2020年数学普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
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2020年数学普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

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资料简介
2020 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用 时 120 分钟.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并 在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在 试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 2.本卷共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分. 参考公式: 如果事件 A与事件 B 互斥,那么 ( ) ( ) ( )  P A B P A P B . 如果事件 A与事件 B 相互独立,那么 ( ) ( ) ( )P AB P A P B . 球的表面积公式 24S R ,其中 R 表示球的半径. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 { 3, 2, 1,0,1,2,3}U     ,集合 { 1,0,1,2}, { 3,0,2,3}A B    ,则  UA B  ð ( ) A. { 3,3} B. {0,2} C. { 1,1} D. { 3, 2, 1,1,3}   2.设 aR ,则“ 1a  ”是“ 2a a ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数 2 4 1 xy x   的图象大致为( ) A. B. C. D. 4.从一批零件中抽取 80 个,测量其直径(单位: mm ),将所得数据分为 9 组: [5.31,5.33),[5.33,5.35), ,[5.45,5.47],[5.47,5.49] ,并整理得到如下频率分布直方图,则 在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47) 内的个数为( ) A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 5.若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A. 12 B. 24 C. 36 D. 144 6.设 0.8 0.7 0.7 13 , , log 0.83a b c       ,则 , ,a b c 的大小关系为( ) A. a b c  B. b a c  C. b c a  D. c a b  7.设双曲线C 的方程为 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     ,过抛物线 2 4y x 的焦点和点 (0, )b 的直线为 l .若C 的一条渐近线与l 平行,另一条渐近线与l 垂直,则双曲线C 的方程为( ) A. 2 2 14 4 x y  B. 2 2 14 yx   C. 2 2 14 x y  D. 2 2 1x y  8.已知函数 ( ) sin 3f x x      .给出下列结论: ① ( )f x 的最小正周期为 2 ; ② 2f      是 ( )f x 的最大值; ③把函数 siny x 的图象上所有点向左平移 3  个单位长度,可得到函数 ( )y f x 的图象. 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9.已知函数 3, 0,( ) , 0. x xf x x x    … 若函数 2( ) ( ) 2 ( )g x f x kx x k   R 恰有 4 个零点,则 k 的取值范围是( ) A. 1, (2 2, )2       B. 1, (0,2 2)2      C. ( ,0) (0,2 2)  D. ( ,0) (2 2, )  绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学 第Ⅱ卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 11 小题,共 105 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.试题中包含两个空的,答 对 1 个的给 3 分,全部答对的给 5 分. 10.i 是虚数单位,复数 8 2 i i   _________. 11.在 5 2 2x x     的展开式中, 2x 的系数是_________. 12.已知直线 3 8 0x y   和圆 2 2 2 ( 0)x y r r   相交于 ,A B 两点.若| | 6AB  ,则 r 的 值为_________. 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 2 和 1 3 .假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、 乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________. 14.已知 0, 0a b  ,且 1ab  ,则 1 1 8 2 2a b a b    的最小值为_________. 15.如图,在四边形 ABCD 中, 60 , 3B AB   , 6BC  ,且 3, 2AD BC AD AB       ,则实数  的值为_________,若 ,M N 是线段 BC 上的动点, 且| | 1MN  ,则 DM DN  的最小值为_________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 16.在 ABC 中,角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c .已知 2 2, 5, 13a b c   . (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求 sin A 的值; (Ⅲ)求sin 2 4A     的值. 17.如图,在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 1CC  平面 , , 2ABC AC BC AC BC   , 1 3CC  , 点 ,D E 分别在棱 1AA 和棱 1CC 上,且 1 2,AD CE M  为棱 1 1A B 的中点. (Ⅰ)求证: 1 1C M B D ; (Ⅱ)求二面角 1B B E D  的正弦值; (Ⅲ)求直线 AB 与平面 1DB E 所成角的正弦值. 18.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的一个顶点为 (0, 3)A  ,右焦点为 F ,且| | | |OA OF , 其中O 为原点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知点 C 满足 3OC OF  ,点 B 在椭圆上( B 异于椭圆的顶点),直线 AB 与以 C 为 圆心的圆相切于点 P ,且 P 为线段 AB 的中点.求直线 AB 的方程. 19.已知 na 为等差数列, nb 为等比数列,    1 1 5 4 3 5 4 31, 5 , 4a b a a a b b b      . (Ⅰ)求 na 和 nb 的通项公式; (Ⅱ)记 na 的前 n 项和为 nS ,求证:  2 * 2 1n n nS S S n  N ; (Ⅲ)对任意的正整数 n ,设   2 1 1 3 2 , , , . n n n n n n n a b na ac a nb          为奇数 为偶数 求数列 nc 的前 2n 项和. 20.已知函数 3( ) ln ( )f x x k x k R   , ( )f x 为 ( )f x 的导函数. (Ⅰ)当 6k  时, (i)求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程; (ii)求函数 9( ) ( ) ( )g x f x f x x    的单调区间和极值; (Ⅱ)当 3k … 时,求证:对任意的 1 2, [1, )x x   ,且 1 2x x ,有        1 2 1 2 1 22 f x f x f x f x x x     .

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