2020-2021学年高二数学人教A版数学选修2-2：3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件

3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及 其几何意义   复数的加、减法法则及几何意义与运算律 z1,z2,z3∈C,设 分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相对应,且 不共线 加法 减法 运算法则 z1+z2=(a+c)+(b+d)i z1-z2= _____________ 几何意义 复数的和z1+z2与向量 的坐标对应 复数的差z1-z2与向量 的坐标对应 运算律 交换律 z1+z2=z2+z1 1 2OZ OZ   ， 1 2OZ OZ   ， 1 2OZ OZ OZ    ＋ ＝ 1 2 2 1OZ OZ Z Z    － ＝ (a-c)+(b-d)i 【思考】  (1)两个复数的和或差得到的结果是什么? 提示:结果仍然是唯一的复数. (2)复数的加法法则可以推广吗? 提示:可以推广到多个复数相加的情形. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)两个复数的加法不满足结合律. (  ) (2)复数的加法运算法则只适用于两个复数相加. (  ) (3)复数与向量一一对应. (  ) 提示:(1)×.复数的加减法满足结合律. (2)×.可以推广到多个复数相加. (3)×. 正确说法是:复数z=a+bi与平面向量: =(a,b)一一对应.OZ  2.(教材二次开发:练习题改编)已知z=11-20i,则1-2i-z等于 (  ) A.z-1 B.z+1 C.-10+18i D.10-18i 【解析】选C.1-2i-z=1-2i-(11-20i)=-10+18i. 3.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(  ) A.-2 B.4 C.3 D.-4 【解析】选B.z=1-(3-4i)=-2+4i. 关键能力·合作学习 类型一 复数的加减运算(数学运算) 【题组训练】 1.计算:(2-3i)+(-4+2i)=________.  2.已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x=_______,y=_______.  3.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i, 则|z1+z2|=________.  【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i. 答案:-2-i 2. 整理(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi)得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i, 故 解得 答案:6 11 x 4 y 1 x y 3x 1        ， ， x 6 y 11.    ， 3.z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+ [(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i, 所以 解得 所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i, 所以|z1+z2|= . 答案: 5x 5y 5 3x 4y 3       ， ， x 1 y 0    ， ， 2 2 【解题策略】 复数加、减运算法则的记忆  (1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减. (2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项. 提醒:注意运算格式及范围,避免出错 在进行复数减法运算时要注意格式,两复数相减所得结果依然是一个复数,其对 应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差.注意中间用“+”号,如z1=a+bi, z2=c+di, z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1-z2=(a-c)-(b-d)i(a,b,c,d∈R). 【补偿训练】 1.已知复数z+3i-3=3-3i,则z= (  ) A.0 B.6i C.6 D.6-6i 【解析】选D.因为z+3i-3=3-3i,所以z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i. 2.已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=________.  【解析】由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以 解得a=3. 答案:3 2 2 a 2a 3 0 a 1 0        ， ， 类型二 复数加减法的几何意义(数学运算、直观想象) 【典例】1.设向量 对应的复数分别为z1,z2,z3,那么 (  )            A.z1+z2+z3=0 B.z1-z2-z3=0 C.z1-z2+z3=0 D.z1+z2-z3=0 2.在复平面内,若 对应的复数分别为7+i,3-2i,则| |=________.  OP PQ OQ    ， ， OA OB   ， AB  3.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示复数0,3+2i,-2+4i.求: (1) 表示的复数. (2)对角线 表示的复数. (3)对角线 表示的复数. AO  CA  OB  【解析】1.选D.因为 ,所以z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0. 2. 答案:5 3.(1)因为 ,所以 表示的复数为-3-2i. (2)因为 ,所以对角线 表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为对角线 ,所以对角线 表示的复数为(3+2i)+(-2+4i) =1+6i. OP PQ OQ    2 2AB OB OA 4 3i | 4 3            （ ）（ ） AO OA   AO  CA OA OC    CA  OB OA OC    OB  【解题策略】 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论 (1)技巧. ①形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理; ②数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用 于几何之中. (2)常见结论:在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐 标原点,则四边形OACB: ①为平行四边形; ②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形; ③若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形; ④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形. 【跟踪训练】 复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3+4i和5-2i,那么向量 对应的复数为 (  ) A.3+4i B.5-2i C.-2+6i D.2-6i 【解析】选D. ,即终点的复数减去起点的复数,所以(5-2i)- (3+4i)=2-6i. 1 2 2 1Z Z OZ OZ    1 2Z Z  【补偿训练】 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量 对应的复数分 别是3+i,-1+3i,则 对应的复数是 (  ) A.2+4i  B.-2+4i  C.-4+2i  D.4-2i 【解析】选D.在平行四边形ABCD中, =3+i-(-1+3i)=4-2i. OA OB   ， CD  CD BA OA OB      类型三 复数模的最值问题(直观想象、数学抽象) 【典例】1.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(  ) A.1    B.     C.2    D. 2.若复数z满足|z+ +i|≤1,求|z|的最大值和最小值. 【思路导引】1.设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,则 点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值. 2.满足|z+ +i|≤1的条件的点落在以(- ,-1)为圆心,半径为1的圆上以及 内部,则|z|的最值即为求到原点的距离的最值. 3 1 2 3 3 5 【解析】1.选A. 设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3, 因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2, 所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1. 所以|z+i+1|min=1. 2.如图所示, =2.所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.2 2OM 3 1    （ ）（ ） 【解题策略】  1.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= ,实际上就是指复平面上的点Z到原 点O的距离;|z1-z2|的几何意义是复平面上的点Z1,Z2两点间的距离. 2.复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔ . 2 2a b OZ  OZ  【跟踪训练】  已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值. 【解析】因为|z|=1且z∈C,作图如图: 所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点Q到复平面上的点P(2,2)的距离, 所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2 -1.2 1.a,b为实数,设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为 (  )                 A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i 【解析】选D.因为z1=2+bi,z2=a+i,所以z1+z2=2+bi+(a+i)=0,所以a=-2,b=-1, 即a+bi=-2-i. 2.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是 ,则|z1+z2|=(  ) A.1      B. C.2 D.3 【解析】选B.由图象可知z1=-2-2i,z2=i, 所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|= . 5 OA,OB   5 3.在复平面内的平行四边形ABCD中, 对应的复数是6+8i, 对应的复数是- 4+6i,则 对应的复数是 (  ) A.2+14i   B.1+7i   C.2-14i   D.-1-7i 【解析】选D.依据向量的平行四边形法则可得 , , 由 对应的复数是6+8i, 对应的复数是-4+6i,依据复数加减法的几何意义 可得 对应的复数是-1-7i. AC  BD  DA  DA DC DB    DC DA AC    AC  BD  DA  4.设z1=1-i,z2=a+2ai(a∈R),其中i是虚数单位,若复数z1+z2是纯虚数,则有(   )                A.a=1 B.a= C.a=0 D.a=-1 【解析】选D.因为复数z1+z2=1-i+a+2ai=1+a+(2a-1)i是纯虚数,所以a+1=0, 2a-1≠0,所以a=-1. 1 2 5.计算下列各题 (1)(-2+3i)+(5-i). (2)(-1+ i)+(1- i). 【解析】(1)原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i. (2)原式=(-1+1)+( - )i=0. 2 2 2 2