安徽省蚌埠田家炳中学2020-2021学年高二6月月考数学（理）试题 含答案

第 1 页，共 15 页 蚌埠田家炳中学 2020-2021 学年第二学期 6 月月考试卷 （理科）高二数学 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 设 i 是虚数单位，则复数  1 在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 . 设 䳌䁨 的三边长分别为 a，b，c， 䳌䁨 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 ൅൅ ， 类比这个结论可知：四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 1 ， ， ， ，内切球 半径为 R，四面体 ABCD 的体积为 V，则 R 等于 A. 1൅൅൅ B. 1൅൅൅ C. 1൅൅൅ D. 1൅൅൅ . 根据一组样本数据 11 ， ， ， 的散点图分析 x 与 y 之间是否存在 线性相关关系，求得其线性回归方程为 r.n5 n5. ，则在样本点 155 处的 残差为 A. 5.55 B. .5 C. .5 D. 111.55 . 若曲线 ൅ ൅ 在点 r 处的切线方程是 ൅ 1 r ，则 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 5. 如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 A. 1 B. 1 5 C. 1 D. 1 . 在某公司的一次投标工作中，中标可以获利 12 万元，没有中 标损失 r.5 万元 . 若中标的概率为 r. ，设公司获利 X 万元，则 元 A. 7 B. 1. C. .5 D. .5 . 已知 1 ൅ 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则展开式中奇数项的 二项式系数和为 A. 1 B. 11 C. 1r D. n. 有 3 位男生，3 位女生和 1 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相 邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是 A. 144 B. 216 C. 288 D. 432 . 已知函数 ሻ ൅ . 若曲线 在点 11 处的切线与直线 平行，则实数 第 页，共 15 页 A. B. 2 C. D. 1 1r. 已知 1 ൅ cos ， 为 的导函数，则 的图象是      A. B. C. D. 11. 若离散型随机变量 X 的分布列为 元 ൅1 1 1 1 5 ，则 元 5 的值为 A. 1 B. 1 C. 5 1 D. 1. 若对于任意的 r 1 ，都有 ln1 1 ln 1 1 1 ，则 a 的最大值为 A. B. C. 1 D. 1 二、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 已知x与y 之间的一组数据如图：已求得关于y与x的线性回归方程 .1 ൅ r.n5 ， 则 m 的值为______ ． x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 1. 若 ൅ 1 ，则 r ． 15. 某大学的 8 名学生准备拼车去长白山旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级 各 2 名，分乘甲、乙两辆汽车 . 每车限坐 4 名同学 乘同一辆车的 4 名同学不考虑位 置 ，其中大一的孪生兄弟需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学 来自同一年级的乘车方式共有 种 . 1. 若存在 1 ，使得不等式 ln ൅ ൅ r 成立，则实数 m 的最大值 为___________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分，第 17 题 10 分，其它每题 12 分） 1. 求由曲线  和 ܿ 所围成的平面图形的面积． r .r .r .n1 5.r .5 .n 1r.nn r r.15 r.1r r.r5 r.r5 r.r1r r.rr5 r.rr1 ． ൅ ൅ ൅ 䁖 ，其中 ൅൅䁖൅൅䁖 䁖 附公式及表： 期望值． 