LJ版八年级下
第六章 特殊平行四边形
阶段方法技巧训练(二)
专训3 特殊平行四边形性质与判定的
灵活运用
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阶段方法技巧训练
1.【中考·贺州】如图,AC是矩形ABCD的对角线,过
AC的中点O作EF⊥AC,交BC于点E,交AD于点F,
连接AE,CF.
求证:四边形AECF是菱形.
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2.如图,点O是菱形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,
CE∥BD,连接OE.求证:
(1)四边形OCED是矩形;
证明:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行
四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.
∴∠DOC=90°.∴四边形OCED是矩形.
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(2)OE=BC.
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD.
∵四边形OCED是矩形,
∴OE=CD.
∴OE=BC.
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3.问题情境:如图①,四边形ABCD是正方形,M是BC
边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
探究展示:
(1)求证:AM=AD+MC.
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(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若
不成立,请说明理由.
解:AM=DE+BM成立.
证明:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,
如图②所示,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°.
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE.
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(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不
变,如图②,探究展示(1)(2)中的结论是否成立.请
分别作出判断,不需要证明.
解:①结论AM=AD+MC仍然成立;
②结论AM=DE+BM不成立.
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4.已知:如图,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,
连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:AE=EC.
证明:连接AC,如图所示.
∵BD是菱形ABCD的对角线,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴AE=EC.
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(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位
置?并说明理由.
解:点F是线段BC的中点.理由:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CB.又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.
∴∠BAC=60°.∵AE=EC,∴∠EAC=∠ACE.
∵∠CEF=60°,∴∠EAC=30°.∴∠EAC=∠EAB=
30°.∴AF是△ABC的角平分线.∴BF=CF.
∴点F是线段BC的中点.
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证明:在△DFC中,∠DFC=90°,
∠C=30°,DC=2t,∴DF=t.又∵AE=t,∴AE=DF.
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解:能.
∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.
又由(1)知,AE=DF,∴四边形AEFD为平行四
边形.在Rt△ABC中,设AB=x,则由∠C=
30°,得AC=2x,
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t
值;如果不能,请说明理由.
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(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
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C
6.【中考·江西】(1)如图①,在平行四边形纸片
ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,
垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE′
的位置,拼成四边形AEE′D,则四边形AEE′D的形
状为( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
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(2)如图②,在(1)中的四边形纸片AEE′D中,在EE′上
取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至
△DE′F′的位置,拼成四边形AFF′D.
①求证:四边形AFF′D是菱形;
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②求四边形AFF′D的两条对角线的长.
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证明:如图,连接BD交AC于O,
∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OD,OA=OC.
∵AE=CF,∴OE=OF.∴四边形BEDF是平
行四边形.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
∴四边形BEDF是菱形.
7.【中考·雅安】如图,E,F是正方形ABCD的对角
线AC上的两点,且AE=CF.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
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8.【中考·上海】已知:如图,在四边形ABCD中,
AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA
=EC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
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(2)如果BE=BC,且∠CBE:∠BCE=2:3,求证:
四边形ABCD是正方形.