投影与视图
学生姓名 年级 初三 学科 数学
授课教师 上课时间 年 月 日
第（ ）次课
共（ ）次课
课时：3 课时
教学课题 投影与视图
教学目标
1.了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；
2.了角平行投影和中心投影的区别及性质.
3.了解简单立体图形的三视图的概念
教学重点
与难点
重点：了解简单立体图形的三视图的概念
难点：了解简单立体图形的三视图的概念
一、作业检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□
二、内容回顾
回顾上节课内容。
三、知识整理
四、知识点一、投影
（1） 创设情境
你看过皮影戏吗? 皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术，
在关中地区很为流行。皮影戏演出简便，表演领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深
受农民的欢迎。
（2）你知道吗
北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影
测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷
针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面
上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻．
问题：那什么是投影呢？
1、投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影。
照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
平行投影的定义：有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中
的光线(如图).由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子
(简称日影)就是平行投影.
平行投影的特点：A、在同一时刻，不同物体的高度和影长成比例；
B、在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行。
中心投影的定义：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体
在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.
中心投影的特点：A、等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离光源近的物体影子
短，离光源远的物体影子长。
B、等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离光源点越近，影
子越长；离光源点越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短。
正投影
定义：平行投影线垂直于投影面的称为正投影。
平行投影线倾斜于投影面的称为斜投影。
在平行投影下，线段和平面图形的投影与图形本身、投影面、投射线之间的相对位置
有什么关系？
（1）观察在太阳光线下，木杆和三角形纸板在地面的投影。
（2）不断改变木杆和三角形纸板的位置，什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的
影子是一条线段？当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置？三角形纸板
在什么位置时，它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？
（3）由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体
的影子也就有明显的差别。如图 4-14，当线段 AB 与投影面平行时，AB 的中心投影 A‘B’
把线段 AB 放大了，且 AB∥A’B‘，△OAB～ OA‘B’.又如图 4-15，当△ABC 所在的平面
与投影面平行时， △ABC 的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC 放大了，从△ABC 到
△A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换。
（4）请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？
平行投影与中心投影的区别与联系
区别
联系
光线
物体与投影面平
行时的投影
平行投影 平行的投射线 全等 都是物体在光线的
照射下，在某个平面
内形成的影子。(即都
是投影)中心投影
从一点出发的
投射线
放大(位似变换)
下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影?图(2)
(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?
解：结论:图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影;图(2) (3)中，投影线互相平行，形成
平行投影;图(2)中，投影线斜着照射投影面;图(3)中投影线垂直照射投影面〔即投影线正对
着投影面).
在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
例 1、如图，把一根直的细铁丝(记为安线段 AB)放在三个不同位置:
（1）铁丝平行于投影面;
（2）铁丝倾斜于投影面，
（3）铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状
例 2、地面上直立一根标杆 AB 如图，杆长为 2cm。
①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
②当阳光与地面的倾斜角为 60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？并画出投影示意
图；
例 3、一个正方形纸板 ABCD 和投影面平行（如图），投射线和投影面垂直，点 C 在投影
面的对应点为 C’，请画出正方形纸板的投影示意图。
变式训练
1. 平行投影中光线是（ ）
A.平行的 B.聚成一点的 C.不平行的 D.向四面八方发散的
2. 木棒长为 1.2m，则它的正投影的长一定（ ）
A.大于 1.2m B.小于 1.2m C.等于 1.2m D.小于或等于 1.2m
3. 如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按一天中时间先后顺序排列，正确的
是
A.①②③④ B.④①③② C.④②③① D.④③②①
4. 圆形餐桌正上方有一个灯泡 A，灯泡 A 照射到餐桌后在地面上形成阴影.已知餐桌的半
径为 0.4m、高为 1m，灯泡距地面 2.5m,求地面上阴影部分的面积.
5、下列命题正确的是（ ）
A．三视图是中心投影 B．小华观察牡丹花，牡丹花就是视点
C．球的三视图均是半径相等的圆 D．阳光从矩形窗子里照射到地面上得到的光区仍是
矩形
6、平行投影中的光线是（ ）
A．平行的 B．聚成一点的
C．不平行的 D．向四面八方发散的
7、在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，但看到它们的影长相等，那么这两
根竿子的相对位置是（ ）
A．两竿都垂直于地面 B．两竿平行斜插在地上
C．两根竿子不平行 D．两根都倒在地面上
8、在同一时刻，身高 1.6m 的小强的影长是 1.2m，旗杆的影长是 15m，则旗杆高为（ ）
A．16m B．18m C．20m D．22m
9、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践：
根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图；
测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7 米的点 E 处，然后沿着直线 BE 后退到点 D，这是恰
好在镜子里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE=2.7 米，观察者目高 CD=1.6 米。请你计算
树（AB）的高度．（精确到 0.1 米）
10、为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少为 40 米，中午 12
时不能挡光．如图，某旧楼的一楼窗台高 1 米，要在此楼正南方 40 米处再建一幢新楼．已
知该地区冬天中午 12 时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为 30°，在不违
反规定的情况下，请问新建楼房最高多少米？
知识点二、简单物体的三视图
物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状
和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影。
如图 (1)，我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的叫做正面，正
面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面，一个物体(例如一个长方体)在三个投影面内同时
进行正投影。
在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。
在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。
在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图。
如图(2)，将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的一张三视图(由主视图，俯
视图和左视图组成).三视图中的各视图，分别从不同方面表示物体，三者合起来就能够较
全面地反映物体的形状.