的分布列及 求出 . 学生中抽取 3 名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为 从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再在 8 名 别有关”； 的把握认为对“线上教育是否满意与性 ؙ 列联表，并回答能否有 完成 1 合计 120 女生 男生 满意 不满意 总计 生中有 15 名表示对线上教育不满意． 查，其中男生与女生的人数之比为 11：13，其中男生 30 人对于线上教育满意，女 研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调 2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了 1. 的关系式． 与 1 归纳出 ； 5 ， ， ， 依次写出 ____________、____________、____________； 第 6 行的 6 个数依次为____________、____________、____________、 1 特征，完成下列各题： ，请仔细观察上述“三角数阵”的 行的第 2 个数为 1 记第 观察如图所示的“三角数阵” 1n. 页 15 页，共 第 第 页，共 15 页 r. 已知函数 1 ൅ 1 ൅ ሻ ൅ 1 ． Ⅰ 若 是 的极值点，求 的单调区间； Ⅱ 若 1 恒成立，求 a 的取值范围． 1. 2020 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相 继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情．某社区组织 了 80 名社区居民参加防疫知识竞赛，他们的成绩全部在 40 分至 100 分之间，现将 成绩按如下方式分成 6 组：第一组，成绩大于等于 40 分且小于 50 分；第二组，成 绩大于等于 50 分且小于 60 分； 第六组，成绩大于等于 90 分且小于等于 100 分， 据此绘制了如图所示的频率分布直方图． 1 求社区居民成绩的众数及 a 的值； 我们将成绩大于等于 80 分称为优秀，成绩小于 60 分称为不合格．用分层抽样 的方法从这 80 个成绩中抽取 20 个成绩继续分析，成绩不合格和优秀各抽了多少 个？再从抽取的不合格成绩和优秀成绩中任选 3 个成绩，记优秀成绩的个数为 x 个， 求 x 的分布列和数学期望． 22. 已知函数 ln ， 1 为常数 ． Ⅰ 若 1 ，求函数 的图象在 1 处的切线方程； Ⅱ 若 ，对任意 1 ， 1 ，且 1 都有 1 1 成立，求实数 b 的值． ， ，1，2 r 䁨n 䁨5 䁨 服从超几何分布， 并且 的可能取值为 0，1，2，3， 依题可知 可知男生抽 3 人，女生抽 5 人， 1 由 ． 的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关 ؙ 所以有 ， 1 .1 .5 r 555nrr 1rr1555r 的观测值 根据列联表中的数据，得到 合计 80 40 120 女生 50 15 65 男生 30 25 55 满意 不满意 总计 2x2 列联表如下： ， 1r 55 5 所以女生人数为 ， 11൅1 55 11 1r 因为男生人数为： 1 19. 解： ． ൅1 ൅ 由此归纳 5 ൅ ， ൅ ， ൅ ； 5 11 ， ， ， 易知， ，16，25，25，16，6； 1 18. 解： ． ൅   ܿ䁖 ܿ 所围成的平面图形的面积为： ܿ 和  17. 解：曲线 ൅ 1 16. 15. 24 r.514. 13. 8. D 9. D 10. A 11. A 12. C 1. B 2. C 3. B 4. A 5. C 6. C 7. D （理科）高二数学 蚌埠田家炳中学 2020-2021 学年第二学期 6 月月考试卷 页 15 页，共 5 第 第 页，共 15 页 即 r 䁨5 䁨n 5 n ， 1 䁨5 䁨 1 䁨n 15 n ， 䁨5 1 䁨 䁨n 15 5 ， 䁨 䁨n 1 5 ， 可得分布列为 0 1 2 3 P 5 n 15 n 15 5 1 5 可得 r 5 n ൅ 1 15 n ൅ 15 5 ൅ 1 5 n ． 20. 