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数学必修（第三册）
（基本初等函数Ⅱ）
角 坐标系 值（三角函数值） 三角函数
一．角的概念（4 课时）
【课标要求】了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要
性．
1．角的扩充
初中时，我们只在三角形中出现了角，顶多加上平角、周角，显然此时的角只是一个很小
的范围，另一方面，在日常生活中我们又用到很多不在这一范围中的角，因此我们有必要把角
的概念加以扩充。这个扩充需要改变角的定义．
（1）角的定义：
初中（扩充前）：从一点出发的两条射线所构成的图形．
其中：两条射线叫做角的两个边，端点叫做角的顶点．
高中（扩充后）：一条射线从一个位置绕着端点旋转到另一个为之所构成的图形．
其中：起始位置称为角的始边，终止位置称为角的终边．端点仍然叫做角的
顶点两种定义的差异在什么地方？
（2）角的正、负：
我们规定：逆时针方向旋转而成的角为正角，顺时针方向旋转而成的角为负角，一条射线
没有旋转而成的角为零角．
（3）角的分类：
为了讨论角的方便，我们把角放在直角坐标系内，即把角的顶点放在坐标原点，角的始边
放在 x 轴正方向上，由角的终边位置对角进行分类：象限角、轴上角．
（4）角的表示（终边相同的角）：
由于把角放入了直角坐标系内，所有角的始边都相同，不同的角只有通过角的终边加以判
定。两个角相等则它们角的终边必然相同；反之，两个角的终边相同，这两个角是否相等？回
答是否定的。但终边相同的角之间相差360 的整数倍，因此与角 中边相同的角构成的集合可
2
表示为：{ | 360 , }k k Z 。问： 是锐角吗？
例题选讲：
例 1．把下列角的范围表示出来：
（1）小于90 的角；（2）钝角；（3）第三象限角；（4） x 轴上的角．
例 2．若角 是第二象限角，则满足下列条件的角的集合是：
（1）终边与角 的终边关于 x 轴对称的角：
（2）终边与角 的终边关于 y 轴对称的角：
（3）终边与角 的终边关于原点对称的角：
（4）终边与角 的终边关于 y x 对称的角：
*（5）终边与角 的终边关于 3y x 对称的角：
例 3．若角 是第三象限角，则（1） 2 ；（2）
2
；（3）
3
是第几象限角．
例 4．若角 是第三象限角，则180 、180 是第几象限角．
2．弧度制
（1）弧度制引入的原因
应该说，角的概念的扩充，完全可以研究函数了，但在研究函数的过程中，角度制有其不
方便的地方：角度中，度、分、秒之间是60 进制，而度本身又是10进制，即进制不统一；今
后画函数图象时，角度制十分不方便．
（2）弧度制的引入：
弧度制是一种新的度量角的制度，它必然与弧有关，而弧是在圆中出现的，初中在讲解圆
时，规定弧的度数与其所对圆心角的度数相同，可见角是与弧有关系的．要规定一种新的度量
制度，首先要规定单位量，对弧度制来说，首先要规定1弧度．
1弧度的角：圆中弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
由此得到1弧度的角，其余的角都可以用其来进行测量。
同时也可得到角的弧度制定义： l
r
（弧度）（ rad ）．
（3）弧度制与角度制的互化
3
弧度制与角度制都是角的度量单位，也就是说，同一个角有弧度数也有角度数（两个数量
值都不同吗？），这就存在一个两种制度之间的互化问题．
由定义：360 2 (弧度)；180 (弧度)；1 180
(弧度) 0.01745 (弧度)，
同时： 2 (弧度) 360 ； (弧度) 180 ；1(弧度) 180 57.3 57 18
．
常见的角的弧度数与角度数的互化：
度 0 15 30 45 60 75 90 180 270 360
弧度 0 12
6
4
3
5
12
2
2
3 2
注：角的弧度数后面的单位（弧度）可以省略．角度制与弧度制不能混有！
例题选讲：
例 1．用角度值解决的各题都可用弧度制再做一遍．
例 2．扇形的面积公式： 1
2S l r ．
例 3．已知：扇形的周长为c ，求：当扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大．
2
max 16
cS
二．三角函数值（4 课时）
【课标要求】借助单位圆理解三角函数值（正弦、余弦、正切）的定义，以及三角函数值的几
何意义——三角函数线．
1．三角函数值的定义
定义三角函数值需要借助坐标系这个媒介，但又不能否定原来锐角三角函数值，应该又是
