【课题】二元一次方程组的应用——行程、工程问

二元一次方程组的应用——行程、工程问 题 德才中学陈雪娇 【教材】 人教版七年级数学下册第 101 页至 102 页练习. 【课时安排】 1 个课时. 【教学对象】 线上教学七年级（下）学生. 【教学目标】  知识与技能 （1）学会提取行程问题和工程问题的速度、时间、路程信息； （2）学会提炼信息设未知数并会运用这些信息列等量关系；  过程与方法 （1）让学生通过建构过程，用数学建模的思想去看待题目； （2）培养学生抽象概括的能力； （3）培养学生的问题解决能力，为学生提供运用二元一次方程组来解决应用问 题的探究空间，渗透数形结合、数学建模的学科素养。  情感态度价值观 体会到数学时源于实际，而高于实际的，运用了实际的科学价值与文化价值。 【教学重点】 能够掌握解决工程、行程问题的基本方法. 【教学难点】 能够理清工程、行程问题中的等量关系。 【教学方法】 思维导图、讲练结合、讨论交流。 【教学手段】计算机、PPT、平板、思维导图。 【教学过程设计】 教学 环节 教 学 内 容 教师 活动 学生 活动 设 计 意 图 （一） 课前 引入 （5 分 钟） （工程问题） 1.为美化城市环境打造，现有一段长为 350m 的道路整治任务由 A、B 两个工程 队先后接力完成.A 工程队每天整治 15m，B 工程队每天整治 10m，共用时 30 天.求 A、B 两工程队分别整治河道多少 米？ 教 师 制 作 ppt 教 学 生 处 理 其 中 的 信息量，并列 表 格 帮 助 学 生理解，填入 其 中 的 信 息 并 形 成 习 惯 学 会 像 教 师 这 样 去 处 理 信息，体现数 学 建 模 的 数 学思想。 在 表 格 中 可 以 很 快 的 把 整 治 速 度 表 示出来，而另 外 两 个 数 据 之 间 是 可 以 设 一 个 表 示 出 另 外 一 个 量，所以引导 学 生 发 散 思 维 学 会 举 一 反三。 请学生上麦 回答问题。 引导学生说 出题中的等 量关系。 学生 观察 题目 并对 表格 中的 内容 进行 思 考， 对二 元一 次方 程组 应用 题如 何设 未知 数进 行判 断。 工程问题和 行程问题都 是围绕工作 效率、时间和 工作量三个 量，速度、时 间、路程三个 量而展开，相 比而言工程 问题学生理 解更快，因此 把工程问题 放在行程问 题前面作为 课程引入。 对表格的引 入，让学生自 己学习理清 关系，并让学 生会设未知 数。 由于题目里 问的是工程 量，因此建议 学生设工程 量而表示出 时间，也要引 导学生可设 天数而表示 出工程量去 列方程组。 等量关系让 学生在题中 划出相应字 眼，因果关系 更为清晰。 课前 引入 （8 分 钟） 2.一项 200km 的引水工程交给了甲、乙 两个施工队，工期为 50 天。甲、乙两队 合作了 30 天后，乙队因另有任务离开 10 天，于是甲队加快速度，每天多修 0.6km，10 天后乙队回来，为了保证工 期，甲队保持现在的速度不变，乙队每 天比原来多修 0.4km，结果如期完成， 给出如图表 格，让学生填 写。等一分钟 后 让 学 生 回 答。 此 题 里 时 间 的量是能够 学生 审题 并根 据引 导填 写表 格， 此题的难点 是学生无法 理清原计划 和实际上工 程的安排，所 以首先是要 帮助学生梳 问：甲、乙两队原计划每天各修多少千 米？ 等量关系: 原计划:甲乙合作 50 天的工作量=200km 实际上:甲乙合作 30 天的工作量+甲提 速后20 天的工作量+乙提速后10 天的工 作量=200km 确定的，所以 学 生 可 以 很 多 把 天 数 表 明清楚，而题 中 工 作 的 效 率是变化的， 还 需 要 另 外 设 置 表 格 去 引 导 学 生 梳 理清楚。 让 学 生 在 聊 天 区 域 把 自 己 的 表 格 展 示出来，并请 一 位 同 学 进 行回答。 填写 完成 的上 传答 案。 然后 上麦 进行 思路 分析 理题目中的 数据条件，让 学生描述出 原计划和实 际上工程的 完成情况从 而先设出相 应的未知数， 然后表示出 等量关系。 （二） 合作 探究 （5 分 钟） （行程问题） 1.A 市至 B 市的航线长 9750km，一架飞 机从 A 市顺风飞往 B 市需 12.5h，它逆 风飞行同样的航线需 13h，求飞机的平 均速度和风速. 先给题目让 学生自己去 列表格画图 表示出行程 问题中的关 键量，然后让 学生在聊天区 域展示。然后 请一位同学进 行上麦描述。 让学生做好 笔记，把笔记 中的关系理清 楚之后，类似 的题目就都会 做了。 学生 思考 列出 表格 进行 展示 在学习了前 面两题后，工 程问题到行 程问题的转 化就比较迅 速，学生已经 大概知道该 如何去进行 图表的表示 方法，数形结 合的思想也 慢慢的进行 了渗透。 此题时间和 路程是已知 量，所以要引 导学生找到 速度之间的 等量关系。 合作 探究 （4 分 钟） 2.