中考专题冲刺训练：三角形9

中考专题冲刺训练：等腰三角形 9 一、选择题 1. 若等腰三角形的顶角为 50°，则它的底角度数为 ( ) A.40° B.50° C.60° D.65° 2. （2020·临沂）如图，在 ABC 中，AB AC ， 40A   ， //CD AB ，则 BCD  （ ） A.40° B.50° C.60°. D.70° 3. 一个等腰三角形两边的长分别为 75和 18，则这个三角形的周长为( ) A．10 3＋3 2 B．5 3＋6 2 C．10 3＋3 2或 5 3＋6 2 D．无法确定 4. （2020·聊城）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝65°，点 D 是 BC 边上任意 一点，过点 D 作 DF∥AB 交 AC 于点 E，则∠FEC 的度数是（ ） A．120° B．130° C．145° D．150° C E F 5. (2019•广西)如图，在 ABC 中， , 40AC BC A    ，观察图中尺规作图的痕 迹，可知 BCG 的度数为 A． 40 B． 45 C．50 D．60 6. （2020·天门仙桃潜江）如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC  ∠DAE 90°，BD，CE 交于点 F，连接 AF．下列结论：①BD CE；②BF⊥ CF；③AF 平分∠CAD；④∠AFE 45°．其中正确结论的个数有 A．1 B．2 个 C．3 个 D．4 个 A B C D E F 7. △ABC 中，AB＝AC，∠A 为锐角，CD 为 AB 边上的高，I 为△ACD 的内切 圆圆心，则∠AIB 的度数是( ) A. 120° B. 125° C. 135° D. 150° 8. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝12，E 为 AC 边的中点，线段 BE 的垂直 平分线交边 BC 于点 D.设 BD＝x，tan∠ACB＝y，则( ) A. x－y2＝3 B. 2x－y2＝9 C. 3x－y2＝15 D. 4x－y2＝21 二、填空题 9. 若等腰三角形的顶角为 120°，腰长为 2 cm，则它的底边长为________ cm. 10. 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD ③ AB＋BD＝AC＋CD ④ AB－BD＝AC－CD 11. （2020·宿迁）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 点 D，E 为 AB 的中点．若 BC＝12，AD＝8，则 DE 的长为 ． E D CB A 12. （2020·常州）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交 BC、AB 于点 E、 F．若△AFC 是等边三角形，则∠B＝________°． 13. 如图，BO 平分∠CBA，CO 平分∠ACB，MN 过点 O 且 MN∥BC，设 AB＝12， AC＝18，则△AMN 的周长为________． 14. （2020·贵阳）（4 分）如图，△ABC 中，点 E 在边 AC 上，EB＝EA，∠A＝2 ∠CBE，CD 垂直于 BE 的延长线于点 D，BD＝8，AC＝11，则边 BC 的长为 ． 15. （2020·聊城）如图，在直角坐标系中，点 A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平 分线上的两点，点 C 的纵坐标为 1，且 CA＝CB，在 y 轴上取一点 D，连接 AC， BC，AD，BD，使得四边形 ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为 ． O D A B C x y 16. （2020·绵阳）如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝ CD＝4，点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点 M 到直 线 BC 的距离的最小值为 ． 三、解答题 17. 如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D. (1)若∠C=42°，求∠BAD 的度数; (2)若点 E 在边 AB 上，EF∥AC 交 AD 的延长线于点 F.求证:AE=FE. 18. 如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 是 AC 边上的中线，且 BD=CE. 求证:(1)点 D 在 BE 的垂直平分线上; (2)∠BEC=3∠ABE. 19. 如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E 是 AB 的中点， CE⊥BD，连接 AC 交 DE 于点 M. (1)求证：AD＝BE； (2)求证：AC 是线段 ED 的垂直平分线； (3)△DBC 是等腰三角形吗？