三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视
图与左视图表示同一物体的高，左视图与俯视图表示同
一物体的宽，因此三个视图的大小是互相联系的.画三视
图时.三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视
图的长对正，主视图与左视图的高平齐.左视图与俯视图
的宽相等。
通过以上的学习，你有什么发现？
物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正
投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影
就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图。
例题
例 1、画出下图 2 所示的一些基本几何体的三视图.
分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为:
1.确定主视图的位置，画出主视图;
2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。
3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
解：
例2、你能画出下图1中几何体的三视图吗 小明画出了它们的三种视图(图2),他画的对吗 请
你判断一下.
例 3、画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图.
分析:支架的形状，由两个大小不等的长方体构成的组合体.画三视图时要注意这两个长方
体的上下、前后位置关系.
例 4、上图是一根钢管的直观图，画出它的三视图
分析.钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见
内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图时规定;
看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那分遮挡
而看不见部分的轮廓线画成虚线.
例 5、根据下面的三视图说出立体图形的名称.
分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前
面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形，
解:(1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是长方体，如图(1)所示;
(2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:
整体是圆锥，如图(2)所示.
例 6、根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状.
分析.由主视图可知，物体正面是正五边形，由俯视图可
知，由上向下看物体是矩形的，且有一条棱(中间的实线)
可见到。两条棱(虚线)被遮挡，由左视图知,物体的侧面
是矩形的.且有一条棱〔中间的实线)可见到,
综合各视图可知，物体是五棱柱形状的.
解:物体是五棱柱形状的，如下图所示.
变式训练
1. 一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有
________个碟子。
2. 选择题
（1）圆柱对应的主视图是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
（2）某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（ ）。
（A）长方体 （B）圆柱 （C）圆锥 （D）球
（3）下面是空心圆柱在指定方向上的视图，正确的是…（ ）
（4）一个四棱柱的俯视图如右图所示，则这个四棱柱的主视图和左视图可能是（ ）
（5）主视图、左视图、俯视图都是圆的几何体是（ ）。
（A）圆锥（B）圆柱 （C）球 （D）空心圆柱
3. 解答题
（1）根据要求画出下列立体图形的视图。
（画左视图） （画俯视图） （画正视图）
（2）画出右方实物的三视图。
（3）如图是一个物体的三视图，请画出物体的形状。
（4）根据下面三视图建造的建筑物是什么样子的？共有几层？一共需要多少个小正方体。
课堂练习
2．如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是 ( )
A.矩形． B.两条线段.
C.等腰梯形． D.圆环．
3．如图摆放的几何体的左视图是 ( )
4.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下( )
A.小明的影子比小强的影子长． B.小明的影子比小强的影子短．
C.小明的影子和小强的影子一样长． D.无法判断谁的影子长．
5．“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是 ( )
6．下列左边的主视图和俯视图对应右边的哪个物体 ( )
7．小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子( )
A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法确定
8．在一个晴朗的好天气里，小颖在向正北方向走路时，发现自己的身影向左偏，你知道
小颖当时所处的时间是( )
A.上午 B.中午 C.下午 D.无法确定．
9.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正
确的是 ( )
A.①②③④ B.④①③② C.④②③① D.④③②①
10．如图是“马头牌”冰激凌模型图，它的三视图是 ( )
11．右图是基本几何体的三视图，该基本几何体为 ．
12．皮影戏中的皮影是由投影得到的 ．
13．为测量旗杆的高度我们取一米杆直立在阳光下，其长为 1.5 米，在
同一时刻测得旗杆的影长为 10．5 米.旗杆的高度是 ．
14．圆锥底面展开后是 ,侧面展开后是 .
15．画出实物图(如图，上部分是长方体，下部是空心圆柱)的三视图．
17.与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树。晚上，幕墙反
射路灯灯光形成了那盆花的影子(如图所示)，树影是路灯灯光形成的。请你确定此时路灯
光源 的位置．
18.要制作一个如图所示(图中阴影部分为底与盖,且 SⅠ=SⅡ)的钢盒子,在钢片的四个角上分
别截去两个相同的正方形与两个相同的小长方形,然后折合起来既可,求有盖盒子的高 x.
课后作业
1. 如图是某物体的三种视图，请描述这个物体的形状，并画出其图形。
2. 用小立方块搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图所示,这样的几何体只有一种
吗?它最少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块?
主视图 俯视图
3. 如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，求它的全面积。
主视图
2cm
3cm
左视图
俯视图
4. 下图是某几何体的展开图。
（1）这个几何体的名称是 ；
（2）画出这个几何体的三视图；
（3）求这个几何体的体积。（ 取 3.14）
5.（1）一木杆按如图 1 所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线
段 CD 表示）；
（2）图 2 是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点 P 表示），
并在图中画出人在此光源下的影子。（用线段 EF 表示）。
6. 如图电线杆上有一盏路灯 O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路一侧的一
直线上，AB、CD、EF 是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是 2 m，已知 AB、CD
在灯光下的影长分别为 BM = 1. 6 m，DN = 0. 6m。
（1）请画出路灯 O 的位置和标杆 EF 在路灯灯光下的影子。
（2）求标杆 EF 的影长。
20
10
太阳光线
木杆
图 1 图 2
A
B
A
B
7、已知，如图，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻 AB 在阳光下
的投影 BC=3m．
（1）请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影；
（2）在测量 AB 的投影时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 6m，请你计算 DE 的长．
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