一次“扩充”。“扩充”时，我们还是从锐角开始：
设：角 终边上任意一点 ( , )P x y ， | |r OP
则定义：sin y
r
（正弦）；cos x
r
（余弦）；
tan y
x
（正切）． o x
y
( , )P x y
x
y
4
各个象限内的角的三角函数值的正负：
sin cos tan
由定义可知：角的集合与三角函数值的集合可以建立一种多对一的对应关系，这种对应关
系就是映射、就是函数．
常用角的三角函数值：
0 6
4
3
2
3
2
2 2
3
3
4
sin
cos
tan
2．三角函数值的几何表示——三角函数线
我们在单位圆中研究三角函数值．
角 的终边与单位圆交于 ( , )P x y 点，过 P 作 PM x 轴于 M ，
且 | | 1r OP ， 1,T y
此时：sin y yr
；cos x xr
， tan 1
y y ，
由于坐标带有符号（正负），因此不能只用线段的长度来
表示三角函数值，还要考虑符号，我们用线段的方向来表示正负，
这种线段与我们前面所学的向量有关．
在单位圆中我们可以用向量来表示角的正弦、余弦、正切，因此我们称向量 MP
、OM
、
AT
为角 的正弦线、余弦线、正切线．
注意：三角函数线是单位圆中出现的向量．
例题选讲：
o x
y
o x
y
o x
y
o x
y
P
M A
T
5
例 1．求满足下列条件的角所在的象限：
（1）sin cos 0 ；（2） tan sin 0 ；（3） cos 0cot
；（4） tan 0sin
．
例 2．已知：角 的终边经过点 ( 3,4)P ，求：角 的正弦值、余弦值、正切值．
例 3．已知： 为锐角，求： sin|log 2|(sin ) 的值．
例 4．已知： 为锐角，求证：sin tan ．
三．三角函数值的运算（6 课时）
【课标要求】理解同角三角函数（值）的基本关系式： 2 2sin cos 1 ， sin tancos
，借助
单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（
2
， 的正弦、余弦、正切）．
1．同角三角函数值的基本关系
对于同一个角的正弦值、余弦值、正切值之间具有的关系也可根据三角函数值的定义有，
2 2sin cos 1 ， sintan cos
．
例题选讲：
例１．已知： 3sin 5
， 是第二象限角，求： sin cos
1 cot 1 tan
的值．
例２．已知： 1sin cos 5x x （0 x ），求： tan x 的值．
例 3．已知： tan 2 ，
求：（１）3sin 4cos ；（２） 3sin 5cos
3sin cos
；（３） 2 24sin 3sin cos 5cos ．
例 4．求证：（１） 2(cos sin ) cos sin
1 sin cos 1 sin 1 cos
；
（２）1 sec tan 1 sin
1 sec tan cos
．
2．不同角三角函数值的基本关系
特殊的不同角的三角函数值的关系——诱导公式
我们还在单位圆中，考察利用三角函数线还能解决哪些问题？我们知道，第一、二象限角
的正弦值符号为正，数值能否相等，通过三角函数线来研究这个问题．
与 终边相同的角：sin(2 ) sink ，cos(2 ) cosk ， tan(2 ) tank ；
6
与 终边关于 y 轴对称的角：sin( ) sin ，cos( ) cos ，tan( ) tan ；
与 终边关于原点对称的角：sin( ) sin ，cos( ) cos ，tan( ) tan ；
与 终边关于 x 轴对称的角：sin( ) sin ，cos( ) cos ， tan( ) tan ；
由此我们得到第一类（ x 轴上加、减 ）诱导公式：
我们可利用互余的两个角的三角函数之间的关系及第一类诱导公式，得到第二类（ y 轴上
加、减 ）诱导公式：
例题选讲：
例 1．求下列各式的值：
（1） 19 7 25 11cos sin( ) sin cos( )6 6 6 6
；
（2）
7 5 3cos tan sin6 3 4
5sin tan cos44 6
；
（3） 9 7 5cos tan sin tan4 6 4
。
例 2．求下列各式的值：
（1） tan10 tan 20 tan30 tan 40 tan50 tan 60 tan 70 tan80 ；
（2）cos1 cos2 cos3 cos88 cos89 cos90 ；
（3） 2 2 2 2
tan1 tan 2 tan3 tan88 tan89