说明理由． 20. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠ABC＝60°，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE＝AD，连接 CD，AE，延长 EA 交 CD 于点 G. (1)求证：△ACE≌△CBD； (2)求∠CGE 的度数． 21. 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝ 5 cm，BC＝6 cm，AD 是 BC 边上的高．点 P 由 C 出发沿 CA 方向匀速运动．速 度为1 cm/s.同时，直线 EF 由 BC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1 cm/s，EF//BC， 并且 EF 分别交 AB、AD、AC 于点 E，Q，F，连接 PQ.若设运动时间为 t(s)(0＜t ＜4)，解答下列问题： (1)当 t 为何值时，四边形 BDFE 是平行四边形？ (2)设四边形 QDCP 的面积为 y(cm2)，求出 y 与 t 之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻 t，使点 Q 在线段 AP 的垂直平分线上？若存在，求出此时 点 F 到直线 PQ 的距离 h；若不存在，请说明理由． 2021 中考数学 临考复习专题：等腰三角形-答案 一、选择题 1. 【答案】D 2. 【答案】D 【解析】 根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且 AB AC ， 40A   ，可得： 70ABC ACB     ；然后根据两直线平行内错角相等且 //CD AB 可得： 70BCD ABC     ，所以选 D． 3. 【答案】[解析] A 因为 75＝5 3， 18＝3 2.当 5 3为腰长时，三角形的周 长为 10 3＋3 2；当 5 3为底边长时，因为 3 2＋3 2＝6 2＝ 72， 72< 75，所以不能构成三角形，故三角形的周长为 10 3＋3 2. 4. 【答案】B 【解析】可利用三角形的外角性质求∠ FEC 的度数，结合等腰三角形与平行线 的性质，可得∠ EDC、∠B 均与∠C 相等．即：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝65°．∵ DF∥AB，∴∠ EDC＝∠B＝65°．∴∠FEC＝∠EDC＋∠C＝65°＋65°＝130°． 5. 【答案】C 【解析】由作法得CG AB ，∵ AB AC ，∴CG 平分 ACB ， A B   ， ∵ 180 40 40 100ACB      ，∴ 1 502BCG ACB     ．故选 C． 6. 【答案】C 【解析】∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∴AB=AC，AD=AE， ∵∠BAD=90°+∠CAD， ∠CAE=90°+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△AEC 与△ADB 中， AB AC BAD CAE AD AE         ， ∴△AEC≌△ADB(SAS)， ∴BD=CE，故①正确； ∴∠ADB=∠AEC， ∵∠DEF+∠AEC+∠EDA=90°， ∴∠DEF+∠ADB+∠EDA=90° ∴∠DEF+∠EDF=90∘， ∴BD⊥CE，故②正确； ∵作 AN⊥CE，AM⊥BD ∵△AEC≌△ADB(SAS)， ∴AM=AN， ∵AF 是∠BFE 的角平分线， ∠BFE=90°， ∴∠AFE=45°，故④正确 ，故③正确； 因为 QF≠PF，故③错误。 正确的有 3 个， 故选：C. 7. 【答案】C 【解析】由 CD 为腰上的高，I 为△ACD 的内心，则∠IAC＋∠ICA ＝1 2(∠DAC＋∠DCA)＝1 2(180°－∠ADC)＝1 2(180°－90°)＝45°，所以∠AIC＝180° －(∠IAC＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB≌△AIC，得∠AIB＝∠AIC ＝135°. 8. 【答案】B 【解析】连接 DE，过点 A 作 AF⊥BC，垂足为 F，过 E 作 EG⊥BC， 垂足为 G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E 是 AC 的中点， EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝1 2CF＝3，∵在 Rt△CEG 中，tanC＝EG CG ， ∴EG＝CG×tanC＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD 是 BE 的 垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在 Rt△EGD 中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋ EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9. 