解： Ⅰ 由题意知函数的定义域为 r ൅ ， ൅ 1 ൅ ， 是 的极值点， ൅ 1 ൅ r ，解得 ， 当 时， 1 ， 当 x 变化时， x r1 1 1 3 ൅ ൅ 0 0 ൅ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故 在 r1 上单调递增，在 1 上单调递减，在 ൅ 上单调递增； Ⅱ 要使得 1 恒成立，即当 r 时， 1 ൅ 1 ൅ ሻ r 恒成立， 设 1 ൅ 1 ൅ ሻ ，则 ൅ 1 ൅ 1 ， 当 r 时，由 r 得单减区间为 r1 ， 由 r 得单增区间为 1 ൅ ， 故  1 1 r ，得 1 ；  当 r 1 时，由 r 得单减区间为 1 ， 由 r 得单增区间为 r ， 1 ൅ ， 此时 1 1 r ， 不合题意；  当 1 时， 在 r ൅ 上单调递增，此时 1 1 r ， 不合题意； 香 当 1 时，由 r 得单减区间为 1 ， 第 页，共 15 页 由 r 得单增区间为 r1 ， ൅ ， 此时 1 1 r ， 不合题意． 综上所述，a 的取值范围为 1 ． 21. 解： 1 由频率分布直方图得众数为 65， r.rr5 ൅ r.r1r ൅ ൅ r.rr ൅ r.r15 ൅ r.rr5 1r 1 ， 得 r.r5 ； 成绩不合格有 3 个，优秀有 4 个， x 可能取值为 0，1，2，3， r C C 1 5 ， 1 C C 1 C 1 5 ， C 1 C C 1n 5 ， C r C C 5 ， 的分布列为 x 0 1 2 3 P 1 5 1 5 1n 5 5 1 5 ൅ 5 ൅ 1 5 r 5 1 ． 22. 解： Ⅰ 若 1 ，函数 ln 1 ൅ ，其中 r ， 1 ൅ 1 ， 切点为 1 1 ，斜率为 1 1 ， 故函数 图象在 1 处的切线方程为 1 r ； Ⅱ 不妨设 1 ， 函数 ln 在区间 1 上是增函数， 1 ， 函数 图象的对称轴为 ， 当 时，函数 在区间 1 上是减函数， 1 ， 1 1 ，等价于 1 ൅ 1 ൅ ， 等价于 ൅ ln ൅ 1 在区间 1 上是增函数， 第 n 页，共 15 页 等价于 1 ൅ r 在区间 1 上恒成立， 等价于 ൅ 1 在区间 1 上恒成立 又 ， ． 【解析】 1. 【分析】 本题考查复数的运算，考查复数的几何意义． 先化简复数，再得出复数 z 在复平面内对应点的坐标，即可得出结论． 【解答】 解：  1  1൅ 1 1൅  1 ， 复数 z 对应复平面上的点为 11 ，在第二象限， 故选 B． 2. 【分析】本题主要考查类比推理，属于基础题． 由球心 O 到四个面的距离都是 R，可得四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面 为底面的 4 个三棱锥体积的和，即可求解； 【解答】解：设四面体的内切球的球心为 O， 则球心 O 到四个面的距离都是 R， 所以四面体的体积等于以 O 为顶点， 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为 1 1 ൅ ൅ ൅ ， 所以 1൅൅൅ ． 故选 C． 3. 【分析】本题考查回归分析的应用，属基础题，难度不大． 根据样本点的横坐标和回归直线方程得出 y 的估计值，根据残差定义 实际值与估计值 的差 计算． 【解答】 第 页，共 15 页 解：把 15 代入 r.n5 n5. ，得 r.n5 15 n5. 5.55 ，所以在样本 点 155 处的残差 5 5.55 .5 ． 故选 B． 4. 【分析】 本题主要考查导数的几何意义，即某一点的导数值等于该点切线的斜率，考查运算求解 能力，属于基础题． 先求出原函数的导数，根据切线的斜率求出 a 的值，再利用切点即在曲线上又在切线上， 求出 b． 【解答】 解：因为曲线 ൅ ൅ ， 所以 ൅ ， 所以 r ， 当 r 时， 1 所以 1 ， 故选 A． 5. 【分析】 本题主要考查定积分的基本运算，几何概型问题 . 通过定积分求出阴影部分面积比上正 方形的面积可得． 【解答】 解：设点 P 恰好取自阴影部分为事件 A． ， ， 故概率 ． 故选 C． 6. 【分析】本题考查离散型随机变量的方差，属于基础题． 利用离散型随机变量的方差的计算公式即可求解． 【解答】解：因为 元 1 r. ， 所以 元 r.5 1 r. r. ． 则 元 1 r. ൅ r.5 r. ， 第 1r 页，共 15 页 所以 元 1 r. ൅ r.5 r. .5 ． 故选 C． 7. 【分析】本题考查二项式的展开式中二项式系数及展开式中奇数项的知识，属于基 础题． 