湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学三模试卷解析版

2020 年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学三 模试卷 一、选择题（本大题共 12 小题、每题 3 分，共 36 分） 1．下列运算正确的是（ ） A．a﹣2a＝a B．（﹣a2）3＝﹣a6 C．x6÷x3＝x2 D．（x+y）2＝x2+y2 2．下列说法正确的是（ ） A．﹣a 一定是负数 B． 是有理数 C． 是最简二次根式 D．平方根等于它本身的数是 0 和 1 3．地球上的海洋面积约为 361000000km2，这个数用科学记数法表示为（ ）km2． A．361×106 B．36.1×107 C．3.61×108 D．0.361×109 4．已知点 P（﹣a，a﹣1）在平面直角坐标系的第二象限，则 a 的取值范围在数轴上可表示 为（ ） A． B． C． D． 5．已知等腰三角形的一个角为 80°，则其顶角为（ ） A．20° B．50°或 80° C．10° D．20°或 80° 6．下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ） A． B． C． D． 7．有一圆锥，它的高为 8cm，底面半径为 6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A．30 π B．48 π C．60 π D．80 π8．如图，AB 是 ⊙ O 的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC＝（ ） A．35° B．55° C．70° D．110° 9．为备战 2012 年伦敦奥运会，甲乙两位射击运动员在一次训练中的成绩为（单位：环） 甲：9 10 9 8 10 9 8 乙：8 9 10 7 10 8 10 下列说法正确的是（ ） A．甲的中位数为 8 B．乙的平均数为 9 C．甲的众数为 9 D．乙的极差为 2 10．下列函数，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大的是（ ） A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1 11．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA，OB 于 C，D，再分别以点 C，D 为圆心，以大于 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 OP．由作法得△OCP≌△ODP 的根据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 12．若不等式组 有解，则 m 的取值范围是（ ） A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2 二、填空题（本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分） 13．计算： ＝ ． 14．设 α ， β 是一元二次方程 x2+3x﹣7＝0 的两个根，则 α 2+4 α + β ＝ ． 15．已知实数 x 满足 x2+ ＝62．则 x+ 的值是 ． 16．如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30°，朝物体 AB 方向前进 20m 到达点 C，再次测得 A 点的仰角为 60°，则物体的高度为 m． 17．“水中捞月”是一个 事件． 18．如图，在矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，EF 过 O 点且 EF⊥AC 分别交 DC 于 F，交 AB 于 E，点 G 是 AE 中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的是 ． （1）DC＝3OG； （2）OG＝ BC； （3）△OGE 是等边三角形； （4）S△AOE＝ ． 三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第 23、24 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分．解答应写出必要的文字说明、 证明过程或者演算步骤） 19．（6 分）计算： ﹣（4﹣ π ）0﹣6cos30°+（﹣2）﹣1． 20．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2＝2（1﹣m）x﹣m2 的两实数根为 x1，x2 （1）求 m 的取值范围； （2）设 y＝x1+x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值． 21．（8 分）某校实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师 为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半 个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并 将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，张老师一共调查了 名同学； （2）在扇形统计图中，D 类所占的圆心角为 度； （3）将下面的条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，张老师想从被调查的 A 类和 D 类学生中分别选取一位同学进行“一 帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和 一位女同学的概率． 22．（8 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中 CE＝CF，G 是 CD 与 EF 的交点． （1）求证：△BCF≌△DCE； （2）若∠BFC＝90°，S△CFG：S△DEG＝9：16，求 tan∠FBC 的值． 23．（9 分）兴发服装店老板用 4500 元购进一批某款 T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完， 老板又用 4950 元购进第二批该款式 T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一 批多了 9 元． （1）第一批该款式 T 恤衫每件进价是多少元？ （2）老板以每件 120 元的价格销售该款式 T 恤衫，当第二批 T 恤衫售出 时，出现了滞 销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于 650 元，剩余的 T 恤衫每件售 价至少要多少元？（利润＝售价﹣进价） 24．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， ⊙ M 经过原点 O 及 A、B 两点． （1）求 ⊙ M 的半径； （2）点 C 为弧 OA 上的一点，且满足∠COA＝∠CBO，求 C 点坐标． （3）直线 y＝x 与 ⊙ M 交于点 O、N 两点，求线段 ON 的长． 25．（10 分）在平面直角坐标系中，若 A、A'的坐标分别为（m，n）、（n，m），则我们称 A、 A'两点互为对称点． （1）若点 A（1，4）在双曲线 上，请判断 A 的对称点 A'是否在双曲线 上，并 说明理由． （2）如果不同的两点 A、B 均在直线 y＝x+1 上，A、B 两点的对称点分别为 A'、B'，求 直线 A'B'的解析式． （3）若 m、n 为方程 x2﹣x﹣1＝0 的两根，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点 A（m，n）和点 A 的对称点，且过点（1，1），抛物线 y＝ax2+bx+c 在 x 轴上方的部分（含与 x 轴的交点） 记为图形 w，若直线 y＝ax+h 与图形 w 有且只有一个交点，求 h 的值或 h 的范围． 26．（10 分）抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的对称轴为 y 轴，且经过（0，0）， （ ， ）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）将原抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）向右平移 1 个单位长度，再向下 平移 m（m＞0）个单位长度得新抛物线，此时新抛物线与 x 轴相交于 E、F 两点，与 y 轴相交于点 M，过点 M 与 x 轴平行的直线与新抛物线的另一交点为 N，若点 E、点 F 恰 好在以 MN 为直径的圆周上，求 m 的值； （3）在（1）的条件下，若直线 AB：y＝kx+2k+4 与抛物线 y＝ax2+bx+c 交于 A、B 两点， 试在抛物线上找一定点 D，使∠ADB＝90°，求点 D 的坐标，并求出点 D 到直线 AB 的 最大距离． 2020 年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学三 模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题、每题 3 分，共 36 分） 1．下列运算正确的是（ ） A．a﹣2a＝a B．（﹣a2）3＝﹣a6 C．x6÷x3＝x2 D．（x+y）2＝x2+y2 【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方运算性质，同底数幂的除法法则，完全平方 公式分别计算，然后比较即可． 