北师大版九年级上册第二章一元二次方程

一元二次方程 学生姓名 年级 初三 学科 数学 授课教师 上课时 间 年 月 日 第（ ）次课 共（ ）次课 课时：3 课时 教学课题 一元二次方程及其应用 教学目标 1. 掌握一元二次方程的解法 2. 会利用根的判别式判断根的个数 3. 会利用一元二次方程解决实际问题 教学重点 与难点 重点：一元二次方程的解法，根的判别式的应用，一元二次方程的应用 难点：二次方程的解法，根的判别式的应用，根与系数的关系 一、作业检查 作业完成情况：优 良 中 差 二、内容回顾 三、知识整理 知识点一 认识一元二次方程 从方程中，我们可以看出，两个方程都是只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以 转化成 2 0( 0)ax bx c a    （ cba 、、 为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式: 2 0( 0)ax bx c a    例如：x2+5x－1=0 (2)2x2－4x－1=0 【练习】 1．已知关于 x 的一元二次方程 043)2( 22  mxxm 有一个解为 0，则m 的值为（ ） A．2 B． 2 C． 2 D．0 2. 关 于 x 的 方 程 2( 3) 3 2 0m x x    是 一 元 二 次 方 程 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 . 3.若 ( 0)b b  是关于 x 的方程 22 0x cx b   的根，则 2b c 的值为 . 4、关于 x 的方程 2( 1) 2 1 0m x x    是一元二次方程，则m 的取值范围是____________． 5..方程 5(x2－ 2 x+1)=－3 2 x+2 的一般形式是__________，其二次项是________，一 次 项是__________，常数项是__________. 6.下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A．x2+ 2 1 x =0 B．ax2+bx+c=0 C．（x-1）（x+2）=1 D．3x2-2xy-5y2=0 知识点二 四种解法：直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 A、直接开平方法 定义： 一般地，对于形如 )0(x 2  aa 或者 )0()mx 2  aan（ 的方程，根据平方根的定义 直接开平方求解即可。这种方法叫做直接开平方法。这时我们常用 21 x和x 来表示未知数 x 的一元二次方 程的两个根。 【小试牛刀】 解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0. B 配方法 【问题】 要使一块长方形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16 平方米，场地的长和宽各应该是多 少？ 【解答】 设场地的宽为 x 米，长为（x+6）米，根据面积为 16 平方米可得 16)6(x x 即 0166x 2  x 怎样解方程 0166x 2  x 能把该方程转化成 )0()mx 2  aan（ 形式吗？ 定义：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一 元二次方程的方法叫做配方法解一元二次方程。 配方的作用是：把一个一元二次方程化成两个一元一次方程。 总结步骤：①、将方程变为一般形式。 ②、移向，把常数项移到方程的右边。 ③、配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方。（等式的性质） ④、方程左边写成完全平方的形式。 ⑤利用直接开平方的方法求得两根。 C 公式法 用配方法解 2 0( 0)ax bx c a    1、定义：用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。 2、步骤： 3、总结：求根公式： 2 1 2 4, 2 b b acx x a    ( 2 4b ac ≥0 ) 【注意】（1）一定要注意 0a  ，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进； （2）掌握一元二次方程求根公式的推导; （3）主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”. D、因式分解法 知识点三 一元二次方程的根与系数的关系 A 韦达定理:如一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的两根为 1 2,x x ，则 1 2 bx x a    ， 1 2 cx x a   B 根的判别式及应用( 2 4b ac   )： 一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    根的情况： ①当 0  时，方程有两个不相等的实数根； ②当 0  时，方程有两个相等的实数根； ③当 0  时，方程无实数根. C 根与系数的关系(韦达定理)的应用： 【技能提升】 1．关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3 且 m≠2 D．m≤3 且 m≠2 2. 已知：关于 x 的方程 （1）当 m 取什么值时，原方程没有实数根； （2）对 m 选取一个你喜欢的非零整数．．．．，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的 平方和． 3. 若关于 x 的方程 ax2+2（a+2）x+a=0 有实数解，那么实数 a 的取值范围 是 ． 