由 䁨 䁨 ，得到 1r ，再由展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数 和相等求解． 【解答】解： 1 ൅ 的展开式的通项为 ൅1 䁨 ，且有 䁨 䁨 ，因此 1r ． 令 1 ，则 1 ൅ 1r ，即展开式中所有项的二项式系数和为 1r 令 1 ，则 1 ൅ r ，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之 差为 0，因此奇数项的二项式系数和为 1 1r . 故选 D． 8. 【分析】 本题考查了排列组合的综合应用，根据排列组合与分步计数原理求解即可． 【解答】 解：由题意可知老师的位置为中间，老师的身边为一位男生和一位女生，再考虑位置排 序，有 䁨 1 䁨 1 种排法， 剩下的四位学生有 中排法，根据计数原理得排法种数为 䁨 1 䁨 1 ． 故选 D． 9. 解：由题意得 1 ൅ ， 1 ，又因为切线与直线 平行， ， 1 ． 故选：D． 先对函数 求导，然后令 1 处的导数为 2，得出关于 a 的方程求解即可． 本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题． 10. 【分析】 本题考查函数图象的识别，导函数的图象，考查函数的奇偶性，属于基础题． 先由题意求出函数的导函数，再利用奇偶性和特殊值来判断即可． 【解答】 第 11 页，共 15 页 解：由题意， 1 ൅ cos ， 可知， 1 sin ， 则 ，则导函数 为奇函数，故排除 B，D， ，则排除 C． 故选 A． 11. 【分析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量 X 的分布列等基础知识，考查 运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 由离散型随机变量 X 的分布列为 元 1 1 1 ൅1 1 1 5 ，求出 ，从而 元 5 元 ，由此能求出结果． 【解答】 解：由题可知 元 1 1 1 ൅1 1 1 5 ， 则由离散型随机变量分布列的性质可得 元 1 ൅ 元 ൅ ൅ 元 5 1 1 1 1 1 ൅ 1 1 1 1 ൅ ൅ 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ， 解得 ， 故 元 5 元 1 1 1 1 1 ． 故选 A． 12. 【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题 . 构造函数 ln ൅ 1 ，求出导数 可知 的单调性，由题可知 在 r 单调递增，即可求出 a 的范围，得出答案． 【解答】 解：令 ln ൅ 1 ， r ， 第 1 页，共 15 页 则 ln ，令 r ，解得 1 ， 则 r1 时， r ， 单调递增；当 1 ൅ 时， r ， 单调递 减， 对于任意的 r 1 ，都有 ln1 1 ln 1 1 1 ，即 ln1 1 ൅ 1 1 ln ൅ 1 ， 即 在 r 单调递增，所以 r 1 ，即 a 的最大值为 1． 故选：C． 13. 【分析】 本题主要考查样本回归方程及应用，属于基础题． 求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入 线性回归方程求出 m 的值． 【解答】 解： r൅1൅൅ ， ൅൅5.5൅ ൅15.5 ， 这组数据的样本中心点是 ൅15.5 ， 关于 y 与 x 的线性回归方程 .1 ൅ r.n5 ， ൅15.5 .1 ൅ r.n5 ，解得 r.5 ， 的值为 r.5.故答案为 r.5.14. 【分析】 本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题． 根据题意，计算可得 ൅ 1 ，令 1 分析可得 1 ，即可得 ，将 r 代入计算可得答案． 【解答】 解：根据题意， ൅ 1 ， 则 ൅ 1 ， 令 1 ，可得 1 ൅ 1 ，解得 1 ， 则 ， 则 r ， 故答案是 ． 第 1 页，共 15 页 15. 【分析】本题考查分步分类原理的综合应用，首先根据已知分成两大类，然后根据 分步原题逐个分析，最后相加即可，属于基础题． 【解答】解：可分两类： 第一类，大一的孪生兄弟乘坐甲车，则可分三步，第一步，从大二、大三、大四的三个 年级中任选两个年级，有 䁨 种不同的选法 第二步，从所选出的两个年级中各抽取 1 名 同学，有 䁨 1 䁨 1 种不同的选法 第三步，余下的 4 名同学乘乙车，有 䁨 种选法． 