【解答】解：A、应该得﹣a，故本选项错误； B、正确； C、x6÷x3＝x3，故本选项错误； D、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故本选项错误． 故选：B． 2．下列说法正确的是（ ） A．﹣a 一定是负数 B． 是有理数 C． 是最简二次根式 D．平方根等于它本身的数是 0 和 1 【分析】根据有理数的概念、最简二次根式以及平方根的定义，逐个进行判断即可． 【解答】解：A．﹣a 不一定是负数，故 A 不符合题意； B． 属于分数，是有理数，故 B 符合题意； C． ＝ ，故 不是最简二次根式，故 C 不符合题意； D．平方根等于它本身的数是 0，故 D 不符合题意； 故选：B． 3．地球上的海洋面积约为 361000000km2，这个数用科学记数法表示为（ ）km2． A．361×106 B．36.1×107 C．3.61×108 D．0.361×109 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数，n 的值取决于原数变成 a 时，小数点移动的位数，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值大于 1 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 【解答】解：361000000km2＝3.61×108km2． 故选：C． 4．已知点 P（﹣a，a﹣1）在平面直角坐标系的第二象限，则 a 的取值范围在数轴上可表示 为（ ） A． B． C． D． 【分析】由 P 为第二象限点求出 a 的范围，表示在数轴上即可． 【解答】解：∵点 P（﹣a，a﹣1）在平面直角坐标系的第二象限， ∴ ， 解得：a＞1， 表示在数轴上，如图所示： ， 故选：A． 5．已知等腰三角形的一个角为 80°，则其顶角为（ ） A．20° B．50°或 80° C．10° D．20°或 80° 【分析】等腰三角形一内角为 80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况． 【解答】解：（1）当 80°角为顶角时，其顶角为 80° （2）当 80°为底角时，得顶角＝180°﹣2×80°＝20°； 故选：D． 6．下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形比较即可． 【解答】解：A、主视图为长方形； B、主视图为长方形； C、主视图为两个相邻的三角形； D、主视图为长方形； 故选：C． 7．有一圆锥，它的高为 8cm，底面半径为 6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A．30 π B．48 π C．60 π D．80 π【分析】先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积， 计算可得． 【解答】解：圆锥的母线＝ ＝10（cm）， 圆锥的底面周长 2 π r＝12 π （cm）， 圆锥的侧面积＝ lR＝ ×12 π ×10＝60 π （cm2）． 故选：C． 8．如图，AB 是 ⊙ O 的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC＝（ ） A．35° B．55° C．70° D．110° 【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，再由三角形内角和定理得出∠ABC 的度 数，根据圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵AB 是 ⊙ O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝35°， ∴∠ABC＝180°﹣90°﹣35°＝55°， ∴∠ADC＝∠ABC＝55°． 故选：B． 9．为备战 2012 年伦敦奥运会，甲乙两位射击运动员在一次训练中的成绩为（单位：环） 甲：9 10 9 8 10 9 8 乙：8 9 10 7 10 8 10 下列说法正确的是（ ） A．甲的中位数为 8 B．乙的平均数为 9 C．甲的众数为 9 D．乙的极差为 2 【分析】分别计算两组数据的众数、平均数、中位数及极差后，选择正确的答案即可． 【解答】解：甲：9，10，9，8，10，9，8 A．∵排序后为：8，8，9，9，9，10，10 ∴中位数为：9；故此选项错误； C.9 出现了 3 次，最多， ∴众数为 9，故此选项正确； 乙：8，9，10，7，10，8，10， B．（8+9+10+7+10+8+10）÷7＝ ≠9，故此选项错误； D．极差是 10﹣7＝3，故此选项错误； 故选：C． 10．