2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷 数学Ⅰ）

绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分， 考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在 试卷及答题卡的规定位置. 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否 相符. 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在 其他位置作答一律无效. 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式： 柱体的体积V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h是柱体的高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题．． 卡相应位置上．．．．．．． 1.已知集合 { 1,0,1,2}, {0,2,3}A B   ，则 A B  _____. 2.已知i 是虚数单位，则复数 (1 i)(2 i)z    的实部是_____. 3.已知一组数据 4,2 ,3 ,5,6a a 的平均数为 4，则 a 的值是_____. 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是_____. 5.如图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 2 ，则输入 x 的值是_____. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 7.已知 y=f(x)是奇函数，当 x≥0 时，   2 3 f x x ，则 f(-8)的值是____. 8.已知 2sin ( )4   = 2 3 ，则sin 2 的值是____. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边 长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm. 10.将函数 y= πsin(2 )43 x﹢ 的图象向右平移 π 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称 轴的方程是____. 11.设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列．已知数列{an+bn}的前 n 项和 2 2 1( )n nS n n n     N ，则 d+q 的值是_______． 12.已知 2 2 45 1( , )x y y x y R   ，则 2 2x y 的最小值是_______． 13.在△ABC 中， 4 3 =90AB AC BAC  ， ，∠ ，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若 3( )2PA mPB m PC     （m 为常数），则 CD 的长度是________． 14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 3( 0)2P ， ，A，B 是圆 C： 2 21( ) 362x y   上的两个动点， 满足 PA PB ，则△PAB 面积的最大值是__________． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点． （1）求证：EF∥平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1． 16.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 3, 2, 45a c B    ． （1）求sinC 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4cos 5ADC   ，求 tan DAC 的值． 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上、 桥 AB 与 MN 平行，OO为铅垂线(O 在 AB 上).经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的 距离 1h (米)与 D 到OO的距离 a(米)之间满足关系式 2 1 1 40h a ；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 2h (米)与 F 到OO的距离 b(米)之间满足关系式 3 2 1 6800h b b   .已知点 B 到OO 的距离为 40 米. （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上 (不包括端点).桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 3 2 k (万元)(k>0).问 O E 为多少米时， 桥墩 CD 与 EF 的总造价最低? 18.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 : 14 3 x yE   的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在 椭圆 E 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B． （1）求 △ AF1F2 的周长； （2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP QP  的最小值； （3）设点 M 在椭圆 E 上，记 △ OAB 与 △ MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐 标． 19.已知关于 x 的函数 ( ), ( )y f x y g x  与 ( ) ( , )h x kx b k b  R 在区间 D 上恒有 ( ) ( ) ( )f x h x g x  ． （1）若    2 22   2 ( )f x x x g x x x D       ， ， ， ，求 h(x)的表达式； （2）若 2  1   ln   ,( ) ( ) ( ) (0 ) x x g k x h kx k Df x x x        ， ， ， ，求 k 的取值范围； （3）若  4 2 2 2 4 2( )   2 ( )   (4 8  ( )  4  3   0 )2   2f x x x g x x h x t t x t t t        ， ， ≤ ，    ,  2, 2D m n    ，求证： 7n m  ． （1）求得  f x 与  g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得  h x 的表达式. （2）先由     0h x g x  ，求得 k 的一个取值范围，再由     0f x h x  ，求得 k 的另一 个取值范围，从而求得 k 的取值范围. （3）先由    f x h x ，求得 t 的取值范围，由方程     0g x h x  的两个根，求得 n m 的表达式，利用导数证得不等式成立. 20.已知数列  *( )na n N 的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn．设λ与 k 是常数，若对一切正整数 n， 均有 1 1 1 1 1k k kn n nS S a   成立，则称此数列为“λ–k”数列． （1）若等差数列 na 是“λ–1”数列，求λ的值； （2）若数列 na 是“ 3 23  ”数列，且 an＞0，求数列 na 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 na 为“λ–3”数列，且 an≥0?若存在，求λ的取值 范围；若不存在，说明理由， （2） 2 1, 1 3 4 , 2n n na n     （3） 0 1  数学Ⅱ(附加题) 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域．．．．．．．．． 内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． A．[选修 4-2：矩阵与变换] 21.平面上点 (2, 1)A  在矩阵 1 1 a b      M 对应的变换作用下得到点 (3, 4)B  ． （1）求实数 a ，b 的值； （2）求矩阵 M 的逆矩阵 1M  ． B．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22.在极坐标系中，已知点 1 π( , )3A  在直线 : cos 2l    上，点 2 π( , )6B  在圆 : 4sinC   上 （其中 0  ， 0 2   ）． （1）求 1 ， 2 的值 （2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． C．[选修 4-5：不等式选讲] 23.设 xR ，解不等式 2 | 1| | | 4x x   ． 【必做题】第 24 题、第 25 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24.在三棱锥 A—BCD 中，已知 CB=CD= 5 ,BD=2，O 为 BD 的中点，AO⊥平面 BCD，AO=2， E 为 AC 的中点． （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值； （2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= 1 4 BC，设二面角 F—DE—C 的大小为θ，求 sinθ的值． 25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取 一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球 的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ．