数学 选修2-2、
2-3 RJA
题型1 线性回归分析
解析
刷基础
1．[河南濮阳2018高二联考]已知一组样本点(xi，yi)，其中i＝1，2，3，…，30，根据最小二
乘法求得的回归方程是 ，则下列说法正确的是( )
A．若所有样本点都在 上，则变量间的相关系数为1
B．至少有一个样本点落在回归直线 上
C．对所有的xi(i＝1，2，3，…，30)，预报变量 的值一定与yi有误差
D．若 的斜率 ，则变量x与y正相关
选项A，所有样本点都在 上，则变量间的相关系数|r|＝1，相关系数为r＝±1, 故A错误；
选项B，回归直线必过样本中心点，但样本点可能都不在回归直线上，故B错误；选项C，样本点
可能在直线 上，即可以存在xi对应的预报变量 与yi没有误差，故C错误；选项D，
相关系数r与b符号相同，若 的斜率 ，则r>0，样本点的分布从左至右上升，变
量x与y正相关，故D正确．
D
3.1
解析
刷基础
2．根据如下样本数据得回归方程 ，则( )
由题意可知大多数样本数据y随x的增大而减小，具有负的相关关系，所以 .又回归方程表示的
直线经过(3，4)与(4，2.5)附近，所以 .故选B.
B
3.1
题型1 线性回归分析
解析
刷基础
3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点
图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线 近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论
最有可能成立的是( )
A．线性相关关系较强， 的值为3.25
B．线性相关关系较强， 的值为0.83
C．线性相关关系较强， 值为－0.87
D．线性相关关系太弱，无研究价值
由散点图可知，点的分布集中在某个带状区域内，所以语文成绩和英语成绩之间具有正的线性相
关关系，且线性相关关系较强，又绝大部分的点都在直线y＝x的下方，所以回归直线的斜率大于0
且小于1，所以结论最有可能成立的是B，故选B.
B
3.1
题型1 线性回归分析
b
b
b
解析
刷基础
4．[2019第一次质量评估]为了规定工时定额，需要确定加工某种零件
所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，
由最小二乘法求得回归方程为 .若已知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，则y1＋y2＋y3＋
y4＋y5＝( )
A．75 B．155.4 C．375 D．466.2
由题意，可得 ，代入回归方程中，可得 ＝0.67×30＋54.9＝75，所以y1＋y2＋y3＋y4
＋y5＝5× ＝375，故选C.
C
3.1
题型1 线性回归分析
解析
刷基础
5．[山东临沂2018高二联考]已知变量x，y线性相关，且由观测数据算得样本平均数为 ＝2，
＝5，则由该观测数据得到的线性回归直线方程不可能是( )
A．y＝2.1x＋0.8 B．y＝－1.2x＋7.4
C．y＝2.25x＋0.5 D．y＝－1.25x＋7.55
由题意可知观测数据的样本平均数为 ＝2， ＝5，即样本中心为(2，5)．对于D项，当x＝2时，
y＝－1.25×2＋7.55＝5.05，所以直线y＝－1.25x＋7.55不可能是回归直线方程，故选D.
D
3.1
题型1 线性回归分析
题型2 回归效果的刻画
解析
刷基础
6．对相关系数r，下列说法正确的是( )
A．|r|越大，线性相关程度越强
B．|r|越小，线性相关程度越强
C．|r|越大，线性相关程度越弱，|r|越接近0，线性相关程度越强
D．|r|≤1，且|r|越接近1，线性相关程度越强，|r|越接近0，线性相关程度越弱
两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接
近于0，表示两个变量的线性相关性越弱，此时两个变量之间几乎不存在线性相关关系．故选D.
D
3.1
题型2 回归效果的刻画
解析
刷基础
7．对某高三学生在连续多次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下散点图．下面关于
这位同学的数学成绩的分析中，正确的个数为( )
①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高；
②该同学在这连续九次数学测试中的成绩的最高分与最低分的差超过40分；
③该同学的数学成绩与测试次数具有线性相关性，且为正相关．
A．0 B．1 C．2 D．3
根据散点图可知该同学的数学成绩与测试次数具有正相关关系，所以①③均正确；第一次的成绩
在90分以下，第九次的成绩在130分以上，所以②正确，故选D.
D
3.1
题型2 回归效果的刻画
解析
刷基础
8．[广西2019高二月考]下列四个命题：
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型拟合的效果越好；
③散点图中所有点都在回归直线附近；
④随机误差e满足E(e)＝0，其方差D(e)的大小可用来衡量预报的精度．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
根据回归方程的性质得残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故①正确；用相关指数R2来刻
画回归效果，R2越大，说明拟合效果越好，故②不正确；散点图中所有点都在回归直线附近，不
正确，应该是大部分点都在回归直线附近，而不是所有点，故③不正确；随机误差e满足E(e)＝0，
其方差D(e)的大小用来衡量预报的精度，故④正确．故选B.