下列函数，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大的是（ ） A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1 【分析】分别根据正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可求解． 【解答】解：A、y＝﹣2x，y 随 x 增大而减小，不符合题意； B、y＝ ，当 x＞0 时，y 随 x 增大而减小，不符合题意； C、y＝2（x+1）2，当 x＞﹣1 时，y 随 x 增大而增大，所以当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大， 符合题意； D、y＝﹣x2+1，当 x＞0 时，y 随 x 增大而减小，不符合题意． 故选：C． 11．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA，OB 于 C，D，再分别以点 C，D 为圆心，以大于 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 OP．由作法得△OCP≌△ODP 的根据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP 与△ODP 的两边分别相等，加上 公共边相等，于是两个三角形符合 SSS 判定方法要求的条件，答案可得． 【解答】解：∵以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA，OB 于 C，D，即 OC＝OD； 以点 C，D 为圆心，以大于 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P，即 CP＝DP； 在△OCP 和△ODP 中， ， ∴△OCP≌△ODP（SSS）． 故选：D． 12．若不等式组 有解，则 m 的取值范围是（ ） A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2 【分析】本题实际就是求这两个不等式的解集．先根据第一个不等式中 x 的取值，分析 m 的取值． 【解答】解：原不等式组可化为 （1）和 （2）， （1）解集为 m≤1；（2）有解可得 m＜2， 则由（2）有解可得 m＜2． 故选：A． 二、填空题（本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分） 13．计算： ＝ x﹣1 ． 【分析】根据同分母分式的加减，分母不变，只把分子相加减，计算求解即可． 【解答】解： ＝ ＝x﹣1． 故答案为：x﹣1． 14．设 α ， β 是一元二次方程 x2+3x﹣7＝0 的两个根，则 α 2+4 α + β ＝ 4 ． 【分析】由 α ， β 是一元二次方程 x2+3x﹣7＝0 的两个根，得出 α + β ＝﹣3， α 2+3 α ＝7，再 把 α 2+4 α + β 变形为 α 2+3 α + α + β ，即可求出答案． 【解答】解：∵ α ， β 是一元二次方程 x2+3x﹣7＝0 的两个根， ∴ α + β ＝﹣3， α 2+3 α ﹣7＝0， ∴ α 2+3 α ＝7， ∴ α 2+4 α + β ＝ α 2+3 α + α + β ＝7﹣3＝4， 故答案为：4． 15．已知实数 x 满足 x2+ ＝62．则 x+ 的值是 ±8 ． 【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案． 【解答】解：∵x2+ ＝62， ∴（x+ ）2＝x2+ +2＝62+2＝64， ∴x+ 的值是：± ＝±8． 故答案为：±8． 16．如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30°，朝物体 AB 方向前进 20m 到达点 C，再次测得 A 点的仰角为 60°，则物体的高度为 10 m． 【分析】设 AB＝x，分别表示出 DB、CB，再由 DC＝20m，可得出方程，解出即可． 【解答】解：设 AB＝x， 在 Rt△ADB 中，BD＝ABcot∠ADB＝ x， 在 Rt△ACB 中，BC＝ABcot∠ACB＝ x， 则 x﹣ x＝20， 解得：x＝10 ，即物体的高度为 10 m． 故答案为：10 ． 17．“水中捞月”是一个 不可能 事件． 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：“水中捞月”是不可能事件， 故答案为：不可能． 18．如图，在矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，EF 过 O 点且 EF⊥AC 分别交 DC 于 F，交 AB 于 E，点 G 是 AE 中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的是 （1）（3）（4） ． （1）DC＝3OG； （2）OG＝ BC； （3）△OGE 是等边三角形； （4）S△AOE＝ ． