北京市中考数学一轮复习课时训练(23)图形的相似、位似

课时训练(二十三) 图形的相似、位似 夯实基础 1.[2019·西城区期末]如果 4x=3y,那么下列结论正确的是 ( ) A. 3 = 4 B. 4 = 3 C. = 4 3 D.x=4,y=3 2.已知 △ ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则 ' '= ( ) A.2 B. 4 3 C.3 D. 16 9 3.[2020·东城区二模]把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按如图 K23-1 的方式放置,则图中阴影部分的面积为 ( ) 图 K23-1 A. 1 3 B. 1 4 C. 1 5 D. 1 6 4.[2020·燕山地区期末]如图 K23-2, △ ABC 中,∠A=65°,AB=6,AC=3,将 △ ABC 沿图 K23-3 中的虚线剪开,剪下的阴 影三角形与原三角形不构成相似的是 ( ) 图 K23-2 图 K23-3 5.[2020·通州区期末]如图 K23-4,∠1=∠2,如果增加一个条件就能使结论 AB·DE=AD·BC 成立,那么这个条件可 以是 ( ) 图 K23-4 A.∠C=∠D B.∠B=∠AED C. = D. = 6.如图 K23-5,点 D,E 分别在 △ ABC 的 AB,AC 边上,增加下列条件中的一个:①∠AED=∠B,②∠ADE=∠C,③ = ,④ = ,⑤AC2=AD·AE,使 △ ADE 与 △ ACB 一定相似的有 ( ) 图 K23-5 A.①②④ B.②④⑤ C.①②③④ D.①②③⑤ 7. △ ABC 的三边长分别为 5,12,13,与它相似的 △ DEF 的最小边长为 15,则 △ DEF 的周长为 . 8.[2020·密云区期末]如图 K23-6,直线 a∥b∥c,点 B 是线段 AC 的中点,若 DE=2,则 DF 的长度为 . 图 K23-6 9.如图 K23-7,∠ABC=90°,AB=2,BC=8,射线 CD⊥BC 于点 C,E 是线段 BC 上一点,F 是射线 CD 上一点,且满足∠ AEF=90°.若 BE=3,则 CF= . 图 K23-7 10.[2020·海淀实验中学模拟]如图 K23-8,测量小玻璃管口径的量具 ABC,AB 的长为 10 毫米,AC 被分为 60 等份, 如果小管口中 DE 正好对着量具上 20 份处(DE∥AB),那么小管口径 DE 的长是 毫米. 图 K23-8 11.[2020·东城区期末]《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:“今有竿 不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?”意思就是:有一根竹竿不知道有多 长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆(如图 K23-9 所示),它的影长五寸(提示:1 丈=10 尺,1 尺=10 寸),则竹竿的长为 . 图 K23-9 12.[2019 秋·通州区期末]如图 K23-10,在 Rt △ ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D.若 AD=2,BD=4,则 tanA 的值 为 . 图 K23-10 13.[2020·东城区二模]在平面直角坐标系中, △ ABO 三个顶点的坐标分别为 A(-2,4),B(-4,0),O(0,0).以原点 O 为位 似中心,把这个三角形缩小为原来的 1 2 ,得到 △ CDO,则点 A 的对应点 C 的坐标是 . 14.[2020·通州区期末]如图 K23-11,在正方形网格上有 △ ABC 以及一条线段 DE,请你以 DE 为一条边,以正方形网 格的格点为顶点画一个 △ DEF,使得 △ ABC 与 △ DEF 相似,并求出这两个三角形的相似比. 图 K23-11 15.[2020·西城区期末]如图 K23-12,在 △ ABC 中,AD 平分∠BAC,E 是 AD 上一点,且 BE=BD. (1)求证: △ ABE∽△ACD; (2)若 BD=1,CD=2,求 的值. 图 K23-12 拓展提升 16.[2020·顺义区期末]如图 K23-13,在等腰三角形 ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,D 是 BC 边上的一个动点(不与 B,C 重合),在 AC 边上取一点 E,使∠ADE=45°. (1)求证: △ ABD∽△DCE; (2)设 BD=x,AE=y. ①求 y 关于 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围; ②求 y 的最小值. 图 K23-13 【参考答案】 1.A 2.B 3.D [解析] 如图,设 BC=x,则 CE=1-x,∵两个正方形,∴AB∥EF,∴ △ ABC∽△FEC,∴ = ,即 1 2 = 1 - ,解得 x= 1 3 , ∴阴影部分面积为 S △ ABC= 1 2 × 1 3 ×1= 1 6 ,故选 D. 4.C [解析] A.根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意; B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意; C.两三角形的两条边成比例,但所夹角不一定相等,故两三角形不相似,故本选项符合题意; D.两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意.故选 C. 5.D [解析] 当 = 时,∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE,且 = , ∴ △ ABC∽△ADE,∴ = ,∴AB·DE=AD·BC,故选 D. 6.A 7.90 8.4 9. 15 2 10. 10 3 [解析] ∵DE∥AB,∴ △ CDE∽△CAB, ∴CD∶CA=DE∶AB, ∴20∶60=DE∶10,∴DE= 10 3 毫米,∴小管口径 DE 的长是 10 3 毫米. 11.四丈五尺 [解析] 设竹竿的长度为 x 尺,∵竹竿的影长=一丈五尺=15 尺,标杆长=一尺五寸=1.5 尺,影长五寸 =0.5 尺,∴ 15 = 1 . 5 0 . 5 ,解得 x=45,45 尺=四丈五尺.故答案为四丈五尺. 12. 2 [解析] 易证 △ ADC∽△CDB,∴CD2=AD·BD=8,∴CD=2 2 ,∴tanA= 2 2 2 = 2 . 13.(-1,2)或(1,-2) [解析] 以原点 O 为位似中心,把这个三角形缩小为原来的 1 2 ,点 A 的坐标为(-2,4),∴点 C 的坐 标为 -2× 1 2 ,4× 1 2 或 -2× - 1 2 ,4× - 1 2 ,即(-1,2)或(1,-2).故答案为:(-1,2)或(1,-2). 14.解:如图所示, △ DEF 即为所求(答案不唯一). △ ABC∽△FDE,其相似比为 = 1 2 . 15.解:(1)证明:∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. ∵BE=BD,∴∠BED=∠BDE.∴∠AEB=∠ADC.∴ △ ABE∽△ACD. (2)∵ △ ABE∽△ACD,∴ = . ∵BE=BD=1,CD=2,∴ = 1 2 . 16.解:(1)证明:∵∠BAC=90°,AB=AC=2,∴∠B=∠C=45°,BC=2 2 , ∵∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC=45°+∠EDC, ∴∠BAD=∠EDC,又∠B=∠C,∴ △ ABD∽△DCE. (2)①∵ △ ABD∽△DCE,∴ = ,即 2 - = 2 2 2 - ∴y= 1 2 x2- 2 x+2(0