3.3 中心对称
第三章 图形的平移与旋转
剪纸,又叫刻纸,是中国汉族最古老的民间艺术之一,
它的历史可追溯到公元6世纪.如图剪纸中两个金鱼之
间有什么关系呢?
情境导入
中心对称的概念及性质
重 合
O
A
D B
C
问题1:观察下列图形的运动,说一说它们有什么
共同点.
观察与思考
旋转角为180°
知识要点
如果把一个图形(如△ABO)绕定点O旋转180º,
它能够与另一个图形(如△CDO)重合,那么就说这
两个图形△ABO与△CDO关于点O对称或中心对称,
点O就是对称中心.
填一填:
如图,△OCD与△OAB关于点O中心对称 ,则
____是对称中心,点A与_____是对称点, 点B与
____是对称点.
B
C
A
D
O C
D
1.中心对称是一种特殊的旋转.其旋转角是180 °.
2.中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.
归纳总结
问题2 如图,旋转三角尺,画出 ABC关于点O中
心对称的 A′B′C′ .
A′
C
A B B′
C′
O
:
下图中△A′B′C′与△ABC关于点O中心对称,你能从
图中找到哪些等量关系?
A′
B′
C′
A
B
C
O
(1) OA=OA′ OB=OB′ OC=OC′
1.成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经
过对称中心,且被对称中心平分.(即对称点与
对称中心三点共线)
2.中心对称的两个图形是全等形.
知识要点
• 中心对称的性质
典例精析
例1 如图,已知四边形ABCD和点O,试画出四边形
ABCD关于点O成中心对称的图形A'B'C'D'.
A B
C
D
O
分析:要画出四边形ABCD关
于点O成中心对称的图形,只
要画出A,B,C,D四点关于
点O的对称点,再顺次连接各
对应点即可.
A B
C
D
O
作法:
1.连接AO并延长到A',使OA'=OA,得到点A的对应点A';
A'
B'
C'
D'
2.同理,可作出点B,C,D的对应点B',C',D';
3.顺次连接A',B',C',D',则四边形A'B'C'D'即为所作.
考考你:如图,已知△ABC与△A′B′C′中心对称,找出
它们的对称中心O.
A
B
C
A′
B′
C′
解法1:根据观察,B、B′应是对应点,连接BB′,用
刻度尺找出BB′的中点O,则点O即为所求(如图).
A
B
C A′
B′
C′
O
O
解法2:根据观察,B、B′及C、C′应是两组对应点,连
接BB′、CC′,BB′、CC′相交于点O,则点O即为所求
(如图).
A
B
C
A′B′
C′
注意:如果限制只用直尺作图,我们用解法2.
例2 如图,已知△AOB与△DOC成中心对称,
△AOB的面积是12,AB=8,则△DOC中CD边上
的高为________.
解析:设AB边上的高为h,因为
△AOB的面积是12,AB=8,易得h=3.
又因为△AOB与△DOC成中心对称,
△COD≌△AOB,所以△DOC中CD边
上的高是3.
3
轴 对 称 中心对称
1 有一条对称轴 —— 直线 有一个对称中心 —— 点
2 图形沿轴对折(翻转 180° ) 图形绕中心旋转 180°
3 翻转后和另一个图形重合 旋转后和另一个图形重合
1
A
B C
C1
A
B1
O
拓展提升 中心对称与轴对称的异同
中心对称图形
合作探究
(1)线段 (2)平行四边形
A B
问题 将下面的图形绕O点旋转,你有什么发现?
O
共同点:(1)都绕一点旋转了180度;
(2)都与原图形完全重合.
O
把一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形能
与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这
个点叫做它的对称中心.
B
A
C
D
• 中心对称图形的定义
中心对称图形是指一个图形.注意
知识要点
√√(1) (2)
(3)√ (4)
判一判:下列图形中哪些是中心对称图形?
×
在生活中,有许多中心对称图形,你能举出一些例子吗?
