理科数学-考场仿真演练卷(全国Ⅲ卷)02(A3考试版+全解全析)
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理科数学-考场仿真演练卷(全国Ⅲ卷)02(A3考试版+全解全析)

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资料简介
理科数学试题 第 1页(共 18页) 理科数学试题 第 2页(共 18页) … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考 号 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 绝密★启用前 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷(全国Ⅲ卷)02 理科数学 (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.已知复数 1z 、 2z 在复平面内对应的点分别为 )11( , 、 )10( , ,则 2 1 z z 的共轭复数为( )。 A、 i1 B、 i1 C、 i1 D、 i1 2.已知 p : }01 2|{   x xxAx , q : }0|{  axxBx ,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取 值范围是( )。 A、 )1( , B、 ]1( , C、 )2[ , D、 )2( , 3. 2020 年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题,突出时代性、人民性、创新性,节目内容丰 高多彩,呈现形式新颖多样。某小区的 5 个家庭买了8 张连号的门票,其中甲家庭需要 3 张连号的门票,乙 家庭需要 2 张连号的门票,剩余的 3 张随机分到剩余的 3 个家庭即可,则这8 张门票不同的分配方法的种数 为( )。 A、 48 B、 72 C、108 D、120 4.已知定义域为 R 的奇函数 )(xf 满足: 0)()3(  xfxf ,且当 )02 3( ,x 时, 1 12)( 2   x xxf ,则 )2021(f ( )。 A、 2 1 B、 2 1 C、1 D、 2020 5.运行如右图所示的程序框图,则输出的 k 的值为( )。 A、11 B、12 C、13 D、14 6.一套重要资料锁在一个保险柜中,现有 n 把钥匙依次分给 n 名学生依次开柜,但其中只有一把真的可以打 开柜门,平均来说打开柜门需要试开的次数为( )。 A、1 B、 2 1n C、 2 1n D、 n 7.已知函数 )(xf 的部分图像如图所示,则该函数的解析式可能是( )。 A、 xxxf ln)(  B、 xexxf )( C、 x xxf ln)(  D、 x exf x )( 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )。 A、 2 B、 4 C、 3 16 D、 3 22 9. 32 )1( xx  的展开式中的常数项为 a ,则直线 axy  与曲线 2xy  围成图形的面积为( )。 A、 2 3 B、 8 27 C、 4 27 D、 2 9 10.已知 02ln 111  yxx , 02ln242 22  yx ,记 2 21 2 21 )()( yyxxM  ,则 M 的最小值为( )。 A、 5 2 B、 5 4 C、 5 8 D、 5 12 11.现有一批大小不同的球体原材料,某工厂要加工出一个四棱锥零件,要求零件底面 ABCD 为正方形, 2AB ,侧面 PAD 为等边三角形,线段 BC 的中点为 E ,若 1PE ,则所需球体原材料的最小体积为( )。 A、 3 28  B、 3 28 C、 9 D、 3 314  12.如图所示,半径为 2 的半圆有一内接梯形 ABCD ,它的下底 AB 为圆 O 的直径,上底 CD 的端点在圆周 上,若双曲线以 A 、 B 为焦点,且过 C 、 D 两点,则当梯形 ABCD 周长最大时,双曲线的实轴长为( )。 A、 33 B、 232  C、 233  D、 133  第Ⅱ卷 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 )(xf 和 )2( xf 都是奇函数,定义域为 R ,当 )20( ,x 时, xxxf  sin)( ,则  )13()21( ff 。 14.如图所示,在 ABC 中, BCBD 3 1 ,点 E 在线段 AD 上移动(不含端点),若 ACABAE  ,则   , 2 的最小值是 。 15.已知点 )( yxP , 是直线 l : 04  ykx ( 0k )上的动点,过点 P 作圆 C : 0222  yyx 的切线 PA, 理科数学试题 第 3页(共 18页) 理科数学试题 第 4页(共 18页) … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … A 为切点。若 || PA 最小为 2 时,圆 M : 022  myyx 与圆 C 外切,且与直线 l 相切,则 m 的值为 。 16.在数列 }{ na 中, 41 a 、 62 a ,且当 2n 时, 941  nn aa ,则 na ;若 nT 是数列 }{ nb 的前 n项和, 1 )3(9   nn n n aa ab ,则当 )8 7)(3(5 1 nn Ta   为整数时 n 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 中国探月工程自 2004 年立项以来,聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标,创造了许多项 中国首次。2020 年12 月1日凌晨,嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球,又首次实现了我国地外天体无人采 样返回,为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度,从该校高三学生中随机抽取了100 名学生进行 调查,调查样本中有 40 名女生。