高考数学一轮复习课时作业：正弦定理、余弦定理

1 正弦定理、余弦定理 1．(2020·大连测试)在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则 cos C＝( ) A． 3 3 B．± 6 3 C．－ 6 3 D． 6 3 2．(2020·南昌模拟)在△ABC 中，已知 C＝π 3 ，b＝4，△ABC 的面积为 2 3， 则 c＝( ) A．2 7 B．2 3 C．2 2 D． 7 3．(多选)在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，以下四个结论 中，正确的是( ) A．若 a＞b＞c，则 sin A＞sin B＞sin C B．若 A＞B＞C，则 sin A＞sin B＞sin C C．acos B＋bcos A＝c D．若 a2＋b2＞c2，则△ABC 是锐角三角形 4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝2 3 ，AC＝4，BC＝3，则 cos B＝( ) A．1 9 B．1 3 C．1 2 D．2 3 5．(多选)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则( ) A．若 2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则 C＝π 3 B．若 2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则 C＝π 6 C．若边 BC 的高为 3 6 a，则当c b ＋b c 取得最大值时，A＝π 3 D．若边 BC 的高为 3 6 a，则当c b ＋b c 取得最大值时，A＝π 6 6．(多选)(2020·山东烟台期中)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a， 2 b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( ) A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B．△ABC 是钝角三角形 C．△ABC 的最大内角是最小内角的 2 倍 D．若 c＝6，则△ABC 的外接圆的半径为8 7 7 7．在△ABC 中，A＝2π 3 ，a＝ 3c，则b c ＝________. 8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin A＋acos B＝0，则 B＝________. 9．(2020·北京高考适应性考核)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，且 a＝4，b＝5，c＝6，则 cos A＝________，△ABC 的面积为________． 10．[结构不良试题](2020·北京西城区统一测试)已知△ABC 满足________， 且 b＝ 6，A＝2π 3 ，求 sin C 的值及△ABC 的面积． 从①B＝π 4 ，②a＝ 3，③a＝3 2sin B 这三个条件中选一个，补充到上面问 题中，并完成解答． 11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos2 π 2 ＋A ＋cos A＝5 4. (1)求 A； (2)若 b－c＝ 3 3 a，证明：△ABC 是直角三角形． 能力提高 1．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，△ABC 的外 接圆的面积为 3π，且 cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋ 3sin Asin C，则△ABC 的最大 边长为( ) A．2 B．3 C． 3 D．2 3 2．(2020·广西桂林模拟)在△ABC 中，若bcos C ccos B ＝1＋cos 2C 1＋cos 2B ，则△ABC 的形 3 状是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2－(b－c)2＝(2－ 3)bc， sin Asin B＝cos2C 2 ，BC 边上的中线 AM 的长为 7. (1)求角 A 和角 B 的大小； (2)求△ABC 的面积． 扩展应用 1．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 cos2A －cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C，且 sin A＋sin C＝1，则△ABC 的形状为( ) A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为 150°的等腰三角形 D．顶角为 120°的等腰三角形 2．[结构不良试题](2020·北京高考)在△ABC 中，a＋b＝11，再从条件①、 条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)a 的值； (2)sin C 和△ABC 的面积． 条件①：c＝7，cos A＝－1 7 ； 条件②：cos A＝1 8 ，cos B＝ 9 16. 4 正弦定理、余弦定理 1．(2020·大连测试)在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则 cos C＝( ) A． 3 3 B．± 6 3 C．－ 6 3 D． 6 3 D [由正弦定理得 AC sin B ＝ AB sin C ，∴sin C＝AB·sin B AC ＝2×sin 60° 3 ＝ 3 3 .又 AB ＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cos C＝ 1－sin2C＝ 6 3 .故选 D.] 2．(2020·南昌模拟)在△ABC 中，已知 C＝π 3 ，b＝4，△ABC 的面积为 2 3， 则 c＝( ) A．2 7 B．2 3 C．2 2 D． 7 B [由 S＝1 2absin C＝2a× 3 2 ＝2 3，解得 a＝2.由余弦定理得 c2＝a2＋b2－ 2abcos C＝12，故 c＝2 3.] 3．(多选)在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，以下四个结论 中，正确的是( ) A．若 a＞b＞c，则 sin A＞sin B＞sin C B．若 A＞B＞C，则 sin A＞sin B＞sin C C．acos B＋bcos A＝c D．若 a2＋b2＞c2，则△ABC 是锐角三角形 ABC [对于 A，由于 a＞b＞c，由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ，可得 sin A ＞sin B＞sin C，故 A 正确； 对于 B，A＞B＞C，由大边对大角可知，a＞b＞c，由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ，可得 sin A＞sin B＞sin C，故 B 正确； 对于 C，根据正弦定理可得 acos B＋bcos A＝2R(sin Acos B＋sin Bcos A)＝ 5 2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2Rsin C＝c(其中 R 为△ABC 的外接圆半径)，故 C 正 确； 对于 D，a2＋b2＞c2，由余弦定理可得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＞0，由 C∈(0，π)， 可得 C 是锐角，但 A 或 B 可能为钝角，故 D 错误．] 