3. 3 垂径定理
学习目标：
1、探索并证明垂径定理；
2、利用垂径定理解决简单的实际问题。
一、温故互查：
二人小组互述：
1、圆是轴对称图形吗？对称轴是什么？
2、等腰三角形“三线合一”的内容是什么？
二、设问导读：
阅读课本 P74-75，完成下列问题：
1. 通过把一个圆对折以后，可知圆是__对称图形,有_______条对称轴，__________________
是它的对称轴.
2.课本图 3-10 是_______图形,可以通过_____的方法操作得到.也可以通过连接________得
到一个等腰△_____，由等腰三角形______的性质得知 CD⊥AB，通过叠合法得知弧 AC 与弧
BC_____，弧 AD 与弧 BD______．
3.垂径定理符号语言：
∵ AB 是⊙ O 的直径 又∵ CDAB
∴_____________,_____________,_____________.
垂径定理推论符号语言：
∵ AB 是⊙ O 的直径 又∵ DECE
∴____⊥_____, _____________,_____________.
4.垂径定理逆定理的条件要强调“弦不是直径”是因为圆的任意两条直径互相_____，但是
它们不一定是互相_____.
5.课本例题通过作______线构造______定理基本结构图．与弦有关的问题,常过_____作弦的
______,将半径、弦心距和弦的____构成______三角形,从而运用_____三角形的边角关系求
解.
三、自学检测：
1.太原市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，
污水水面宽度为 60 cm，水面至 管道顶部距离为 10 cm，问修理人员
应准备内径多大的管道?
四、巩固训练：
1．如图所示，半圆的直径 AB=4，O 为圆心，半径 OE⊥AB，F 为 OE 的中点，CD∥AB，则弦
CD 的长为（ ）
A．2 3 B． 3 C． 5 D．2 5
2．如图所示，⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB，垂足为 P，且 AP=4cm，
PD=2cm，则⊙O 的半径为（ ）
A．4cm B．5cm
C．4 2 cm D．2 3 cm
3．⊙O 的半径为 10 cm，弦 AB//CD，AB＝12 cm，CD=16 cm．则 AB 和 CD 的距离为( )
A．2 cm B．10 cm 或 20 cm
C. 2 cm 或 14 cm D．14 cm
4．半径为 5 的⊙O 内有一点 P，且 OP=4，则过点 P 的最短的弦长是 ，最长的弦长
是 ．
5.在△ABC 中，AB=AC=5,cosB=
5
3 .如果⊙O 的半径为 10 ，且经过点 B、C,那么线段 AO 的
长等于_______.
五、拓展延伸：
1.已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径 R=10，小圆的半径 r=8，且圆 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长．
2.已知：如图，在⊙O 中 M, N 分别为弦 AB, CD 的中点，AB=CD, AB 不平行于 CD．
求证：∠AMN=∠CNM
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