下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示关注“嫦娥五号” 的部分) 关注 没关注 合计 男 女 合计 附: ))()()(( )( 2 2 dbdccaba bcadnK   ,其中 dcban  )( 0 2 kKP  150.0 100.0 050.0 010.0 005.0 0k 072.2 706.2 841.3 635.6 879.7 (1)完成上面的 22 列联表,并计算回答是否有 %95 的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”? (2)若将频率视为概率,现从该中学高三的女生中随机抽 3 人,记被抽取的 3 名女生中对“嫦娥五号”新闻关 注的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列及数学期望。 18.(本小题满分 12 分) 在 ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知边 2c ,且 CBaAa sin2sinsin  Bb sin 。 (1)若 AABC 2sin)sin(sin  ,求 ABC 的面积; (2)记 AB 边的中点为 M ,求 || CM 的最大值,并说明理由。 19.(本小题满分 12 分) 如图 1,在直角三角形 ABC 中, C 为直角, 30A , D 在 AC 上,且 3 DCDA ,作 ABDE  于 点 E ,将 ADE 沿直线 DE 折起到 PDE 所处的位置,连接 PB 、 PC ,如图 2。 (1)若平面 PDE 平面 BCDE ,求证: PDBE  ; (2)若二面角 ADEP  为锐角, 且二面角 EBCP  的正切值为 9 62 ,求 PB 的长。 20.(本小题满分 12 分) 设函数 xaxxf ln)(  ,其中 Ra  ,曲线 )(xfy  在点( )1(1 f, )处的切线经过点 )23( , 。 (1)求函数 xaxxf ln)(  的极值; (2)证明: ee xxf x 2)(  。 21.(本小题满分 12 分) 如图所示, 1F 、 2F 分别是椭圆C : 12 2 2 2  b y a x ( 0 ba )的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上。当 21PFF 最大 时, 5 3cos 21  PFF 且 2212  FFPF 。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 2PF 与椭圆 C 的另一交点为 Q ,过 1F 作直线 PQ 的垂线 l , l 与圆 222 byx  交于 A 、 B 两点, 求四边形 APBQ 面积的最大值。 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目 计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为      sin cos ty tx (t 为参数且 0t , )20(  , ),曲线 2C 的参数 方程为      sin1 cos y x ( 为参数且 )22(  , ),以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 3C 的 极坐标方程为  cos1 ( )20(  , ),曲线 4C 的极坐标方程为 1cos  。 (1)求 3C 与 4C 的交点到极点的距离; (2)设 1C 与 2C 交于 P 点, 1C 与 3C 交于 Q 点,当  在 )20( , 上变化时,求 |||| OQOP  的最大值。 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a 、 b 大于 0 ,设 abx  , 2 22 bay  。求证: (1) abxy  ; (2) bayx  。 理科数学试题 第 5页(共 18页) 理科数学试题 第 6页(共 18页) … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考 号 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷(全国Ⅲ卷)02 理科数学·全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B D A C C C A D B A B 1.已知复数 1z 、 2z 在复平面内对应的点分别为 )11( , 、 )10( , ,则 2 1 z z 的共轭复数为( )。 A、 i1 B、 i1 C、 i1 D、 i1 【答案】A 【解析】由题意可知 iz 11 , iz 2 ,则 ii i z z  11 2 1 ,故选 A。 2.已知 p : }01 2|{   x xxAx , q : }0|{  axxBx ,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取 值范围是( )。 A、 )1( , B、 ]1( , C、 )2[ , D、 )2( , 【答案】B 【解析】由题意可知 )2[)1(  ,,A , )( aB , ,若 p 是 q 的必要不充分条件,则 A  B , 则 1a ,故选 B。 3. 2020 年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题,突出时代性、人民性、创新性,节目内容丰 高多彩,呈现形式新颖多样。某小区的 5 个家庭买了8 张连号的门票,其中甲家庭需要 3 张连号的门票,乙 家庭需要 2 张连号的门票,剩余的 3 张随机分到剩余的 3 个家庭即可,则这8 张门票不同的分配方法的种数 为( )。 A、 48 B、 72 C、108 D、120 【答案】D 【解析】若甲、乙 2 个家庭的 5 张票连号,则有 484 4 1 2 CC 种不同的分配方法, 若甲、乙 2 个家庭的 5 张票不连号,则有 722 4 3 3  AA 种不同的分配方法, 综上,这8 张门票共有 1207248  种不同的分配方法,故选 D。 4.已知定义域为 R 的奇函数 )(xf 满足: 0)()3(  xfxf ,且当 )02 3( ,x 时, 1 12)( 2   x xxf ,则 )2021(f ( )。 