数学 选修2-2、
2-3 RJA
1．以下5个命题，属于组合问题的有( )
①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数；②从1，2，3，…，9九个数字中
任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数；③从a，b，c，d四名学生中选两
名去完成同一份工作的选法；④5个人规定相互通话一次，通电话的次数；⑤5个人相互写一封信，
所有信的数量．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型1 组合概念的理解与简单组合问题
解析
刷基础
B
1.2.2 组合
①当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，所以此问题不但与取出元
素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题；②取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数
字的顺序，其和均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题；
③两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题；④甲与乙通一次电话，也就是乙与甲
通一次电话，无顺序区别， 为组合问题；⑤发信人与收信人是有区别的，是排列问题，故选B.
2．男、女学生共有8人，从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，其中女
生有( )
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
题型1 组合概念的理解与简单组合问题
解析
刷基础
A
1.2.2 组合
设男生有x人，则女生有(8－x)人．
∵从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，
∴
∴x(x－1)(8－x)＝30×2＝2×6×5，或x(x－1)(8－x)＝3×4×5.
∴x＝6，8－6＝2，或x＝5，8－5＝3.
∴女生有2人或3人．
题型2 与组合数有关的计算
解析
刷基础
C
1.2.2 组合
3．已知 ，那么n的值是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
根据题意， ，可变形得， .
由组合数的性质，可得 ，即 .
进而可得8＋7＝n＋1，解得n＝14.故选C.
题型2 与组合数有关的计算
解析
刷基础 1.2.2 组合
4．若 ，则正整数n＝________.
由
得
即
又
则
所以
化简可得
又n是正整数，解得n＝13.
13
题型2 与组合数有关的计算
解析
刷基础 1.2.2 组合
5．计算： ________．(用数字作答) 220
题型2 与组合数有关的计算
解析
刷基础 1.2.2 组合
2
由n∈N*，解得n＝2.
6．[江苏泰州2018高二期末]已知 则n＝________．
7．从10名大学毕业生中选出3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的
不同选法的种数为( )
A．85 B．56 C．49 D．28
题型3 “含”与“不含”问题
解析
刷基础 1.2.2 组合
C
∵丙没有入选，∴要把丙去掉，总的元素个数变为9.
∵甲、乙至少有1人入选，∴由条件可分为两类：
①甲、乙两人只有一人入选的选法有 (种)，
②甲、乙都入选的选法有 (种)．
根据分类加法计数原理知，共有42＋7＝49(种)．故选C.
8．现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有________
种不同的选派方案．(用数字作答)
题型3 “含”与“不含”问题
解析
刷基础 1.2.2 组合
55
根据题意，分两种情况讨论：
①甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有 (种)选派方案；
②甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有 (种)选派方案．
由分类加法计数原理，共有40＋15＝55(种)选派方案．
9．6人参加一项活动，要求是“必须有人去，去几个人，谁去，自己定”，则不同的去法种数
为________．
题型3 “含”与“不含”问题
解析
刷基础 1.2.2 组合
63
按照参加的人数分类，参加的人数分别为1，2，3，4，5，6，所以不同的去法有
(种)．
10．[山东临沂2018高三模拟]某学校安排甲，乙，丙，丁四位同学参加数学，物理，化学竞赛，
要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲，乙不能参加同一学科，则不同的安排
方法有________种．
题型3 “含”与“不含”问题
解析
刷基础 1.2.2 组合
30
间接法：把四位同学分成3组，有 种分法，然后进行全排列，即 种，去掉甲，乙
在一个组的情况，当甲，乙在一个组时，参加的方式有 种，故符合题意的安排方法为36－6
＝30种．
题型3 “含”与“不含”问题
刷基础 1.2.2 组合
11．[河南南阳2019高二第二次月考] 某兴趣小组有9名学生，若从9名学生中选取3人，则选取的
3人中恰好有一个女生的概率是 .
(1)该小组中男、女学生各多少人？
(2)9名学生站成一列，现要求女生保持相对顺序不变(即女生前后顺序保持不变)重新站队，问有
多少种重新站队的方法？(要求用数字作答)
(3)9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？(要求用数字作答)
解
(1)设男生有x人，则 则
即 ，解得x＝6.
