2021年新高考全国Ⅰ卷数学高考真题文档版（无答案）

2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码 粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑： 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.设集合  2 4A x x    ，  2,3,4,5B  ，则 A B  （ ） A. 2 B. 2,3 C. 3,4 D. 2,3,4 2.已知 2 iz   ，则  iz z  （ ） A. 6 2i B. 4 2i C. 6 2i D. 4 2i 3.已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A.2 B. 2 2 C.4 D. 4 2 4.下列区间中，函数   7sin 6f x x      单调递增的区间是（ ） A. 0, 2      B. ,2       C. 3, 2      D. 3 ,22       5.已知 1F ， 2F 是椭圆C ： 2 2 19 4 x y  的两个焦点，点 M 在C 上，则 1 2MF MF 的最大值为（ ） A.13B.12C.9 D.6 6.若 tan 2   ，则  sin 1 sin 2 sin cos       （ ） A. 6 5  B. 2 5  C. 2 5 D. 6 5 7.若过点  ,a b 可以作曲线 exy  的两条切线，则（ ） A. eb a B. ea b C. 0 eba  D. 0 eab  8.有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示 事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的 球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（ ） A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9.有一组样本数据 1x ， 2x ，…， nx ，由这组数据得到新样本数据 1y ， 2y ，…， ny ，其中 i iy x c  （ 1,2, ,i n  ），c 为非零常数，则（ ） A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样数据的样本极差相同 10.已知O 为坐标原点，点  1 cos ,sinP   ，  2 cos , sinP   ，     3 cos ,sinP      ，  1,0A ， 则（ ） A. 1 2OP OP  B. 1 2AP AP  C. 3 1 2OA OP OP OP      D. 1 2 3OA OP OP OP      11.已知点 P 在圆   2 25 5 16x y    上，点  4,0A ，  0,2B ，则（ ） A.点 P 到直线 AB 的距离小于 10 B.点 P 到直线 AB 的距离大于 2 C.当 PBA 最小时， 3 2PB  D.当 PBA 最大时， 3 2PB  12.在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 1AB AA  ，点 P 满足 1BP BC BB     ，其中  0,1  ，  0,1  ， 则（ ） A.当 1  时， 1AB P△ 的周长为定值 B.当 1  时，三棱锥 1P A BC 的体积为定值 C.当 1 2   时，有且仅有一个点 P ，使得 1A P BP D.当 1 2   时，有且仅有一个点 P ，使得 1A B  平面 1AB P 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知函数    3 2 2x xx af x    是偶函数，则 a ______. 14.已知O 为坐标原点，抛物线C ： 2 2y px （ 0p  ）的焦点为 F ，P 为C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴上一点，且 PQ OP .若 6FQ  ，则C 的准线方程为______. 15.函数   2 1 2lnf x x x   的最小值为______. 16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为 20dm 12dm 的 长方形纸，对折 1 次共可以得到 10dm 12dm ， 20dm 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 2 1 240dmS  ，对折 2 次共可以得到 5dm 12dm ，10dm 6dm ， 20dm 3dm 三种规格的图形，它们的 面积之和 2 2 180dmS  ，以此类推.则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 n 次， 那么 1 n k k S   ______ 2dm . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 已知数列 na 满足 1 1a  ， 1 1, , 2, n n n a n a a n      为奇数 为偶数. （1）记 2n nb a ，写出 1b ， 2b ，并求数列 nb 的通项公式； （2）求 na 的前 20 项和. 18.（12 分） 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从 中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个 问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分. 己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率 与回答次序无关. （1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 19.（12 分） 记 ABC△ 是 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c . 已 知 2b ac ， 点 D 在 边 AC 上 ， sin sinBD ABC a C  . （1）证明： BD b ； （2）若 2AD DC ，求 cos ABC . 20.（12 分） 如图，在三棱锥 A BCD 中，平面 ABD  平面 BCD， AB AD ，O 为 BD 的中点. （1）证明：OA CD ； （2）若 OCD△ 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， 2DE EA ，且二面角 E BC D  的大小 为 45° ，求三棱锥 A BCD 的体积. 21.（12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点  1 17,0F  ，  2 17,0F ，点 M 满足 1 2| | | | 2MF MF  .记 M 的轨迹 为C . （1）求C 的方程； （ 2 ） 设 点 T 在 直 线 1 2x  上 ， 过 T 的 两 条 直 线 分 别 交 C 于 A ， B 两 点 和 P ， Q 两 点 ， 且 TA TB TP TQ   ，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和. 22.（12 分） 已知函数    1 lnf x x x  . （1）讨论  f x 的单调性； （2）设 a ，b 为两个不相等的正数，且 ln lnb a a b a b   ，证明： 1 12 ea b    .