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OG＝AG＝GE＝ AE，再根 据等边对等角可得∠OAG＝30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE＝60°，从而 判断出△OGE 是等边三角形，判断出（3）正确；设 AE＝2a，根据等边三角形的性质表 示出 OE，利用勾股定理列式求出 AO，从而得到 AC，再求出 BC，然后利用勾股定理列 式求出 AB＝3a，从而判断出（1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积 列式求出判断出（4）正确． 【解答】解：∵EF⊥AC，点 G 是 AE 中点， ∴OG＝AG＝GE＝ AE， ∵∠AOG＝30°， ∴∠OAG＝∠AOG＝30°， ∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°， ∴△OGE 是等边三角形，故（3）正确； 设 AE＝2a，则 OE＝OG＝a， 由勾股定理得，AO＝ ＝ ＝ a， ∵O 为 AC 中点， ∴AC＝2AO＝2 a， ∴BC＝ AC＝ ×2 a＝ a， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得，AB＝ ＝3a， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴CD＝AB＝3a， ∴DC＝3OG，故（1）正确； ∵OG＝a， BC＝ a ， ∴OG≠ BC，故（2）错误； ∵S△AOE＝ a• a＝ a2，SABCD＝3a• a＝3 a2， ∴S△AOE＝ SABCD，故（4）正确； 综上所述，结论正确是（1）（3）（4）． 故答案为：（1）（3）（4）． 三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第 23、24 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分．解答应写出必要的文字说明、 证明过程或者演算步骤） 19．（6 分）计算： ﹣（4﹣ π ）0﹣6cos30°+（﹣2）﹣1． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、二 次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝3 ﹣1﹣6× ﹣ ＝3 ﹣1﹣3 ﹣ ＝﹣ ． 20．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2＝2（1﹣m）x﹣m2 的两实数根为 x1，x2 （1）求 m 的取值范围； （2）设 y＝x1+x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值． 【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于 m 的不等式，可求出 m 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出 x1+x2 的表达式，进而可得出 y、m 的函数关系式，根 据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出 y 的最小值及对应的 m 值． 【解答】解：（1）将原方程整理为 x2+2（m﹣1）x+m2＝0； ∵原方程有两个实数根， ∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4m2＝﹣8m+4≥0，得 m≤ ； （2）∵x1，x2 为一元二次方程 x2＝2（1﹣m）x﹣m2，即 x2+2（m﹣1）x+m2＝0 的两根， ∴y＝x1+x2＝﹣2m+2，且 m≤ ； 因而 y 随 m 的增大而减小，故当 m＝ 时，取得最小值 1． 21．（8 分）某校实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师 为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半 个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并 将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，张老师一共调查了 20 名同学； （2）在扇形统计图中，D 类所占的圆心角为 36 度； （3）将下面的条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，张老师想从被调查的 A 类和 D 类学生中分别选取一位同学进行“一 帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和 一位女同学的概率． 