B
3.1
题型2 回归效果的刻画
解析
刷基础
9．[河南濮阳2019高二升级考试]某种产品的广告费支出x(万元)与销售额y(万元)之间有如表所
示的线性相关关系，y与x的线性回归方程为 ，当广告支出5万元时，随机误差的
效应(残差)为( )
A.10 B．20 C．30 D．40
因为y与x的线性回归方程为 ，
所以当x＝5时， ＝6.5×5＋17.5＝50.
由表格知当广告支出5万元时，销售额为60万元，所以随机误差的效应(残差)为60－50＝10.故选
A.
A
3.1
题型2 回归效果的刻画
解析
刷基础
10．[贵州思南中学2019高二月考]设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线
性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程
为 ，那么针对某样本(170，58)的残差是________．
由题可得 ，残差 .
-0.79
3.1
题型2 回归效果的刻画
解
刷基础
11．关于x与y有以下数据：
有如下两个线性模型：(1) ；(2) ，试比较哪一个拟合效果比较好．
由(1)得 与 的关系如下表：
所以 .
3.1
刷基础
所以
由(2)得 与 的关系如下表：
所以
所以
由 ＝0.845， ＝0.82知 ＞ ，所以方程(1)的拟合效果比较好．
3.1
解析
刷基础
12．[河南焦作2019高二期中]已知变量y关于x的回归方程为 ，其一组数据如下表所
示：
若x＝5，则预测y的值可能为( )
由 ，得 ，令 ，则 .
D
3.1
题型3 非线性回归分析
解
刷基础
13．为了研究某种细菌繁殖的个数随时间x的变化，收集数据如下：
(1)用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；
(2)描述解释变量与预报变量之间的关系，计算残差、相关指数R2.
(1)散点图如图所示．
3.1
题型3 非线性回归分析
刷基础
(2)由散点图可以看出样本点分布在一条指数函数 的周围，于是令z＝ln y，则
由最小二乘法计算得 ，则有 .
即解释变量(时间)对预报变量(细菌繁殖的个数)变化解释了99.99%.
3.1
题型3 非线性回归分析
解析
刷易错
14．如果散点图中的所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，R2是相关指数，则( )
A．R2＝1 B．R2＝0 C．0≤R2≤1 D．R2≥1
当散点图中的所有点都落在一条斜率为非零实数的直线上时，它的残差均为0，残差的平方和为0，
所以它的相关指数为1，即R2＝1.
A
3.1
易错点1 线性相关系数理解不正确致错
易错
警示
若散点图中的所有点都在一条直线上时，变量间的相关性最强，若直线的斜率大于0，则相关系
数为1；若直线的斜率小于0，则相关系数为－1.
解析
刷易错
15．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U
与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，r1表示变量Y与X之间
的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )
A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1
由变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)，可得变量
Y与X之间正相关，所以r1＞0.而由变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，
(12.5，2)，(13，1)，可知变量V与U之间负相关，所以r2＜0.因此r1与r2的大小关系是r2＜0＜r1.
C
3.1
易错点1 线性相关系数理解不正确致错
易错
警示
给出一组数据，判断该组数据的线性相关系数的符号，可根据该组数据变量之间的正、
负相关关系进行判断，若是正相关，则相关系数大于0；若是负相关，则相关系数小于0.
刷易错
16.已知x与y之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归方程为 ，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和
(2，2)，求得的直线方程为 ，则以下结论正确的是 ( ) D
3.1
易错点2 求线性相关方程计算错误
刷易错 3.1
易错点2 求线性相关方程计算错误
解析
由题得 ，根据公式求得 .
又 ，所以 ，故选D.
易错
警示
给出一组具体数据求其线性回归方程时，由于回归直线的方程是 ，其中 ，
计算量较大，因此计算要细心，公式使用要准确，要特别注意线性回归方程一定过样本点中心的应用．
刷能力
1．[湖北鄂东南省级示范高中教育改革联盟2018高二联考]在两个变量x与y的回归模型中选择了
四个不同的模型来拟合y与x之间的关系，它们的相关指数R2如下表所示，其中拟合效果最好的模型
是( )
A.模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
A
3.1
解析
在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在
所给的四个选项中0.98是相关指数最接近于1的值，所以拟合效果最好的模型是模型1，故选A.
刷能力
2.已知线性回归方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则该回归方程为( ) A
3.1
解析
设线性回归方程为 ，由题意得 ，
∴ . 又回归直线过样本点的中心(4，5)，∴5＝1.23×4＋ ，∴ ＝0.08，∴回归方程
为 .故选A.