故男生有6人，女生有3人．
题型3 “含”与“不含”问题
刷基础 1.2.2 组合
(2)方法一：按坐座位的方法，
第一步，让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有 60 480种；
第二步，余下的座位让3名女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择．
故共有60 480×1－1＝60 479种重新站队方法．
方法二：除序法，
第一步，9名学生站队共有 种站队方法；
第二步，3名女生有 种站队顺序．
因为女生保持相对顺序不变，所以一共有 种站队方法，
所以重新站队方法有60 480－1＝60 479种．
(3)第一步，将6名男生分成3组，共有 种；
第二步，3名女生站好队，然后将3组男生插入3名女生形成的4个空位中，共有 种；
第三步，3组男生的站队方法有 种．
由分步乘法计数原理可知共有15×144×8＝17 280种站队方法．
题型3 “含”与“不含”问题
刷基础 1.2.2 组合
12．袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球．
(1)若取出的球是两种颜色，则有多少种取法？
(2)若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种取法？
题型3 “含”与“不含”问题
刷基础 1.2.2 组合
解
(1)根据题意，袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个，有 (种)取法，
其中颜色相同的有2种情况：4个红球或4个白球．
若是4个红球，有 (种)取法，
若是4个白球，有 (种)取法，
则取出的球是两种颜色的取法有210－(1＋15)＝194(种)．
(2)若取出的红球个数不少于白球个数，分3种情况讨论：
①4个全部是红球，有 (种)取法；
②有3个红球，1个白球，有 (种)取法；
③有2个红球，2个白球，有 (种)取法．
一共有1＋24＋90＝115(种)取法．
题型4 分组分配问题
刷基础 1.2.2 组合
13．[辽宁沈阳2018高三期末]高三年级的三个班去甲，乙，丙，丁四个工厂参加社会实践，但去
何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( )
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
解析
C
方法一：满足题意的不同的分配方案有以下三类：
①三个班中只有一个班去甲工厂有 种方案；
②三个班中只有两个班去甲工厂有 种方案；
③三个班都去甲工厂，有1种方案．综上可知，共有27＋9＋1＝37种不同方案，故选C.
方法二：高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，有43种不同的分配方案，
若三个班都不去甲工厂，则有33种不同的分配方案，则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37
种，故选C.
题型4 分组分配问题
刷基础 1.2.2 组合
14．[2018高二期末]将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人
至少1本，不同的分配方法数为( )
A．24 B．28 C．32 D．36
解析
B
第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的3人各得一本，有 ＝12种；
第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，剩下的3人各得一本，有 ＝12种；
第三类，先选1人得到两本数学书，剩下的3人各得一本，有 ＝4种，
根据分类加法计数原理可得12＋12＋4＝28种方法，故选B.
题型4 分组分配问题
刷基础 1.2.2 组合
15．[广东珠海2018高三检测]将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，
则不同的放法共有( )
A．480种 B．360种 C．240种 D．120种
解析
C
第一步：先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球，有4种选法；
第二步：从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里，有 种选法；
第三步：把剩下的3个球全排列，有 种排法，
由分步乘法计数原理得不同方法共有 ＝240种，故选C.
题型4 分组分配问题
刷基础 1.2.2 组合
16．[河北邢台2019高二第三次月考]某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1，2，3的三个
实验室实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案
的种数为( )
A．280 B．455 C．355 D．350
解析
B
每个实验室人数分配有三种情况，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.
当实验室的人数分配为1，2，4时，分配方案有 ＝105种；
当实验室的人数分配为1，3，3时，分配方案有 ＝140种；
当实验室的人数分配为2，2，3时，分配方案有 ＝210种．
故不同的分配方案有455种．故选B.