【分析】（1）用 A 类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）先分别计算出 C 类和 D 类人数，然后由 360°乘以 D 所占的比例即可； （3）求出成绩为 C 的女生数和成绩为 D 的男生数，补全条形统计图即可； （4）画出树状图，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）（1+2）÷15%＝20（名）， 即张老师一共调查了 20 名同学， 故答案为：20； （2）∵C 类的学生数为：20×25%＝5（名）， ∴成绩为 D 的学生人数为：20﹣3﹣10﹣5＝2（名）， ∴D 类所占扇形圆心角的度数是 360°× ＝36°， 故答案为：36； （3）成绩为 C 的女生数为 5﹣3＝2（名），成绩为 D 的男生数为 20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（名）， 补全条形统计图如图： （4）由题意画树形图如图所示： 从树形图看出，所有可能出现的结果共有 6 种，且每种结果出现的可能性相等，所选两 位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有 3 种． ∴P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）＝ ＝ ． 22．（8 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中 CE＝CF，G 是 CD 与 EF 的交点． （1）求证：△BCF≌△DCE； （2）若∠BFC＝90°，S△CFG：S△DEG＝9：16，求 tan∠FBC 的值． 【分析】（1）由四边形 ABCD 为正方形，利用正方形的性质得到∠BCD 为直角，BC＝ CD，根据三角形 ECF 为等腰直角三角形，得到∠FCE 为直角，CF＝CE，利用等式的性 质得到夹角相等，利用 SAS 即可得证； （2）由（1）的全等三角形，得到∠DEC＝∠BFC＝90°，进而确定出 FC 与 DE 平行， 得到三角形 CFG 与三角形 DEG 相似，根据相似三角形面积之比等于相似比，求出相似 比，再利用锐角三角函数定义即可求出所求式子的值． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD， ∵△ECF 是等腰直角三角形， ∴∠FCE＝90°，CF＝CE， ∴∠BCD﹣∠FCD＝∠ECF﹣∠FCD，即∠BCF＝∠DCE， 在△BCF 和△DCE 中， ， ∴△BCF≌△DCE（SAS）； （2）由（1）知△BCF≌△DCE， 又∵∠BFC＝90°， ∴∠DEC＝∠BFC＝90°， ∵∠FCE＝90°， ∴FC∥DE， ∴∠CFG＝∠DEG， ∵∠CGF＝∠DGE， ∴△CFG∽△DEG， ∴ ＝（ ）2＝ ， ∴ ＝ ， 又由（1）知 DE＝BF， ∴ ＝ ， ∵∠BFC＝90°， ∴tan∠FBC＝ ＝ ． 23．（9 分）兴发服装店老板用 4500 元购进一批某款 T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完， 老板又用 4950 元购进第二批该款式 T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一 批多了 9 元． （1）第一批该款式 T 恤衫每件进价是多少元？ （2）老板以每件 120 元的价格销售该款式 T 恤衫，当第二批 T 恤衫售出 时，出现了滞 销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于 650 元，剩余的 T 恤衫每件售 价至少要多少元？（利润＝售价﹣进价） 【分析】（1）设第一批 T 恤衫每件进价是 x 元，则第二批每件进价是（x+9）元，再根据 等量关系：第二批进的件数＝第一批进的件数可得方程； （2）设剩余的 T 恤衫每件售价 y 元，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低 于 650 元，可列不等式求解． 【解答】解：（1）设第一批 T 恤衫每件进价是 x 元，由题意，得 ＝ ， 解得 x＝90， 经检验 x＝90 是分式方程的解，符合题意． 答：第一批 T 恤衫每件的进价是 90 元； （2）设剩余的 T 恤衫每件售价 y 元． 由（1）知，第二批购进 ＝50（件）． 由题意，得 120×50× +y×50× ﹣4950≥650， 解得 y≥80． 答：剩余的 T 恤衫每件售价至少要 80 元． 24．