2020年文科数学普通高等学校招生全国统一考试

2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写 在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 2{ | 3 4 0}, { 4,1,3,5}A x x x B      ，则 A B  （ ） A. { 4,1} B. {1,5} C. {3,5} D. {1,3} 2.若 31 2i iz    ，则| | =z （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高 为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底 面正方形的边长的比值为（ ） A. 5 1 4  B. 5 1 2  C. 5 1 4  D. 5 1 2  4.设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为 （ ） A. 1 5 B. 2 5 C. 1 2 D. 4 5 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ( , )( 1,2, ,20)i ix y i   得到下面的散点图： 由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是（ ） A. y a bx  B. 2y a bx  C. exy a b  D. lny a b x  6.已知圆 2 2 6 0x y x   ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.设函数 ( ) cos π( )6f x x  在[ π,π] 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ） A. 10π 9 B. 7π 6 C. 4π 3 D. 3π 2 8.设 3log 4 2a  ，则 4 a  （ ） A. 1 16 B. 1 9 C. 1 8 D. 1 6 9.执行下面的程序框图，则输出的 n=（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 10.设{ }na 是等比数列，且 1 2 3 1a a a   ， 2 3 4+ 2a a a  ，则 6 7 8a a a   （ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 11.设 1 2,F F 是双曲线 2 2: 13 yC x   的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在C 上且| | 2OP  ， 则 1 2PF F△ 的面积为（ ） A. 7 2 B. 3 C. 5 2 D. 2 12.已知 , ,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙ 1O 为 ABC 的外接圆，若⊙ 1O 的面积为 4π ， 1AB BC AC OO   ，则球O 的表面积为（ ） A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若 x，y 满足约束条件 2 2 0, 1 0, 1 0, x y x y y           则 z=x+7y 的最大值为______________. 14.设向量 (1, 1), ( 1,2 4)m m    a b ，若 a b r r ，则 m  ______________. 15.曲线 ln 1y x x   的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为______________. 16.数列{ }na 满足 2 ( 1) 3 1n n na a n     ，前 16 项和为 540，则 1a  ______________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，C，D 四个等级. 加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工 业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选 哪个分厂承接加工业务? 18. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150°. （1）若 a= 3 c，b=2 7 ，求 ABC 的面积； （2）若 sinA+ 3 sinC= 2 2 ，求 C. 19.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心， ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAC； （2）设 DO= 2 ，圆锥的侧面积为 3π ，求三棱锥 P−ABC 的体积. 20.已知函数 ( ) ( 2)xf x e a x   . （1）当 1a  时，讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 ( )f x 有两个零点，求 a 的取值范围. 21.已知 A、B 分别为椭圆 E： 2 2 2 1x ya   （a>1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， 8AG GB   ， P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D． （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD 过定点. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则 按所做的第一题计分. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 cos , sin k k x t y t     (t 为参数 ) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4 cos 16 sin 3 0      ． （1）当 1k  时， 1C 是什么曲线？ （2）当 4k  时，求 1C 与 2C 的公共点的直角坐标． [选修 4—5：不等式选讲] 23.已知函数 ( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x    ． （1）画出 ( )y f x 的图像； （2）求不等式 ( ) ( 1)f x f x  的解集．