二、填空题 9. 【答案】2 3 【解析】如解图，由已知得，∠B＝∠C＝1 2(180°－120°)＝30°， AB＝2，∴底边长为：BC＝2BD＝2AB·cos30°＝2 3(cm)． 10. 【答案】②③④ 【解析】 序号 正误 逐项分析 ① × △BAD 与△ACD 中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的 角和边，所以不能判定两三角形全等 ，因而也就不能得出 AB＝ AC ② √ ∠BAD＝∠CAD 结合 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，可得∠B＝ ∠C，所以 AB＝AC，因而△ABC 是等腰三角形 ③ √ 由于 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°， 因而 AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋ CD)(AC－CD)，由 AB＋BD＝AC＋CD ，得 AB－BD＝AC－CD ， 两式相加得 2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC 是等腰三角 形 ④ √ 由于 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°， 因而 AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋ CD)(AC－CD)，由 AB－BD＝AC－CD ，得 AB＋BD＝AC＋CD ， 两式相加得 2AB＝2AC，所以 AB＝AC，得△ABC 是等腰三角形 11. 【答案】5 【解析】∵AB＝AC，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，∴AD⊥BC，BD＝ CD＝ 1 2 BC＝6．在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AB＝ 2 26 8 ＝10．又∵E 为 AB 的中点，∴DE＝ 1 2 AB＝5．故答案为 5． 12. 【答案】30° 【解析】本题考查了等边三角形和等腰三角形以及垂直平分线的性质．因为 FE 垂直平分 BC，∴ FC＝FB ∴∠B＝∠BCF ∵△ACF 是等边三角形，∴∠AFC ＝60° ，∴ ∠B＝30° 13. 【答案】30 [解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC， ∴∠MOB＝∠OBM. ∴MO＝MB.同理 NO＝NC. ∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30. 14. 【答案】4 【解析】解：延长 BD 到 F，使得 DF＝BD，∵CD⊥BF，∴△BCF 是等腰三角 形，∴BC＝CF， 过点 C 点作 CH∥AB，交 BF 于点 H∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，∴HF ＝HC， ∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，∴HF＝HC＝8﹣3＝5， 在 Rt△CDH，∴由勾股定理可知：CD＝4，在 Rt△BCD 中，∴ BC 4 ， 故答案为：4 15. 【答案】4＋2 5 【解析】先求点 C 的坐标，再利用最短路径知识确定 D 点位置，最后求四边形 ACBD 的最小周长即可．由点 A 与点 C 的纵坐标均为 1，可知 AC∥x 轴，又点 A，B 是第一象限角平分线上的两点，∴∠BAC＝45°，又∵CA＝CB，∴∠CBA ＝45°，∴AC⊥BC，∴C(3，1)，则 AC＝BC＝2． 如图，作点 A 关于 y 轴的对称点 E，连接 BE 交 y 轴于点 D，此时 AD＋BD 的值 最小，为线段 BE 的长．由轴对称性可知 AE=2，则 EC=4．在 Rt△BCE 中，根 据勾股定理，得 BE＝ 22 ECBC  ＝ 22 42  ＝2 5 ．∴四边形 ACBD 的最小周长为 2＋2＋ 2 5 ＝4＋2 5 ． O D A B C x y E 16. 【答案】3 3 －2 【解析】延长 AD、BC 交于点 P， 作 MH⊥PB 于 H. ∵AB∥CD，∴ PD AD ＝ PC BC ，∠ABC＝∠DCP＝60°.∵AD＝BC＝CD＝4，∴PD＝ PC，∴△PDC 为等边三角形，∴PD＝PC＝CD＝4，∠P＝60°. 由∠AMD＝90°， 可知点 M 在以 AD 为直径的⊙E 上，且在四边形 ABCD 内的一个动点，根据垂 线段最短可知 E、M、H 三点共线时 MH 最小.