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， ⊙ M 经过原点 O 及 A、B 两点． （1）求 ⊙ M 的半径； （2）点 C 为弧 OA 上的一点，且满足∠COA＝∠CBO，求 C 点坐标． （3）直线 y＝x 与 ⊙ M 交于点 O、N 两点，求线段 ON 的长． 【分析】（1）首先求出 AO，OB 的长度，然后根据勾股定理即可求出 AB 长度，MB 为半 径等于 AB 的一半； （2）根据已知得出 C 为弧 OA 的中点，连接 MC，根据垂径定理逆定理得出 MC 垂直于 OA，然后根据相似求出 M 点坐标和 ME 的长度，即可求出 C 的坐标； （3）过点 N 作 NG⊥AO，过点 M 作 MH⊥NG，首先得出 OG＝NG，然后设 N（a，a）， 连接 MN，根据勾股定理求出 N 的坐标，再根据勾股定理即可求出 ON 的长度． 【解答】解：（1）在直线 y＝﹣ x+3 上令 x＝0，y＝3， ∴OB＝3， 令 y＝0，x＝4， ∴OA＝4， ∴AB＝ ＝5， ∴ ⊙ M 的半径为：BM＝ ； （2）∵∠COA＝∠CBO， ∴ ， 连接 MC， ∴MC⊥AO， ∴ME∥OB， ∴△AME∽△ABO， ∴ ， ∴OE＝EA＝2，ME＝ ＝ ， ∴EC＝MC﹣ME＝ ﹣ ＝1， ∴C（2，﹣1）； （3）过点 N 作 NG⊥AO，过点 M 作 MH⊥NG，连接 MN， ∵NO 解析式为：y＝x， ∴NG＝OG， ∴设 N（a，a）， ∴MN2＝MH2+NH2， ∴ ， 整理得：2a2﹣7a＝0， ∴ ， ∴N 的坐标为（ ， ）， ∴ON＝ ＝ ． 25．（10 分）在平面直角坐标系中，若 A、A'的坐标分别为（m，n）、（n，m），则我们称 A、 A'两点互为对称点． （1）若点 A（1，4）在双曲线 上，请判断 A 的对称点 A'是否在双曲线 上，并 说明理由． （2）如果不同的两点 A、B 均在直线 y＝x+1 上，A、B 两点的对称点分别为 A'、B'，求 直线 A'B'的解析式． （3）若 m、n 为方程 x2﹣x﹣1＝0 的两根，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点 A（m，n）和点 A 的对称点，且过点（1，1），抛物线 y＝ax2+bx+c 在 x 轴上方的部分（含与 x 轴的交点） 记为图形 w，若直线 y＝ax+h 与图形 w 有且只有一个交点，求 h 的值或 h 的范围． 【分析】（1）由对称定义知 A′（4，1），当 x＝4 时，代入 中，求 y 的值，判断 y 值与 A′的纵坐标是否相等，可知结果； （2）设 A、B 两点横坐标分别为 s，t，AB 在 y＝x+1 上，代入可得 A（s，s+1），B（t， t+1）坐标，由对称点定义知 A′、B′坐标，两点确定一条直线，联立，关于 s，t 的方 程组可得直线 A′B′的解析式； （3）由求根公式可得方程 x2﹣x﹣1 的两根 m，n，即可得 A 和 A′坐标，把 A、A′和点 （1，1）代入抛物线 y＝ax2+bx+c 中，得抛物线解析式 y＝﹣x2+2，w 与 x 轴交点坐标为 （ ，0）（﹣ ，0），直线 y＝﹣x+h 与 w 有且只有一个交点，找临界值并画图，过 A （﹣ ，0）时，h＝ ，过（﹣ ，0）时，h＝﹣ ，即﹣ ≤h≤ ，当 y＝﹣x2+2 与 y＝﹣x+h 相切时，联立方程组得 x2﹣x+h﹣2＝0，△＝0，可得 h 的值，即可得出最后 的结论． 【解答】解：（1）由对称点定义得 A′的点 A（4，1）， 在双曲线 上， 当 x＝4 时，代入双曲线 中，y＝ ， 1≠ ． ∴点 A′不在双曲线 y＝ 上； （2）设 A，B 两点的距离坐标分别为 s，t， 又点 A、B 在直线 y＝x+1 上， ∴A（s，s+1），B（t，t+1）， ∴A 点（s，s+1）的对称点为（s+1，s），B（t，t+1）对称点为（t+1，t）， 设直线 A′B′解析为 y＝kx+b， ∴ ， A、B 两点不同则 s≠t， ① ﹣ ② 得（s﹣t）k＝s﹣t， 解得 k＝1， 将 k＝1 代入 ① 中得 b1＝﹣1， ∴直线 A′B′解析式为 y＝x﹣1； （3）m，n 为方程 x2﹣x+1＝0 两根， ∴m＝ ，n＝ ， ∴m+n＝1， 把 A（n，m）A′（m，n），点（1，1），代入抛物线 y＝ax2+bx+c 中， ∴ ， ② ﹣ ③ 得 a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝﹣（m﹣n）， ∴a（m+n）+b＝﹣1， 即 a+b＝﹣1， ∴c＝2，b＝﹣a﹣1， 将 c＝2，b＝﹣a﹣1 代入 ② 中得 m（am﹣a﹣a）+2＝ ， ∴am﹣a﹣1＝ ， ∴a（m﹣1）＝ ， ∴a× ＝ ， ∴a＝﹣1，b＝0， ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+2， 又 y＝﹣x2+2 在 x 轴上方部分（含与 y 轴交点）记为图形 w，直线 y＝﹣x+h 与图形 w 有 且只有一个交点， 当 y＝﹣x+h 过点（ ，0）时，h＝ ； 当 y＝﹣x+h 过点（﹣ ，0）时，h＝﹣ ， ∴﹣ ≤h≤ ， 当 y＝﹣x2+2 与 y＝﹣x+h 只有一个交点时（即相切）， 联立 ， ∴x2﹣x+h﹣2＝0 有两个相等数根， ∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（h﹣2）＝1﹣4h+8＝9﹣4h＝0， ∴h＝ ， 故直线 y＝﹣x+h 与图形 w 有且只有一个交点时， h＝ 或﹣ ≤h≤ ． 