刷能力
3．下面的各图中，散点图与相关系数r不符合的是( )B
3.1
解析
对于A，散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上，所以相关系数r＝－1，A正确；对于B，散
点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上，所以相关系数r＝1，B错误；对于C，变量x，y的散点
图从左到右是向下的带状分布，所以相关系数－1＜r＜0，C正确；对于D，变量x，y的散点图中，
x，y之间的相关关系非常不明显，所以相关系数r＝0，D正确．应选B.
刷能力
4．(多选)[2019月考]下列说法正确的是( )
A．在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定
B．若变量x，y满足关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到线性方程
z＝0.3x＋4，则c＝e4，k＝0.3
ACD
3.1
解析
对于A，y除了受解释变量x的影响之外还受其他因素的影响，故正确；对于B, 变量x，y满足关
系y＝－0.1x＋1，则变量x与y负相关，又变量y与z正相关，则x与z负相关，故错误；对于C，由
残差图的意义可知正确；对于D，∵y＝cekx，∴两边取对数，可得ln y＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝
ln c＋kx，令z＝ln y，可得z＝ln c＋kx.∵z＝0.3x＋4，∴ln c＝4，k＝0.3，∴c＝e4，故正确．故
选ACD.
刷能力
5．某青少年成长关爱机构为了调研所在地区青少年的年龄与身高状况，随机抽取6岁，9岁，12
岁，15岁，18岁的青少年身高数据各1 000个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回
归直线L.根据图中数据，下列选项中对该样本描述错误的是( )
A．据样本数据估计，该地区青少年的身高与年龄成正相关
B．所抽取数据中，5 000名青少年的平均身高约为145 cm
C．直线L的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量
D．从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点
一定在直线L上
D
3.1
刷能力 3.1
解析
在给定范围内，随着年龄的增加，年龄越大身高越高，故该地区青少年的身高与年龄成正相
关，故A正确；用样本数据估计总体可得平均数大约是145 cm，故B正确；根据直线斜率的意
义可知斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量，故C正确；各取一人具有随机性，
根据数据做出的点可能在直线附近，不一定在直线上，故D错误，故选D.
刷能力
6．[河北沧州2019高二期中]已知方程 是根据女大学生的身高预报体重的回归
方程，其中x， 的单位分别是 cm，kg，则该方程在样本(165，57)处的残差是( )
A．54.55 B．3.45 C．2.45 D．111.55
C
3.1
解析
由回归方程可得当身高为165 cm时，体重的预测值 ＝0.85×165－85.7＝54.55，故样本的残
差值为57－54.55＝2.45.故选C.
刷能力
7．[河南创新发展联盟2018高二期末]电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中得到6组数据
(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，(x6，y6)．根据收集到的数据可知 ＝10，由最小二
乘法求得回归直线方程为 ，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＝( )
A．50.5 B．45.5 C．100.2 D．109.2
D
3.1
解析
由 可知 ，所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＝18.2×6＝
109.2，故选D.
刷能力
8．某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型y＝p0e－kx去拟合过滤过程中废气的污染物浓度y mg/L
与时间x h之间的一组数据，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程为 ＝－0.5x＋
2＋ln 300，则当经过6 h后，预报废气的污染物浓度为( ) A
3.1
解析
当x＝6时， ，
刷能力
9．[广东四校2018高三联考]如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘法计算，y与x之间的线性回归
方程为 ，则 ＝________. 0.8
3.1
解析
，将(2，2.6)代入 ，解得 =0.8.
，
刷能力
10.某个服装店经营某种服装，在某周内每天获得的纯利润y(元)与该周每天销售这种服装数量x(件)之间
的一组数据关系如下表：
已知
参考公式：回归方程是 ，
其中
(1)求 ；
(2)画出散点图；
(3)求每天的纯利润y与每天销售数量x之间的线性回归方程．
3.1
刷能力 3.1
解
，
(2)散点图如图所示．
(3)由散点图知，
y与x具有线性相关关系，设线性回归方程为 ，
∴线性回归方程为
刷能力
11．中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某
些区块随机初步勘探了部分旧井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位
进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井
的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期部分旧井的数据资料见下表：
(1)1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归方程为y＝bx＋a，其中b＝6.5，求a，并估计
6号旧井中y的预报值．
3.1
刷能力
(2)现准备勘探新井7(1，25)，若通过1，3，5，7号井计算出的 的值与(1)中b，a的值的差均不超过
10%，则使用位置最接近的已有旧井6(1，y)，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井．(注：其中 的计
算结果用四舍五入法保留1位小数)
3.1
(1)因为前5组数据 回归直线必过点 ，则 故回
归方程为y＝6.5x＋17.5.当x＝1时，y＝6.5x＋17.5＝24，即y的预报值为24.
，
解
刷能力
(2)根据1，3，5，7号井的数据计算可得
所以
即 ，由(1)知b＝6.5，a＝17.5.
因为 ，均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井6(1，24)．
3.1
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