 ＝132﹣102 ＝69． 故选：D． 19．解：①∵CD 平分∠ACB， ∴∠BCA＝2∠DCB， ∵∠CEG＝2∠DCB， ∴∠CEG＝∠BCA， ∴EG∥BC，故①正确； ②∵△ABC 的角平分线 CD、BE 相交于 F， ∴∠CBF＝ ∠CBA，∠BCF＝ ∠BCA， ∵∠A＝90°， ∴∠CBA+∠BCA＝90°， ∴∠CBF+∠BCF＝45°，即∠DFB＝45°， ∵∠DFB＝ ∠CGE， ∴∠CGE＝90°，即 CG⊥EG．故②正确； ③∵CG⊥EG， ∴∠G＝90°， ∴∠GCE+∠CEG＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠BCA+∠ABC＝90°， ∵∠CEG＝∠ACB， ∴∠ECG＝∠ABC， ∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB， ∴∠ADC＝∠GCD，故③正确； ④假设 CA 平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG， ∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故④错误． 故选：C． 20．解：如图： ∵AE 平分∠BAC，BF 平分∠ABD， ∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2， 设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y， 由外角的性质得： ∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝ ∠ABD＝ （2x+y）＝x+ y， ∴x+20＝x+ y，解得 y＝40°， ∴∠1＝∠2＝ （180°﹣∠ABC）＝ ×（180°﹣120°）＝30°， ∴∠DFB＝60°． 故选：C．