sin 1 sin 2 sin 88 sin 89
．
sin( ) cos2
sin( ) cos2
3sin( ) cos2
3sin( ) cos2
cos( ) sin2
cos( ) sin2
3cos( ) sin2
3cos( ) sin2
tan( ) cot2
tan( ) cot2
3tan( ) cot2
3tan( ) cot2
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四．三角函数（8 课时）
【课标要求】借助单位圆，能画出三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、
最大（小）值；借助图象理解正弦函数、余弦函数在 0,2 上，正切函数在 ,2 2
上的性质；
结合具体实例，了解 siny A x 的实际意义；能借助图象理解参数 ， ， A 的意义，
了解参数的变化对函数图象的影响．
根据三角函数值的定义、三角函数线、三角函数值的运算可以顺利研究三角函数，由函数
的性质可以研究正弦函数、余弦函数、正切函数的性质与图象．
siny x tany x
定义域 R R { | , }2x x k k Z
值 域 [ 1,1] [ 1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 [ , ]2 2
增； 3[ , ]2 2
减 [0, ] 减；[ ,2 ] 增 ( , )2 2
增
周期性 2T 2T T
图象
一般地，对于函数 ( )f x ，如果存在一个非零的常数T ，使得对定义域内的每一个值 x ，都
满足
( ) ( )f x f x T
那么函数 ( )f x 就叫做周期函数，非零的常数T 叫做这个函数的周期．
注意：1．定义中的等式是对定义域内的每一个值都成立的，因此，周期函数的定义域是
无界的；
ｘ
ｙ
ｏ
21 ｘ
ｙ
ｏ 21 o
8
2．若非零的常数T 是函数的周期，则T 的非零整数倍都是这个函数的周期．
如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做这个函数的最
小正周期．
由周期函数的定义及三角函数的诱导公式知： siny x 的周期是 2k （k Z 且 0k ），最
小正周期是 2 ．
一般地，形如 sin( )y A x 称为正弦型函数。
利用具体函数考虑正弦型函数的性质与图象。
例．求函数 2sin(2 )3y x 的性质，并画出一个周期内函数的图象。
定义域： R ；值域：[ 2,2] ；单调区间： 5[ , ]12 12k k 增， 5 11[ , ]12 12k k 减
奇偶性：非奇非偶函数；最小正周期：T
五点法作图：
x
6
5
12
2
3
11
12
7
6
2 3x 0 2
3
2
2
y 0 2 0 2 0
下面我们回顾一下我们学过的图象变换：
三种变换：
（1） 平移变换： ( )( ) ( )
y f x ay f x y f x a
．
（2） 对称变换：①整体对称：
( )
( ) ( )
( )
y f x
y f x y f x
y f x
；②局部对称： (| |)( ) | ( ) |
y f xy f x y f x
．
ｘ
ｙ
ｏ 21
siny x
9
（3） 伸缩变换： ( )( ) ( )
y f axy f x y af x
．
*
sin 2
sin sin(2 )3sin( )3
y x
y x y x
y x
， ( )( ) (1 )(1 )
y f xy f x y f xy f x
．
例题选讲
例 1．求下列函数的定义域、值域：
（１） 2sin 1y x ；（２） 2siny x ；（3） 2sin 1
sin 2
xy x
．
例 2．求函数 2cos sin 1y x x （ [0, ]x ）的值域．
例 3．判断下列函数的奇偶性：
（1）
2sin cos 1
sin 1
x xy x
；（非）
（2） cos( ) sin( )2y x x ；（偶）
（3）
sin
sin
1
1
x
x
ey e
．（奇）
例 4．求下列函数的单调增区间：
（1） sin(2 )3y x ；（ 5[ , ]12 12k k ， k Z ）
（2） cos( 2 )3y x ；（[ , ]3 6k k ， k Z ）
（3） 1lg(sin )2y x ．（(2 ,2 ]6 2k k ， k Z ）
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