陕西省汉中市汉台区数学中考一模数学试卷

2021 年陕西省汉中市汉台区数学一模试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分每小题只有一个选项是符合题意的） 1． 的倒数是（ ） A． B．﹣ C．﹣ D． 2．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A．长方体 B．正方体 C．三棱柱 D．圆柱 3．如图，直线 a，b 被 c 所截，a∥b，若∠3＝3∠2，则∠1 的度数为（ ） A．30° B．45° C．50° D．60° 4．已知 ab＜0，则正比例函数 y＝ x 的图象经过（ ） A．第二、四象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 5．下列运算正确的是（ ） A．2m3+3m2＝5m5 B．（m+n）（n﹣m）＝m2﹣n2 C．m•（m2）3＝m6 D．m3÷（﹣m）2＝m 6．如图，△ABC 中，AB＝AC＝l2，BC＝10，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的 中点，连接 DE，则△CDE 的周长为（ ） A．11 B．17 C．18 D．16 7．若直线 y＝kx﹣b 沿 y 轴平移 3 个单位得到新的直线 y＝kx﹣1，则 b 的值为（ ） A．﹣2 或 4 B．2 或﹣4 C．4 或﹣6 D．﹣4 或 6 8．如图，矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 AE 平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形 ABCD 的面积为（ ） A．24 B．24 C．12 D．12 9．如图，△ABC 内接于 ⊙ O，BD 是 ⊙ O 的直径，若∠DBC＝33°，则∠A 等于（ ） A．33° B．57° C．67° D．66° 10．对于二次函数 y＝x2﹣4x+3，当自变量 x 满足 a≤x＜3 时，函数值 y 的取值范围为﹣1 ≤y＜0，则 a 的取值范围为（ ） A．﹣1＜a≤2 B．1＜a≤3 C．1＜a＜2 D．1＜a≤2 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，计 12 分） 11．16 的算术平方根是 ． 12．若一个正多边形的一个外角等于 36°，则这个正多边形是 边形． 13．如图，正比例函数 y＝x 和反比例函数 y＝ （k≠0）的图象在第一象限交于点 A，且 OA＝2，则 k 的值为 ． 14．如图，▱ ABCD 中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+ PD 的最小值等于 ． 三、解答题（共 11 小题，计 78 分.解答题应写出过程） 15．解不等式组： ． 16．化简：（ ﹣x﹣1）÷ ． 17．如图，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°．请利用尺规作图法在 AC 上求作一 D，使得 BD 把△ABC 分成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D． 19．某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分 类知识的掌握情况，学校从全校学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分 100 分，得分均为整数），并对成绩进行整理、描述和分析．部分信息如下： a．成绩频数分布表与扇形统计图： 学生测试成绩的频数表 组别 成绩 a（分） 频数（人） 各组总分数（分） A 50≤a＜60 10 552 B 60≤a＜70 15 971 C 70≤a＜80 m 1512 D 80≤a＜90 40 3393 E 90≤a≤100 15 1422 b．成绩在 60≤a＜70 这一组的是：60 62 64 65 66 66 67 67 67 68 65 61 63 67 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m＝ ，n＝ ，所抽取学生成绩在 60≤a＜70 这一组的众数是 分； （2）求所抽取学生的平均成绩； （3）若该校有 1400 名学生，假设全部参加此次测试，请估计成绩不低于 80 分的人数． 20．如图，某地有一座古楼，小华和数学组的成员想用所学知识测量古楼的高 AB．测量方 法如下： 首先，小华站在 D 处，用测角仪测得古楼顶端 A 的仰角为 50.3°；然后，小华在点 N 处 竖立高 2 米的标杆 MN，接着沿 DN 后退到点 F，恰好看到标杆顶端 M 和古楼顶端 A 在 一条直线上．量得小华的眼睛到地面的距离 CD＝EF＝1.5 米，NF＝1 米，DF＝68 米． 测量示意图如图所示，已知点 D、B、N、F 在一条直线上，CD⊥DF，AB⊥DF，MN⊥ DF，EF⊥DF，求这座古楼的高 AB．（参考数据：sin50.3°≈0.77，cos50.3°≈0.64，tan50.3° ≈1.20） 21．在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队研制了一种防治“新冠 肺炎”的新药，在试验药效时发现，如果成人按规定的剂量服用，那么服药后 2 小时血 液中含药量最高，达每毫升 8 微克（1 微克＝10﹣3 毫克），接着逐步衰减，10 小时时血液 中含药量为每毫升 3 微克，每毫升血液中含药量 y（微克）随时间 x（小时）的变化如图 所示． （1）分别求线段 OA、AB 所表示的函数关系式； （2）如果每毫升血液中含药量为 4 微克或 4 微克以上时对治病是有效的，那么这个有效 时间是多长？ 22．2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行设计创作，北京冬残奥会吉祥 物“雪容融”则以中国标志性符号的灯笼为创意进行设计创作．“冰墩墩”和“雪容融” 是一个非常完美的搭配和组合，是中国文化和奥林匹克精神又一次完美的结合．莉莉有 “冰墩墩”和“雪容融”的纪念邮票各 2 张（如图），这 4 张邮票背面完全相同，莉莉想 给好友小婷和小华各送一张纪念邮票，她先让小婷从这 4 张邮票中随机抽取一张，然后， 再让小华从剩下的 3 张中随机抽取一张． （1）小婷抽到“冰墩墩”的纪念邮票的概率是 ； （2）利用树状图或列表法求小婷和小华均抽到“雪容融”的纪念邮票的概率． 23．如图，AB 为 ⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 P，直线 BF 与 AD 延长线交于点 F， 且∠AFB＝∠ABC． （1）求证：直线 BF 是 ⊙ O 的切线； （2）若 tan∠BCD＝ ，OP＝1，求线段 BF 的长． 24．如图，抛物线 L：y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），且抛物线过点 B（﹣4，﹣3）， 顶点为 C． （1）求抛物线 L 的函数表达式及顶点 C 的坐标； （2）抛物线与抛物线 L 关于原点 O 对称，抛物线 L′与 x 轴交于点 M、N（点 M 在点 N 的左侧），在点 N 右侧的抛物线 L'上是否存在一点 P，作 PD⊥x 轴于点 D，使得以点 P， M，D 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由． 25．问题探究 （1）如图 ① ，在△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC，AB＝6，CD＝2，则△ABD 的面积为 ； （2）如图 ② ，在△ABC 中，∠BAC＝30°，BC 边上的高 AD＝7，△ABC 外接圆的半径 为 4，求△ABC 的面积； 问题解决 （3）如图 ③ ，现要修建一个形状为△ABC 的水上乐园，并在 BC 边上的点 D 处建一个 储物间，其中∠BAC＝60°，AD 平分∠BAC 且 AD＝300m，为节约成本，水上乐园管理 部门计划使△ABC 的面积尽可能的小，问能否修建一个满足要求的面积最小的△ABC？ 若能，请求出△ABC 的最小面积，若不能，请说明理由．（结果保留根号）