4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝2 3 ，AC＝4，BC＝3，则 cos B＝( ) A．1 9 B．1 3 C．1 2 D．2 3 A [由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－ 2×4×3×2 3 ＝9，AB＝3，所以 cos B＝9＋9－16 2×9 ＝1 9 ，故选 A.] 5．(多选)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则( ) A．若 2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则 C＝π 3 B．若 2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则 C＝π 6 C．若边 BC 的高为 3 6 a，则当c b ＋b c 取得最大值时，A＝π 3 D．若边 BC 的高为 3 6 a，则当c b ＋b c 取得最大值时，A＝π 6 AC [因为在△ABC 中，0＜C＜π，所以 sin C≠0.对于 A，B，利用正弦定理 得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，整理得 2cos Csin(A＋B)＝sin C，即 2cos Csin[π－(A＋B)]＝sin C，即 2cos Csin C＝sin C，又 sin C≠0，所以 cos C＝1 2 ，所 以 C＝π 3 ，故 A 正确，B 错误．对于 C，D，由等面积法得1 2 × 3 6 a2＝1 2bcsin A， 所以 a2＝2 3bcsin A，又 b2＋c2＝a2＋2bccos A＝2 3bcsin A＋2bccos A，则c b ＋b c ＝ b2＋c2 bc ＝2 3sin A＋2cos A＝4sin A＋π 6 ≤4，当且仅当 A＋π 6 ＝π 2 ＋2kπ，k∈Z，即 A＝π 3 ＋2kπ，k∈Z 时，c b ＋b c 取得最大值 4，又 0＜A＜π，所以 A＝π 3.故 C 正确，D 6 错误．] 6．(多选)(2020·山东烟台期中)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( ) A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B．△ABC 是钝角三角形 C．△ABC 的最大内角是最小内角的 2 倍 D．若 c＝6，则△ABC 的外接圆的半径为8 7 7 ACD [因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11， 所以可设 a＋b＝9x， a＋c＝10x， b＋c＝11x (其中 x＞0)，解得 a＝4x， b＝5x， c＝6x， 所以由正弦定理可得 sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，所以 A 正确． 由上可知边 a 最短，边 c 最长，所以角 A 最小，角 C 最大． 又 cos A＝c2＋b2－a2 2cb ＝6x2＋5x2－4x2 2×6x×5x ＝3 4 ，cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝ 4x2＋5x2－6x2 2×4x×5x ＝1 8 ， 所以 cos 2A＝2cos2A－1＝1 8 ，所以 cos 2A＝cos C， 由三角形中角 C 最大且角 C 为锐角，可得△ABC 是锐角三角形，且 2A∈(0， π)，C∈ 0，π 2 ， 所以 2A＝C，所以 B 错误，C 正确． 设△ABC 的外接圆的半径为 R，则由正弦定理得 2R＝ c sin C ， 又 sin C＝ 1－cos2C＝3 7 8 ， 所以 2R＝ 6 3 7 8 ，解得 R＝8 7 7 ，所以 D 正确．故选 ACD.] 7．在△ABC 中，A＝2π 3 ，a＝ 3c，则b c ＝________. 7 1 [由 a＝ 3c 得 sin A＝ 3sin C，即 sin 2π 3 ＝ 3sin C， ∴sin C＝1 2 ，又 0＜C＜π 3 ，∴C＝π 6 ， 从而 B＝π 6 ，∴b＝c，因此b c ＝1.] 8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin A＋acos B＝0，则 B＝________. 3π 4 [∵bsin A＋acos B＝0，∴ a sin A ＝ b －cos B.由正弦定理，得－cos B＝sin B， ∴tan B＝－1.又 B∈(0，π)，∴B＝3π 4 .] 9．(2020·北京高考适应性考核)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，且 a＝4，b＝5，c＝6，则 cos A＝________，△ABC 的面积为________． 3 4 15 7 4 [依题意得 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝3 4 ，所以 sin A＝ 1－cos2A＝ 7 4 ， 所以△ABC 的面积为 1 2bcsin A＝15 7 4 .] 10．[结构不良试题](2020·北京西城区统一测试)已知△ABC 满足________， 且 b＝ 6，A＝2π 3 ，求 sin C 的值及△ABC 的面积． 从①B＝π 4 ，②a＝ 3，③a＝3 2sin B 这三个条件中选一个，补充到上面问 题中，并完成解答． [解] 当选择条件①时， ∵B＝π 4 ，A＝2π 3 ， ∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 3 2 × 2 2 －1 2 × 2 2 ＝ 6－ 2 4 . 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，得 a 3 2 ＝ 6 2 2 ，解得 a＝3， ∴S△ABC＝1 2absin C＝9－3 3 4 . 当选择条件②时， 8 ∵a＜b，∴A＜B，又 A 为钝角，∴无解． 当选择条件③时， 由题意得 B 为锐角． 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，得3 2sin B 3 2 ＝ 6 sin B ，得 sin B＝ 2 2 ， ∴a＝3，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 3 2 × 2 2 －1 2 × 2 2 ＝ 6－ 2 4 . ∴S△ABC＝1 2absin C＝9－3 3 4 . 11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos2 π 2 ＋A ＋cos A＝5 4. (1)求 A； (2)若 b－c＝ 3 3 a，证明：△ABC 是直角三角形． [解] (1)由已知得 sin2A＋cos A＝5 4 ，即 cos2A－cos A＋1 4 ＝0.所以 cos A－1 2 2 ＝0，cos A＝1 2. 由于 0