在 Rt△PEH 中，EP＝6，∠P＝60°， ∴EH＝EP·sin60°＝3 3 ， ∴MH 的最小值＝EH－EM＝3 3 －2. 三、解答题 17. 【答案】 解:(1)(方法一):∵AB=AC，∠C=42°， ∴∠B=∠C=42°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-42°=96°. ∵AD⊥BC， ∴∠BAD= ∠BAC= ×96°=48°. (方法二):∵AB=AC，∠C=42°， ∴∠B=∠C=42°. ∵AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=180°-90°-42°=48°. (2)证明:∵EF∥AC，∴∠CAF=∠F， ∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAF=∠BAF， ∴∠F=∠BAF，∴AE=FE. 18. 【答案】 证明:(1)如图，连接 DE. ∵CD 是 AB 边上的高， ∴CD⊥AB. ∴∠ADC=90°. ∵AE=CE， ∴DE= AC=CE=AE. ∵BD=CE， ∴DE=BD. ∴点 D 在线段 BE 的垂直平分线上. (2)∵BD=DE，∴∠ADE=2∠ABE. ∵DE=AE， ∴∠A=∠ADE=2∠ABE. ∴∠BEC=∠ABE+∠A=3∠ABE. 19. 【答案】 解：(1)证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＋∠DBC＝90°. ∵CE⊥BD， ∴∠BCE＋∠DBC＝90°. ∴∠ABD＝∠BCE. 在△DAB 和△EBC 中， ∠ABD＝∠BCE， AB＝BC， ∠DAB＝∠EBC＝90°， ∴△DAB≌△EBC(ASA)． ∴AD＝BE. (2)证明：∵E 是 AB 的中点，∴AE＝BE. ∵BE＝AD， ∴AE＝AD. ∴点 A 在线段 ED 的垂直平分线上． ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°. ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°. 在△EAC 和△DAC 中， AE＝AD， ∠EAC＝∠DAC， AC＝AC， ∴△EAC≌△DAC(SAS)． ∴CE＝CD. ∴点 C 在线段 ED 的垂直平分线上． ∴AC 是线段 ED 的垂直平分线． (3)△DBC 是等腰三角形． 理由：由(1)知△DAB≌△EBC，∴BD＝CE. 由(2)知 CE＝CD. ∴BD＝CD. ∴△DBC 是等腰三角形． 20. 【答案】 解：(1)证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AB＝CB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°. ∵BE＝AD，∴BE＋BC＝AD＋AB， 即 CE＝BD. 在△ACE 和△CBD 中， CE＝BD， ∠ACE＝∠CBD， AC＝CB， ∴△ACE≌△CBD(SAS)． (2)由(1)知△ACE≌△CBD，∴∠E＝∠D. ∵∠BAE＝∠DAG， ∴∠E＋∠BAE＝∠D＋∠DAG， 即∠CGE＝∠ABC. ∵∠ABC＝60°， ∴∠CGE＝60°. 21. 【答案】 (1)如解图①，连接 DF， 解图① ∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3， 在 Rt△ABD 中 AD＝ 52－32＝4， ∵EF//BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴EF BC ＝AQ AD ， ∴EF 6 ＝4－t 4 ，∴EF＝3 2(4－t)， ∵EF//BD， ∴当 EF＝BD 时，四边形 EFDB 是平行四边形， ∴3 2(4－t)＝3， ∴t＝2， ∴当 t＝2s 时，四边形 EFDB 是平行四边形； (2)如解图②，作 PN⊥AD 于 N， 解图② ∵PN//DC， ∴PN DC ＝AP AC ， ∴PN 3 ＝5－t 5 ， ∴PN＝3 5(5－t)， ∴y＝1 2DC·AD－1 2AQ·PN ＝6－1 2(4－t) ·3 5(5－t) ＝6－( 3 10t2－27 10t＋6) ＝－ 3 10t2＋27 10t(0＜t＜4)； (3)存在．理由如下： 如解图③，作 QN⊥AC 于 N，作 FH⊥PQ 于 H. 解图③ ∵当 QN 为 AP 的垂直平分线时 QA＝QP，QN⊥AP， ∴AN＝NP＝1 2AP＝1 2(5－t)， 由题意 cos∠CAD＝AD AC ＝AN AQ ， ∴ 1 2 （5－t） 4－t ＝4 5 ，∴t＝7 3 ， ∴当 t＝7 3s 时，点 Q 在线段 AP 的垂直平分线上． ∵sin∠FPH＝FH PF ＝sin∠CAD＝3 5 ，∵PA＝5－7 3 ＝8 3 ，AF＝AQ÷4 5 ＝25 12 ， ∴PF＝ 7 12 ，∴FH＝ 7 20. ∴点 F 到直线 PQ 的距离 h＝ 7 20(cm)．