浙江省绍兴市上虞区2021届高三数学5月第二次质量检测试题（Word版附答案）

绍兴市上虞区 2020 学年第二学期高三第二次教学质量调测 参考公式： 球的表面积公式 24S R ；球的体积公式 34 3V R ，其中 R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合  2log 1A x x  ，  1,0,1,2B   ，则 A B  （ ） A.  1 B.  1,0 C.  1,0,1 D. { }1,0,1,2- 2. 若实数 x ， y 满足约束条件 1 0 2 0 x x y x y         ，则 2z x y  的最小值为（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D. 1 3. 设i 为虚数单位，则  31 2 i  （ ） A. 1 i B. 1 i C. 1 i  D. 1 i  4. “ 3r  ”是“圆 2 2 1x y  与圆  2 2 24x y r  ”相切的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数   2 2 sin1 2 x xf x x       的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. 2 3 3 B. 2 3 C. 8 3 3 D. 10 3 3 7. 已知双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左右焦点为 1F ， 2F ，以 1 2F F 为直径的圆与双 曲线在第一象限的交点为 A ，直线 1AF 与双曲线的左支交于点 B ，且 2AB AF ，设双曲线 的离心率为 e ，则 2e  （ ） A. 3 3 2 B. 3 2 2 C. 5 3 2 D. 5 2 2 8. 已知函数   3 2f x x bx cx d    ，且  2019 2019f  ，  2020 2020f  ，  2021 2021f  ，则  2022f  （ ） A. 2028 B. 2026 C. 2024 D. 2022 9. 如图， PC  平面 ，斜线 PO 在平面 内的射影 CO， AB 是平面 内过点O 的直线， 若 POA 是钝角，则（ ） A. POB POC   B. POA AOC   C. POC BOC   D. POC PBC   10. 已知函数  f x 及其导数  f x 满足      0 xexf x f x xx     ，  2 2 ef  ，对满足 4ab e  的任意正数 a ，b 都有   2 2 1 12xf a b   ，则 x 的取值范围是（ ） A.  0,1 B.  1,2 C.  ,1 D.  1, 第Ⅱ卷（非选择题共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分. 11. 数列 na 中， 1 3a  ，   1 11 2n n a na     ，则 2021a  ______. 12. 已知直线 1l ： 2 2 0ax y   与直线 2l ：  1 2 0x a y    平行，则 a ______，直线 1l ， 2l 之间的距离为______. 13. 若  5 5 6 0 1 5 62 2 1x x a a x a x a x      ，则 0a  ______， 5a  ______. 14. 已知随机变量 X 的分布如下表，则  1P X   ______，  2 1E X   ______. X 0 1 2 P a 2 1a  1 4 15. 在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，已知 2 2cos 3A  ， 5sin cos3B C ， 则 tan C  ______，若 2c  ，则 ABC 的面积为______. 16. 设 x 表示不超过实数 x 的最大整数，则函数      sin cos cos sinf x x x  的最小值为 ______. 17. 已知平面向量 ,a b   ，是单位向量，且 2 2a b     ，平面向量 c  满足 2 2 2c a c b         ，则 c c a      的最小值为______. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 18. 已知函数    sin 0, 0, 2f x A x A            在一个周期内的图象如图所示. （1）求  f x 的解析式； （2）将函数  y f x 的图象向右平移 6  个单位长度后，得到函数  y g x 的图象，求  g x 在 0, 上的单调递增区间. 19. 已知三棱锥 P ABC ， ABC 是等腰直角三角形， PAC△ 是等边三角形，且 2AB AC  ， BE EC ， 90PCB   . （Ⅰ）求证： PE AC ； （Ⅱ）求直线 PC 与平面 PAE 所成角的正弦. 20. 设正项数列 na 前 n 项和为 nS ，满足  *4 1 1n nS a n N    ，等比数列 nb 满足 2 2b a ， 3 4b a . （1）求数列 na 、 nb 的通项公式； （2）设 nb 前 n 项和为 nT ，记  * 1 2 n n n n ac n N T b    ，证明： 1 2 22 2n n nc c c      . 21. 已知椭圆 1C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率为 6 3 ，长轴长为 2 3 ，抛物线 2C ：  2 2 0x py p  ，点 P 是椭圆 1C 上的动点，点 Q 是抛物线 2C 准线上的动点. （Ⅰ）求椭圆 1C 的方程； （Ⅱ）已知OP OQ （O 为坐标原点），且点O 到直线 PQ 的距离为常数，求 p 的值. 22. 设函数    2 2 3xf x e ax x   ， xR . （1）若 0a  ，求函数  f x 的最大值； （2）若   3f x x  恒成立，求实数 a 的取值范围. 绍兴市上虞区 2020 学年第二学期高三第二次教学质量调测 答案版 参考公式： 球的表面积公式 24S R ；球的体积公式 34 3V R ，其中 R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合  2log 1A x x  ，  1,0,1,2B   ，则 A B  （ ） A.  1 B.  1,0 C.  1,0,1 D. { }1,0,1,2- 【答案】A 2. 