第四章 因式分解
2 第1课时 公因式为单项式的
知识回顾
1. 因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，
这种变形叫做把这个多项式分解因式 .
2. 整式乘法与分解因式之间的关系.
互为逆运算
获取新知
1.多项式ma+mb+mc有哪几项？
2.每一项的因式都分别有哪些？
3.这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因式是什么？
ma, mb, mc
依次为m, a和m, b和m, c
有，为m
4.请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式.
a, b, ab
观察下列多项式，各项中有相同的因式吗?
ab+bc 3x²+x mb²+nb-b
多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式
各项的公因式。
探索新知
问题1
667×37 +667×63
b x b
怎样确定多项式各项的公因式？
系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂
多项式 2x2+6x3 中，各项的公因式是什么？
问题2
系数：
最大公约数
2
字母：
相同的字母
x
所以公因式是2x2.
指数：
相同字母的
最低次幂
2
探索新知
u确定多项式各项公因式的方法：
1.定系数：找多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：找多项式各项中都含有的相同字母.
3.定指数：找各项相同字母的最低次幂.
确定公因式一
探索新知
例1 下列多项式中，各项的公因式是什么？
（1） （2）2 32 6x x 3 2 26 9a b a b c
22x 3 a b2 1
4k
巩固练习 写出下列多项式各项的公因式
（1） （2）4 8kx ky 2 22m n mn mn
mn
例2 把下列各式因式分解：
(1)3x＋x3； (2)7x3－21x2;
解：(1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2);
(2)7x3－21x2＝7x2·x－7x2·3＝7x2(x－3);
(3)8a3b2－12ab3c＋ab；(4)－24x3＋12x2－28x.
(3)8a3b2－12ab3c＋ab
＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝ab(8a2b－12b2c＋l)；
(4)－24x3＋12x2－28x
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
＝ －4x(6x2－3x＋7).
提公因式法因式分解
步骤：
1.确定公因式；
2.拆分成公因式与剩余部分乘积的形式
依据：乘法分配律的逆用
易错注意：
1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
3.首项为负提出负号后各项要变号
随堂演练
1. 多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( )
A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
B
2. 下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是( )
A．15a2b－20a2b2
B．30a2b3－15ab4－10a3b2
C．10a2b2－20a2b3＋50a4b5
D．5a2b4－10a3b3＋15a4b2
A
3. 多项式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是( )
A．x4 B．x3＋1
C．x4＋1 D．x3－1
C
因式分解：12x2y+18xy2.
解：原式 =3xy(4x + 6y).
错误 公因式没有提尽，还可以
提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y).
请你判断小明的解法有误吗？
易错分析
提公因式后括号里少了一项.错误
解：原式 =x(3x-6y).
因式分解：3x2 - 6xy+x.
正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
提出负号时括号里的项
没变号
错误
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
请你判断小明的解法有误吗？
解：=3x·3x-3x·2y+3x·z
=3x (3x-2y+z)
=-(14x3 +21x2-28x )
= -(7x·2x2 +7x·3x-7x·4)
=-7x(2x2 +3x-4)
=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1
=abc (2a2b+4b2-1)
(1)9x2-6xy+3xz (2)2a3b2c+4ab3c-abc
(3) ﹣14x3 -21x2+28x (4) （m-1为正整数）
巩固练习 将下列各式分解因式
1 12 4 2m m ma a a
1 2 1 1=2 2 2 2 1m m ma a a a a
1 2=2 2 1ma a a （ ）
探索新知
例4 已知2x－y＝ ，xy＝2，
利用分解因式求 2x4y3－x3y4 的值．
1
3
解：2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)
当2x－y＝ ，xy＝2时，原式＝23× ＝1
3
1
3
8
3 .
探索新知
课堂小结
因式
分解
提公因式法
（单项式）
确定公因式的方法：三定，即
定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式；
第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
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