例3 如图,长方形ABCD的对角线AC和BD相交于点
O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F,AB=2,
BC=3,则图中阴影部分的面积为_______.
解析:易知长方形是中心对称图形,
所以依题意可知△BOF与△DOE关于
点O成中心对称,由此图中阴影部分
的三个三角形就可以转化到直角
△ADC中,易得阴影部分的面积为3.
3
例4 请你用无刻度的直尺画一条直线把他们分成面积相
等的两部分,你怎样画?
割法1
割法2
补法
对于这种由两个中心对称图形组成的复合图形,
平分面积时,关键找到它们的对称中心,再过对称
中心作直线.
归纳
1. 选择题:
(1)下列图形中即是轴对称图形又是中心对称
图形的是( )
A. 角 B. 等边三角形 C. 线段 D. 平行四边
形
C
(2)下列多边形中,是中心对称图形而不是轴
对称图形的是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
A
2、下列图形属于中心对称图形的是( )C
3. 判断下列说法是否正确。
(1)轴对称图形也是中心对称图形。( )
(2)旋转对称图形也是中心对称图形。( )
(3)平行四边形、长方形和正方形都是中心对
称图形,对角线的交点是它们的对称中心。( )
(4)角是轴对称图形也是中心对称图形。( )
(5)在成中心对称的两个图形中,对应线段平行(或在
同一直线上)且相等。 ( )
×
√
×
√
×
4、下列图形中,是轴对称图形又是中心对称图形的是( )D
5、下列图形中,不是中心对称的图形是( )
A圆 B 正六边形
C正方形 D等边三角形
D
6、下列说法正确的是( )
A 全等的两个图形一定成中心对称
B关于某一点对称的图形一定全等
C关于某一点中心对称的图形不一定全等
D不全等的两个图形有可能关于某点中心对称
B
7、四边形ABCD的对角线相交于O点,且OA=OB=OC=OD,则
这个四边形( )
A仅是轴对称图形
B仅是中心对称图形
C既不是轴对称图形又不是中心对称图形
D既是轴对称图形又是中心对称图形
D
8、下列图形中是中心对称图形的有( )
①角; ②线段;③圆;④正方形;⑤正三角形; ⑥长方形;
⑦正五边形
②③④⑥
9、若两个图形关于某一点成中心对称,那么下列说
法:①对称点的连线必过对称中心;②这两个图形
一定全等;③对应线段一定平行且相等;④将一个
图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合.
其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④
10、如图,如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD
重合,那么图形所在的平面上可
以作为旋转中心的点共有( )
A.4 B.3 C.2 D.1
A
B C
D E
F
D
B
11.如下所示的4组图形中,左边数字与右边数字成中心对称的
有
( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
C
12.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
( )
A . 角 B. 等边三角形 C . 线段 D . 平行四边形
C
13.世界上因为有了圆的图案,万物才显得富有生机,以下来自
现实生活的图形中都有圆,它们看上去是那么美丽与和谐,这
正是因为圆具有轴对称性和中心对称性.
请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ,是中心对称
图形的有 .
一石激起千层浪
①
汽车方向盘
②
铜钱
③
① ②③
① ③
15.图中网格中有一个四边形和两个三角形,
(1)请你先画出三个图形关于点O的中心对称图形;
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这
个整体图形对称轴的条数;这个整体图形至少旋转多少度与
自身重合?
O
A′
B′C′
O
A
B C
16.如图,已知等边三角形ABC和点O,画△A′B′C′,使
△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称.
课堂小结
中心对称
和
中心对称
图形
概念 旋转角是180°
性质
对应点的连线经过对称中心,且被
对称中心平分
作图 应用1:作中心对称图形;
应用2:找出对称中心
中
心
对
称
中心
对称
图形
定 义
性质
应用
绕着某一点旋转180°能与本
身重合的图形
经过对称中心的直线把原图
形 分 成 面 积 相 等 的 两 部 分
美丽的中心对称图形在建筑
物和工艺品等领域非常常见