题型4 分组分配问题
刷基础 1.2.2 组合
17．现有5名学生要进入某工厂的四个车间去实习，每个车间至多去2人的分配方法有________
种．
解析
600
本题要求5个人去四个车间，每个车间至多去2人，但是并没有强调每个车间必须去人，所以可分
为如下两类：第一类，有一个车间去2人，其余三个车间各去1人，故先从5个人中任选2人去一个
车间，有 种选法，将此2人看作1个元素，连同其余3个人，共4个元素分配到四个车间，有 种
方法，故共有 ＝240种方法；第二类，有两个车间各去2个人，一个车间去1人，一个车间不
去人，故先在5个人中确定1个人去一个车间，并在四个车间中选一个车间插入此人，有 种方
法，再在其余4个人中选2人到一个车间，另2人则自然到了另一个车间，并在剩下的三个车间中选
两个车间来安排他们，有 种方法，故共有 ＝360种方法．由分类加法计数原
理知不同的分配方法共有240＋360＝600种．
题型5 排列组合的综合应用
刷基础 1.2.2 组合
18．6人坐在一排10个座位上，问：
(1)空位不相邻的坐法有多少种？
(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？
题型5 排列组合的综合应用
刷基础 1.2.2 组合
解
6人全排有 种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．
(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有 种插法，故空位不相邻的坐法有
＝25 200(种)．
(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，安插在7个“间隔”中，有 种插法，
故4个空位中只有3个相邻的坐法有 ＝30 240(种)．
(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻有 种坐法；
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有 (种)坐法；
③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有 种坐法．
综上，有 ＝115 920(种)坐法．
题型5 排列组合的综合应用
刷基础 1.2.2 组合
19．已知10件不同产品中共有4件次品，现对它们进行一一测试，直到找到所有次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到一件次品，第10次才找到最后一件次品的测试方法有多少种？
(2)若恰在第5次测试后，就找到了所有的次品，则这样的测试方法有多少种？
解
(1)先排前4次测试，只能取正品，有 种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10
的位置上测试，有 种测试方法，再排余下4件的测试位置，有 种测法．
所以测试方法共有 ＝103 680(种)．
(2)由题意得，第5次测试恰找到最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有1件正品出现，
所以测试方法共有 ＝576(种)．
易错点1 未关注组合数中字母的取值范围致误
刷易错 1.2.2 组合
结合组合数性质 可得
解得x＝2或x＝6.
解析
D
易错点1 未关注组合数中字母的取值范围致误
刷易错 1.2.2 组合
解
21．已知 ，求m的值．
依题意，0≤m≤5，m∈N*.
因为
化简得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.所以m＝2.
易错警示
(1)应用 可以得到m＝p或m＋p＝n两种可能．切忌只考虑到两者相等的情况，而忽略了
m＋p＝n的情况，从而导致错误．
(2)运用组合数公式转化为关于m的一元二次方程后，易忽略0≤m≤5的取值范围，导致错误．解
这类题目时，要取 中m，n的范围与方程的解的交集．
易错点2 不能正确判断是排列还是组合致误
刷易错 1.2.2 组合
22．有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排，不同的排列方法有________种．
解析
易错警示
本题是相同元素的排列问题，可以看作是一个组合问题，本题的易错之处是忽视红球与白球的区
别，误认为是排列问题而出错．
56
8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置
给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题，这样共有 ＝56种排法．
易错点3 重复、遗漏计算出错
刷易错 1.2.2 组合
23．[广西、2019高二联考] 将三位老师分配到4所学校实施精准帮扶，若
每位老师只去一所学校，每所学校最多去2人，则不同的分配方法有________种(用数字作答)．
解析
60
根据题意，分2种情况讨论：
若三位老师去三所学校，则有 ＝24种分配方法；
若两位老师一所学校，另一位老师去一所学校，
则有 ＝36种分配方法．
所以共有24＋36＝60种不同的分配方法．
易错点3 重复、遗漏计算出错
刷易错 1.2.2 组合
24．用0，1，2，3，4，5，6这七个数字：
(1)能组成多少个无重复数字的四位奇数？
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(3)能组成多少个无重复数字且比31 560大的五位数？
解
(1)根据题意，分3步进行分析：
①个位从1，3，5中选择一个，有 种选法；
②千位上不可选0，从剩下的5个数中选一个，有 种选法；
③在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位上，有 种选法．
则有 ＝300(个)无重复数字的四位奇数．
易错点3 重复、遗漏计算出错
刷易错 1.2.2 组合
易错警示
在排列组合问题中，经常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数；
在排列组合问题中，还可能由于考虑问题不够全面，遗漏某些情况而出错．
(2)分2种情况讨论：
①个位上的数字是0，在其余的6个数字中任选4个，安排在前4个数位，有 种情况，则此时的五
位数有 个；
②个位上的数字是5，万位上不可选0，从剩下的5个数字中选一个，有 种选法，在余下的5个数
字中选出3个，安排在中间3个数位，有 种情况，则此时符合条件的五位数有 (个)．
故满足条件的五位数共有 ＝660(个)．
(3)符合要求的比31 560大的五位数可分为四类：
第一类：形如 有 (个)；
第二类：形如 有 (个)；
第三类：形如 有 (个)；
第四类：形如 有2个．
由分类加法计数原理知，所求五位数有 2＝1 334(个)．
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