一支部队第一天行军 4h，第二天行军 5h，两天共行军 98km，且第一天比第二 天少走 2km，第一天和第二天行军的平 均速度各是多少？ 此题仍然让学 生先根据题目 画图列表格表 示出其中的关 系， 让学生 展示， 然后 进行解答。 学生 统一 做题 此题的方式 方法和工程 问题中的第 一题类似，放 在此处只是 让学生加深 速度、时间、 路程三个量 的印象，并做 出快速反应 (三) 素养 提升 （12 分钟） 3. 从甲地到乙地有一段上坡和一段平 路，如果保持上坡每小时走 3km，平路 每小时走 4km，下坡每小时走 5km，那么 从甲地到乙地需 54min，从乙地到甲地 需 42min，甲地到乙地全程是多少？ 设路程为未知数时。 引导学生梳 理题目，并自 己 画 出 相 应 的图形。 给 出 教 师 画 的图形，虽然 不是唯一，但 是 可 以 给 那 些 不 会 画 图 的 同 学 进 行 参考，然后让 学 生 自 己 填 写 上 面 的 数 据。 从 题 中 可 以 直 接 得 到 速 度，意味着学 生 设 出 时 间 即 可 表 示 出 路程。设出路 程 即可 表示 学生 梳理 题 目， 画出 图 形， 挖掘 三大 量的 关 系， 找出 如何 设未 知数 在前面学习 后，到此时学 生看到题目 会很快做出 反应就是先 画图，但是数 据的描述不 会那么准确， 所以这一题 放在这里让 学生觉得图 表不是非要 一成不变，而 是可以根据 相应的题目 进行变化，怎 样描述能更 清楚就怎样 去做，不是非 要一个模子 刻出来才可 设时间为未知数时。 等量关系： 上坡路程=下坡路程 平地路程=平地路程 （平地时间=平地时间） 出时间。引导 学 生 设 未 知 数，不要只想 着 按 照 标 准 答案去讲，学 生 的 思 维 方 向最重要。 以，始终让学 生 有 发 散 性 思 维 ， 创 新 性。 此题的难点 在于学生如 何去设未知 数，并找到等 量关系。 两种设未知 数的方法都 要引导学生， 不能只知道 一种，数据之 间的关联要 让学生清楚。 （四） 巩固 内化 （6 分 钟） 4.甲、乙两地相距 160km，一辆汽车和 一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行， 4 h3 相遇，相遇后，拖拉机继续前进，汽 车在相遇处停留 1h 后调转车头原路返 回，在汽车再次出发 0.5h 后追上了拖拉 机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少 千米？ 教师引导学 生 说 出 追 及 问 题 中 的 关 系，并请同学 上 麦 解 读 并 回答问题。 学生 积极 思考 并在 聊天 区域 进行 思路 分析 在行程问题 中常见的相 遇问题和追 及问题作为 最后的压轴， 有了前面的 铺垫，学生用 数形结合的 思想去解决 题目会显得 更为得心应 手。 等量关系: 相遇:汽车路程+拖拉机路程=总路程 追及:拖拉机走 1.5h 的路程=汽车走 0.5h 的路程 （五） 布 置 家 庭 作业 约 1 分钟 家庭作业: P156 1. 牛刀小试 1.一列快车长 168m，一列慢车长 184m. 如果两车相向而行，从相遇到离开需4s； 如果同向而行，从快车追及慢车到离开 需 16s，求两车的速度。 2.某检测站要在规定时间内检测一批仪 器，原计划每天检测 30 台这种仪器，则 在规定时间内只能检测完总数的五分之 四；现在每天实际检测 40 台，结果不但 可以比原计划提前一天完成任务，还可以 多检测 25 台。问规定时间是多少天？ 这批仪器共多少台？ 教师 布置 作业 学生 认真 纪录 强化本节课 所学知识。 【思维导图】 最后展示的是本节课的思维导图，这节课是实际应用第三课，因此主要的 内容是教会学生如何去读题、审题、处理题目条件，找出等量关系，那么在 解二元一次方程组上没有进行过多的强化，但是本节课讲完后利用思维导图 让学生进行了小结。 本教学设计的创新之处 1. 目标创新 (1)本节课的目标是讲解工程问题和行程问题的应用题，对学生而言，应用 题很难，难在读题，因此主要设计让学生在数形结合的基础上去理解题目画出图 形，理清思路。 (2)培养“数学建模”和“数形结合”的数学素养;本节课旨在培养学生的思维 理解能力和数学探究能力，并从多个方面让学生体会数学的美，不是一成不变的知 识体系，而是可以头脑风暴进行学习探究，可举一反三； 2. 教法创新 本节课是基于此次疫情期间学生在家上网课的情形下的一节课，因此我们的 教法主要是依赖于 PPt,那么如何去让学生觉得这么一堂课听得不枯燥乏味，才 有了这节课的打算，本节课的意图很直接，就是让学生在数形结合的思想下去理解 题目，形成习惯，以后再碰到其他的应用题也可以通过列表格去表示数量关系， 这样 就达到了本节课最大的目标. 3. 数学创新 运用了层层递进的形式去设计本节课，让学生体会用二元一次方程组解决实 际问题的魅力，并为学生后续学习其他的应用题提供了教学方法，充分培养了学生 的问题解决能力和数学探究能力,这也是现代数学教育的价值取向.