26．（10 分）抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的对称轴为 y 轴，且经过（0，0）， （ ， ）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）将原抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）向右平移 1 个单位长度，再向下 平移 m（m＞0）个单位长度得新抛物线，此时新抛物线与 x 轴相交于 E、F 两点，与 y 轴相交于点 M，过点 M 与 x 轴平行的直线与新抛物线的另一交点为 N，若点 E、点 F 恰 好在以 MN 为直径的圆周上，求 m 的值； （3）在（1）的条件下，若直线 AB：y＝kx+2k+4 与抛物线 y＝ax2+bx+c 交于 A、B 两点， 试在抛物线上找一定点 D，使∠ADB＝90°，求点 D 的坐标，并求出点 D 到直线 AB 的 最大距离． 【分析】（1）把点（0，0）代入解析式得 c＝0，与 y 轴有交点，利用对称轴公式 x＝﹣ ＝0，得 b＝0，把点（ ， ）代入解析式，可得抛物线的解析式． （2）由平移性质知新抛物线的解析式 y＝ （x﹣1）2﹣m，与 x 轴交点纵坐标为 0，与 y 轴交点横坐标为 0，即得 E、F、M、N 的坐标．点 F 恰好在以 MN 为直径的圆周上，∠ MFN＝90°，利用勾股定理可求出 m 的值． （3）分两种情况：1．过 D 作 EF∥x 轴，过 A 作 AE⊥EF 于点 E，过 B 作 BF⊥EF，利 用△AED∽△DFB，AB 与抛物线交于 A、B 两点，联立方程可得一元二次方程求解即可． 2．过 D 作 DG∥x 轴，过 C 作 CG⊥DG 于 G，过 D 作 DH⊥AB 于 H，利用勾股定理可 求解． 【解答】解：（1）y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为 y 轴且过（0，0）， ∴c＝0， ∵x＝﹣ ＝0， ∴b＝0， ∵C（ ， ）在抛物线上， ∴a≥0，a（ ）2+bx+c＝ ， ∴a2＝ （代入求值）， ∴a＝ 或 a＝﹣ （舍）， ∴y＝ x2； （2）将 y＝ x2 向下平移 m 个单位，向右平移 1 个单位， ∴y＝ （x﹣1）2﹣m， 与 x 轴交于点 E、F，令 y＝0， 得 xE＝1﹣ ，xF＝1+ ， ∴E（1﹣ ，0），F（1+ ，0）， 又 y＝ （x﹣1）2﹣m 与 y 轴交于 M， ∴令 x＝0，y＝ ﹣m， ∴M（0， ﹣m）， 又∵MN∥x 轴与抛物线交于 N， ∴N（2， ﹣m）， ∴MN＝2， ∴MN2＝4，MF2＝（1+ ）2+（ ﹣m）2， NF2＝（1﹣ ）2+（ ﹣m）2， ∵点 F 恰好在以 MN 为直径的圆周上， ∴∠MFN＝90°， ∴△MFN 为直角三角形， ∴MN2＝MF2+NF2， ∴4＝（1+ ）2+（ ﹣m）2+（1﹣ ）2+（ ﹣m）2， ∴4＝2+4m+2×（ ﹣m+m2）， ∴m2+m﹣ ＝0， ∴m＝﹣ 或 ， 又 m＞0， ∴m＝ ； （3）如图 1，过 D 作 EF∥x 轴，过 A 作 AE⊥EF 于点 E，过 B 作 BF⊥EF， 设 A、B、D 横坐标为 s、n、t， ∵A、B、D 在 y＝ x2 上，A（s， s2），B（n， n2），C（t， t2）， ∵∠ADB＝90°，∠DFB＝90°， ∴∠ADE+∠BDF＝90°＝∠DBF+∠BDF， ∴∠ADE＝∠DBF， 又∵∠AED＝∠DFB＝90°， ∴△AED∽△DFB， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴t2+（s+n）t+sn+4＝0，AB 与抛物线交于 A、B 两点， ∴s、n 为 kx+2k+4＝ x2， ∴x2﹣2kx﹣4k﹣8＝0， ∴s+n＝2k，sn＝﹣4k﹣8， ∴t2+2kt﹣4k﹣4＝0， （t﹣2）（t+2k+2）＝0， ∴t1＝2，t2＝﹣2b﹣2（舍）， 将 t＝2 代入 y＝ x2， 得 t2＝ ×22＝2， ∴D（2，2）， 如图 2，过 D 作 DG∥x 轴，过 C 作 CG⊥DG 于 G，过 D 作 DH⊥AB 于 H，C（﹣2，4）， D（2，2）， ∴CG＝4﹣2＝2，DG＝2﹣（﹣2）＝4， ∴CD＝ ＝ ＝2 ， ∵DH＜DC， ∴DH≤2 ， 当 DC⊥AB 时，DH 与 DC 重合时，DH 取最大值， DH＝DC＝2 ， ∴D 到 AB 最大距离为 2 ．