绝密★启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）
文科数学
注意事项:
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上
无效．
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知全集 1,2,3,4,5U ,集合 1,2 , 3,4M N ,则 ( )U M N ð （ ）
A． 5 B． 1,2 C． 3,4 D． 1,2,3,4
2．设 i 4 3iz ,则 z （ ）
A． –3 4i B． 3 4i C． 3 4i D．3 4i
3．已知命题 : ,sin 1p x x R ﹔命题 :q x R ﹐ | |e 1x ,则下列命题中为真命题的是（ ）
A． p q B． p q C． p q D． p q
4．函数 ( ) sin cos3 3
x xf x 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．3π 和 2 B．3π 和 2 C． 6π 和 2 D． 6π 和 2
5．若 ,x y 满足约束条件
4,
2,
3,
x y
x y
y
则 3z x y 的最小值为（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
6． 2 2π 5πcos cos12 12
（ ）
A． 1
2
B． 3
3
C． 2
2
D． 3
2
7．在区间 10, 2
随机取 1 个数，则取到的数小于 1
3
的概率为（ ）
A． 3
4 B． 2
3 C． 1
3 D． 1
6
8．下列函数中最小值为 4 的是（ ）
A．
2 2 4y x x B．
4sin siny x x
C． 22 2x xy D． 4ln lny x x
9．设函数 1( ) 1
xf x x
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． 1 1f x B． 1 1f x C． 1 1f x D． 1 1f x
10．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P 为 1 1B D 的中点，则直线 PB 与 1AD 所成的角为（ ）
A． π
2 B． π
3 C． π
4 D． π
6
11．设 B 是椭圆
2
2: 15
xC y 的上顶点，点 P 在 C 上，则 PB 的最大值为（ ）
A． 5
2 B． 6 C． 5 D．2
12．设 0a ，若 x a 为函数 2f x a x a x b 的极大值点，则（ ）
A． a b B． a b C． 2ab a D． 2ab a
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 2,5 , ,4 a b ，若 ∥a b ，则 _________．
14．双曲线
2 2
14 5
x y 的右焦点到直线 2 8 0x y 的距离为________．
15．记 ABC△ 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 3 ， 60B ， 2 2 3a c ac ，则b ________．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选
侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题．共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台
新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ，样本方差分别记为 2
1s 和 2
2s ．
（1）求 x ， y ， 2
1s ， 2
2s ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
2 2
1 22 10
s sy x ，则认为
新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18．（12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 的底面是矩形， PD 底面 ABCD ，M 为 BC 的中点，且 PB AM ．
（1）证明：平面 PAM 平面 PBD ；
（2）若 1PD DC ，求四棱锥 P ABCD 的体积．
19．（12 分）
设 na 是首项为 1 的等比数列，数列 nb 满足
3
n
n
nab ．已知 1a ， 23a ， 39a 成等差数列．
（1）求 na 和 nb 的通项公式；
（2）记 nS 和 nT 分别为 na 和 nb 的前 n 项和．证明：
2
n
n
ST ．
20．（12 分）
已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点 F 到准线的距离为 2．
（1）求 C 的方程;
（2）已知 O 为坐标原点,点 P 在 C 上,点 Q 满足 9PQ QF
,求直线OQ 斜率的最大值.
21．(12 分)
已知函数 3 2( ) 1f x x x ax ．
（1)讨论 f x 的单调性；
（2）求曲线 y f x 过坐标原点的切线与曲线 y f x 的公共点的坐标．
（二）选考题:共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中, C 的圆心为 2,1C ,半径为 1．
（1)写出 C 的一个参数方程;
（2)过点 4,1F 作 C 的两条切线．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极
坐标方程．
23．[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
已知函数 3f x x a x ．
(1)当 1a 时,求不等式 6f x 的解集;
(2)若 f x a ,求 a 的取值范围．
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