高一数学必修四人教B版
2.2.3用平面向量坐标
表示向量共线条件
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.能根据平面向量的坐标,判断向量是否
共线.
3.掌握三点共线的判断方法.
学习目标
2.向量共线的条件?
平行向量基本定理:
表示此向量的有向线段的
终点坐标减去起点坐标.
1.向量的坐标?
向量 与非零向量 平行(共线),当且仅当
存在唯一实数 , 使得
a
ba
b
复习回顾
a b
a b
观察思考:
(1)写出 与 的坐标,并观察坐标对应成比例吗?
两个向量平行吗?
(2)反之,当向量 与向量 平行时,两向量坐标
之间有什么关系?
1,2 ; 2,4a b
a
1e
2e
b
O x
y
新课引入
平面向量共线的坐标表示
设 1 2( , ),a a a 1 2( , ) 0b b b b
1 2 1 2 1 2( , ) ( , )= ,a a b b b b
ba
有
(1)(2)两式两边分别乘以 2 1b ,b
1 2 1 2
2 1 2 1
a b b b
a b b b
...(3)
...(4)可得
1 1
2 2
a b
a b
...(1)
...(2)即
如果 / /a b ,
平面向量共线的坐标表示
反之也成立。
1 2 2 1 0a b a b (3)-(4)可得
1 2 2 1 0a b a b
两个平面向量共线的坐标表示:
1 2 2 1/ / 0a b a b a b
1 2
1 2
a a
b b
语言表述:
两个向量平行的条件是相应坐标成比例
平面向量共线的条件
此外,当向量 不平行于坐标轴时,
即b1≠0,b2≠0时,有
b
例1. 已知向量 =(2,5)和向量 =(1,y),
并且向量 ,求向量 的纵坐标y。
解:因为
所以 2×y - 5×1=0
解得
5
2y
AB a
∥
题型1.向量共线
典例精析
AB
a
AB a
∥ a
例2. 在直角坐标系xOy内,已知A(-2,-3),
B(0,1),C(2,5), 求证:A、B、C三点共线.
题型2.三点共线
证明: (0,1) ( 2, 3) (2,4)AB
(2,5) ( 2, 3) (4,8)AC
所以 //AB AC
因此A,B,C三点共线.
因为 2×8-4×4 =0
,AB AC
又因为 有公共点A
1.已知 =(-3, 9), =(2, y),且 ,求y.
解:-3y-9×2=0 y =-6
解:3sinα-4 cosα=0
tanα=4 /3
/ /a b
a
b
2.已知 =(3, 4), =(cosα, sinα), 且 ,
求tanα.
a
b
/ /a b
课堂练习
3.已知 =(1, 0), =(2, 1), 当实数k为何
值时,向量 与 平行? 并确定它们
是同向还是反向.
1
3k
因此,两个向量反向.
a
b
ka b +3a b
解:k = k 2a b ( ,1), +3 =a b
(7,3),
k / / +3a b a b 因为( )( ),
所以(k-2)×3-(-1)×7=0
7k = 3a b ( ,1),+3 =a b
(7,3),
1k = +33a b a b ( ) ( ),
1. 向量平行(共线)的表示形式:
1 2 2 1
1 2
1 2
1 2
(1) / / ( 0) ;
(2) / / 0
(3) / / 0 0
a b b a b
a b a b a b
a aa b b b b b
,
小 结
2. 运用向量的坐标形式研究向量
共线及几何中的三点共线问题
(2,3), (5, 4), (7,1
105 2-5
0),
( ),
A B C
AP AB AC R
P
选做题:
已知
若
求 取何值时点 在第
课本 页 题
三象限内
作 业
谢谢,再见!