【注意】（1） 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x     （2） 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x     ； 2 1 2 1 2 1 2( ) 4x x x x x x     （3）①方程有两正根，则 1 2 1 2 0 0 0 x x x x         ； ②方程有两负根，则 1 2 1 2 0 0 0 x x x x         ； ③方程有一正一负两根，则 1 2 0 0x x      ； ④方程一根大于1，另一根小于1，则 1 2 0 ( 1)( 1) 0x x       （4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否 非负; 求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以 1 2,x x 为根的一 元二次方程为 2 1 2 1 2( ) 0x x x x x x     ; 求字母系数的值时，需使二次项系数 0a  ，同时满足  ≥0 ; 求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和 1 2x x ， 两根之积 1 2x x 的代数式的形式，整体代入。 5.如何探求应用问题中的等量关系 列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列 出方案呢? (1)要正确熟练地作语言与式子的互化. (2)充分运用题目中所给的条件. (3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系. (4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系. ①利用题目中的关键语句作为相等关系. ②利用公式、定理作为等量关系. ③从生活、生产实际经验中发现等量关系. 【中考考点】①利用一元二次方程的意义解决问题； ②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）； ③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）； ④一元二次方程的解法； ⑤一元二次方程根的近似值； ⑥建立一元二次方程模型解决问题； ⑦利用根的判别式求方程中字母系数的值和利用根与系数关系求代数式的 值； ⑧与一元二次方程相关的探索或说理题； ⑨与其他知识结合，综合解决问题。 【小试牛刀】 1．一元二次方程 03432  baxax 一根是 1，则 7- ba 610  的值为 ． 2. 设 1 2,x x 是 一 元 二 次 方 程 2 0ax bx c   的 两 个 根 ， 则 代 数 式 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0a x x b x x c x x      的值为___________. 考点五、二次方程解应用题 A、面积问题 一面积为 120 2m 的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，苗圃的长和宽各是多少？ B、数的问题 ①一个直角三角形三边长为连续三个偶数，求这个三角形的边长。 ②一个数的平方的 2 倍等于这个数的 7 倍，求这个数。 ③相邻两个数是自然数，它们的平方和比这两个数中较小者的 2 倍大 51，求这两个数。 C. 利润和增长率问题 1.某校去年对实验器材的投资为 2 万元,预计今明两年的投资总额为 12 万元,求该校这两年 在实验器材投资上的平均增长率是多少? 2.某儿童玩具商店将进货价为 30 元的一种玩具以 40 元售出,平均每月能售出 600 个.调查 表明:这种玩具售价每上涨 1 元,其销售量将减少 10 个,为了实现平均每月 12000 元的销售 利润,这种玩具的售价应定为多少?这时进这种玩具多少个? D 行程问题 1. 已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为 7m/s，乙的速度为 3m/s.乙一直向东走， 甲先向南走 10m，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多 远？ 2. 如图，我海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方 向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 恰好位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位 于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航．一艘补给 船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰. （1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？ （2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么 相遇时补给船航行了多少海里？（精确到 0.1 海里） 课堂小测 1．一元二次方程 x2－2x＋m＝0 总有实数根，则 m 应满足的条件是( ) A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≤1 2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ax＋b＝0 有一个非零根－b，则 a－b 的值为( ) A．1 B．－1 C．0 D．－2 3.元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡 132 张,则这个小组 共有（ ）人. A.11 B.12 C.13 D.14 4.容器里装满纯酒精,倒出一半后用水加满,再倒出 25%,再用水加满,此时容器内酒精浓度 为（ ） A.15% B.12.5% C.37.5% D.25% 七、课后作业 1.已知方程 2 22 ( 9) ( 3 4) 0x k x k k      有两个相等的实数根，求k 值，并求出方程的根。 2.已知 , ,a b c 是 ABC 的三条边长，且方程 2 2 2( ) 2 1 0a b x cx    有 两 个相等的实数根，试判断 ABC 的形状。 3. 某西瓜经营户以 2 元/kg 的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/kg 的价格出售，每天可售 出 200kg，为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价 0.1 元/kg， 每天可多售出 40kg。另外，每天的房租等固定成本共 24 元。该经营户要想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？