若实数 x ， y 满足约束条件 1 0 2 0 x x y x y         ，则 2z x y  的最小值为（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D. 1 【答案】D 3. 设i 为虚数单位，则  31 2 i  （ ） A. 1 i B. 1 i C. 1 i  D. 1 i  【答案】C 4. “ 3r  ”是“圆 2 2 1x y  与圆  2 2 24x y r  ”相切的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 5. 函数   2 2 sin1 2 x xf x x       的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. 2 3 3 B. 2 3 C. 8 3 3 D. 10 3 3 【答案】D 7. 已知双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左右焦点为 1F ， 2F ，以 1 2F F 为直径的圆与双 曲线在第一象限的交点为 A ，直线 1AF 与双曲线的左支交于点 B ，且 2AB AF ，设双曲线 的离心率为 e ，则 2e  （ ） A. 3 3 2 B. 3 2 2 C. 5 3 2 D. 5 2 2 【答案】D 8. 已知函数   3 2f x x bx cx d    ，且  2019 2019f  ，  2020 2020f  ，  2021 2021f  ，则  2022f  （ ） A. 2028 B. 2026 C. 2024 D. 2022 【答案】A 9. 如图， PC  平面 ，斜线 PO 在平面 内的射影 CO， AB 是平面 内过点O 的直线， 若 POA 是钝角，则（ ） A. POB POC   B. POA AOC   C. POC BOC   D. POC PBC   【答案】B 10. 已知函数  f x 及其导数  f x 满足      0 xexf x f x xx     ，  2 2 ef  ，对满足 4ab e  的任意正数 a ，b 都有   2 2 1 12xf a b   ，则 x 的取值范围是（ ） A.  0,1 B.  1,2 C.  ,1 D.  1, 【答案】C 第Ⅱ卷（非选择题共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分. 11. 数列 na 中， 1 3a  ，   1 11 2n n a na     ，则 2021a  ______. 【答案】 2 3 12. 已知直线 1l ： 2 2 0ax y   与直线 2l ：  1 2 0x a y    平行，则 a ______，直线 1l ， 2l 之间的距离为______. 【答案】 (1). 2 (2). 3 2 2 13. 若  5 5 6 0 1 5 62 2 1x x a a x a x a x      ，则 0a  ______， 5a  ______. 【答案】 (1). 2 (2). 16 14. 已知随机变量 X 的分布如下表，则  1P X   ______，  2 1E X   ______. X 0 1 2 P a 2 1a  1 4 【答案】 (1). 1 6 (2). 7 3 15. 在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，已知 2 2cos 3A  ， 5sin cos3B C ， 则 tan C  ______，若 2c  ，则 ABC 的面积为______. 【答案】 (1). 2 (2). 5 2 18 ； 16. 设 x 表示不超过实数 x 的最大整数，则函数      sin cos cos sinf x x x  的最小值为 ______. 【答案】 cos1 sin1 17. 已知平面向量 ,a b   ，是单位向量，且 2 2a b     ，平面向量 c  满足 2 2 2c a c b         ，则 c c a      的最小值为______. 【答案】 5 . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 18. 已知函数    sin 0, 0, 2f x A x A            在一个周期内的图象如图所示. （1）求  f x 的解析式； （2）将函数  y f x 的图象向右平移 6  个单位长度后，得到函数  y g x 的图象，求  g x 在 0, 上的单调递增区间. 【答案】（1）   2sin 2 6f x x      ；（2） 0, 3      、 5 ,6       . 19. 已知三棱锥 P ABC ， ABC 是等腰直角三角形， PAC△ 是等边三角形，且 2AB AC  ， BE EC ， 90PCB   . （Ⅰ）求证： PE AC ； （Ⅱ）求直线 PC 与平面 PAE 所成角的正弦. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 1 2 . 20. 设正项数列 na 前 n 项和为 nS ，满足  *4 1 1n nS a n N    ，等比数列 nb 满足 2 2b a ， 3 4b a . （1）求数列 na 、 nb 的通项公式； （2）设 nb 前 n 项和为 nT ，记  * 1 2 n n n n ac n N T b    ，证明： 1 2 22 2n n nc c c      . 【答案】（1） 2na n ， 2n nb  ；（2）证明见解析. 21. 已知椭圆 1C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率为 6 3 ，长轴长为 2 3 ，抛物线 2C ：  2 2 0x py p  ，点 P 是椭圆 1C 上的动点，点 Q 是抛物线 2C 准线上的动点. （Ⅰ）求椭圆 1C 的方程； （Ⅱ）已知OP OQ （O 为坐标原点），且点O 到直线 PQ 的距离为常数，求 p 的值. 【答案】（Ⅰ） 2 2 13 x y  ；（Ⅱ） 6p  . 22. 设函数    2 2 3xf x e ax x   ， xR . （1）若 0a  ，求函数  f x 的最大值； （2）若   3f x x  恒成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） 2 e ；（2） 1 2a  .