根据分步乘法计数原理，得此时乘车方式有 䁨 䁨 1 䁨 1 䁨 种 .第二类，大一的孪生兄弟乘坐乙车，则可分三步，第一步，从大二、大三、大四的三个 年级中任选一个年级 此年级的 2 名同学乘甲车 ，有 䁨 1 种不同的选法 第二步，从余下的 两个年级中各抽取 1 名同学，有 䁨 1 䁨 1 种不同的选法 第三步，余下的 2 名同学乘乙车， 有 䁨 种选法． 根据分步乘法计数原理，得此时的乘车方式有 䁨 1 䁨 1 䁨 1 䁨 种 .根据分类加法计数原理，所求的乘车方式有 䁨 䁨 1 䁨 1 䁨 ൅ 䁨 1 䁨 1 䁨 1 䁨 种 ． 16. 【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问 题，属于中档题． 求出 ሻ ൅ ൅ ， 1 有解，令 ሻ ൅ ൅ ，根据函数的单调性求出 m 的最大值即可． 【解答】 解：由存在 1 ，使得不等式 ሻ ൅ ൅ r 成立， 得： ሻ ൅ ൅ ， 1 有解， 令 ሻ ൅ ൅ ，则 ൅1 ， 故 1 1 时， r ，函数是减函数， 1 时， r ，函数是增函数， 故 1 时， ൅ 1 ， 时， ൅ ൅ ， 又 ൅ 1 ൅ ൅ r ， 故函数 ሻ ൅ ൅ 的最大值是 ൅ 1 ， 1 ൅ ， 第 1 页，共 15 页 故实数 m 的最大值为： 1 ൅ ． 故答案为： 1 ൅ ． 17. 首先利用定积分的应用求出被积函数的原函数，进一步求出曲边形的面积． 本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法及应用，主要考查学生 的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18. 【分析】 本题考查归纳推理，数列的通项公式，属于基础题． 1 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且 每一行的首末两数都等于行数，易得答案； 由题设“三角数阵”可直接得到答案； 通过对前几项的归纳，不难归纳出 ൅1 ൅ ． 【解答】 解： 1 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和， 且每一行的首末两数都等于行数， 故第 6 行的 6 个数依次为 6，16，25，25，16，6； 见答案； 见答案． 19. 本题主要考查独立性检验基本思想的初步运用，以及离散型随机变量的分布列以及 期望． 1 根据男生与女生的人数之比为 111 ，以及总人数 120，可求出男，女生总人数，即 可完成 列联表，并根据独立性检验的基本思想，求出 的观测值，对照临界值表， 即可判断是否有把握 根据 1 可知，男生抽 3 人，女生抽 5 人，则 的可能取值为 0，1，2，3，并且服从 超几何分布，即可利用公式 䁨 䁨5 䁨n r 1，2， ，求出各概率，得到分布 列，求出期望． 20. 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查导数中的恒成立问题，考 查运算能力与逻辑推导能力，属于中档题． Ⅰ 对函数 求导，根据 r 求出 a，进而根据 r 得到函数的增区间， 根据 r 得到函数的减区间即可； Ⅱ 1 恒成立可等价转化为 r 时， 1 ൅ 1 ൅ ሻ r 恒成立，构造 第 15 页，共 15 页 函数 1 ൅ 1 ൅ ሻ ，求出函数的导数，分类讨论参数 a 的范围，求出函 数 的最小值，令其大于等于 0，即可得到 a 的取值范围． 21. 本题考查了频率分布直方图、众数、离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量 的期望，是中档题． 1 由频率分布直方图得众数为 65，由频率和为 1 可得 a； 易知成绩不合格有 3 个，优秀有 4 个，x 可能取值为 0，1，2，3，由超几何分布可 得对应概率，即可得出 x 的分布列和数学期望． 22. 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，属于较难题． Ⅰ 若 1 ，函数 ln 1 ൅ ，其中 r ，则 1 ൅ 1 ，得切点 为 1 1 ，斜率为 1 1 ，再由点斜式求切线方程即可； Ⅱ 由 1 1 恒成立，转化为 1 ൅ 1 ൅ 成立，等价于 ൅ ln ൅ 1 在区间 1 上是增函数，等价于 1 ൅ r 在区间 1 上恒成立，利用基本不等式即可求出结果．