A、 2 1 B、 2 1 C、1 D、 2020 【答案】A 【解析】∵函数 )(xf 为奇函数,∴ )()( xfxf  ,∴ )3()3(  xfxf , 又 0)()3(  xfxf 得 )3()3()(  xfxfxf , 即 )()3( xfxf  ,∴ )(xf 的周期为 3T , ∴ )1()2()26733()2021(  ffff , 又当 )02 3( ,x 时, 1 12)( 2   x xxf ,∴ 2 1)1( f ,∴ 2 1)2021( f ,故选 A。 5.运行如右图所示的程序框图,则输出的 k 的值为( )。 A、11 B、12 C、13 D、14 【答案】C 【解析】由算法框图可知, S 是首项为1,公比为 2 的等比数列的前 n项和, 即 12222 110   kkS , ∵ 12)12(log 12 2  , 12)2(log)12(log 12 2 13 2  , 13k ,故选 C。 6.一套重要资料锁在一个保险柜中,现有 n把钥匙依次分给 n名学生依次开柜,但其中只有一把真的可以打 开柜门,平均来说打开柜门需要试开的次数为( )。 A、1 B、 2 1n C、 2 1n D、 n 【答案】C 理科数学试题 第 7页(共 18页) 理科数学试题 第 8页(共 18页) … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 【解析】已知每一位学生打开柜门的概率为 n 1 , 所打开柜门次数的平均数(即数学期望)为 2 11...1211  n nnnn ,故选 C。 7.已知函数 )(xf 的部分图像如图所示,则该函数的解析式可能是( )。 A、 xxxf ln)(  B、 xexxf )( C、 x xxf ln)(  D、 x exf x )( 【答案】C 【解析】A 选项, 1ln)(  xxf ,当 )10( e , 时 )(xf 递减,不符合, B 选项, xexxf  )1()( ,当 )1(  , 时 )(xf 递增,不符合, C 选项, 2 ln1)( x xxf  ,当 )0( e, 时 )(xf 递增,当 )( ,e 时 )(xf 递减,符合, D 选项, 2 )1()( x xexf x  ,当 )10( , 时 )(xf 递减,不符合, 故选 C。 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )。 A、 2 B、 4 C、 3 16 D、 3 22 【答案】A 【解析】根据几何体的三祝图可知,还原到正方体如图, 该几何体是底面为直角形(上底是下底是 2 ,高是 2 ),高为 2 的四棱推 ABCDP  , ∴该几何体的体积 222)21(2 1 3 1 V ,故选 A。 9. 32 )1( xx  的展开式中的常数项为 a ,则直线 axy  与曲线 2xy  围成图形的面积为( )。 A、 2 3 B、 8 27 C、 4 27 D、 2 9 【答案】D 【解析】 32 )1( xx  的展开式的通项公式为: 33 3 23 31 )()1(    rrrrr r xCxxCT , 由 1r 得常数项为 301 3  xC ,∴ 3a , 直线 axy  与曲线 2xy  围成图形的面积等于: AOB 的面积减去曲线 2xy  与 AB 、 x 轴围成图形的面积(如图), 由      2 3 xy xy 得 )93( ,A , 由定积分的意义得所求面积为: 2 933 1 2 27932 1 33 0 2   dxxS ,故选 D。 10.已知 02ln 111  yxx , 02ln242 22  yx ,记 2 21 2 21 )()( yyxxM  ,则 M 的最小值为( )。 A、 5 2 B、 5 4 C、 5 8 D、 5 12 【答案】B 【解析】设 )( 11 yxA , 、 )( 22 yxB , ,点 A在函数 2ln  xxy 上,点 B 在直线 02ln242  yx 上, ∴ M 的最小值为函数 2ln  xxy 上的点到 直线 02ln242  yx 的距离的最小值的平方, 函数 2ln  xxy 的导数为 11  xy , 与直线 02ln242  yx 平行的直线的斜率为 2 1 , 令 2 111  xy ,解得 2x ,∴切点的坐标为 )2ln2( , , ∴切点到直线 02ln242  yx 的距离 5 2 21 |2ln242ln22| 22   d , ∴ 5 42  dM ,故选 B。 理科数学试题 第 9页(共 18页) 理科数学试题 第 10页(共 18页) … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考 号 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 11.现有一批大小不同的球体原材料,某工厂要加工出一个四棱锥零件,要求零件底面 ABCD 为正方形, 2AB ,侧面 PAD 为等边三角形,线段 BC 的中点为 E ,若 1PE ,则所需球体原材料的最小体积为( )。 A、 3 28  B、 3 28 C、 9 D、 3 314  【答案】A 【解析】如图所示,设 F 为 AD 中点,G 为正方形 ABCD 中心, 连 EF 、 AC , GACEF  , 设四棱锥的外接球的球心为 O ,半径为 r , 则球心 O 一定在过点G 且垂直于底面 ABCD 的垂线上, ∴ EFOG  , 1 FGEG ,∵ PAD 是边长为 2 的等边三角形,∴ 3PF , 又 1PE 、 2 ABEF ,∴ PEPF  ,∴ 60PEF ,又 1 CEBEPE , ∴ E 为 PBC 外心,则球心 O 一定在过点 E 且垂直于侧面 PBC 的垂线上, ∴ PEOE  ,∴ 30OEG ,∴ 3 3 3 3  EGOG , 又∵ 22 1  ACAG ,∴ 3 21 3 1222  OGAGAOr , 此时球心 O 在四棱锥 ABCDP  外,不是最小球,浪费材料, 可把底面 ABCD 的外心 G 看做最小球的球心,此时的球不是四棱锥 ABCDP  的外接球, 但这时候原材料最省,最小球的半径 2 AGR , 3 28 3 4 3  RV球 ,故选 A。 12.如图所示,半径为 2 的半圆有一内接梯形 ABCD ,它的下底 AB 为圆 O 的直径,上底CD 的端点在圆周 上,若双曲线以 A、 B 为焦点,且过 C 、 D 两点,则当梯形 ABCD 周长最大时,双曲线的实轴长为( )。 A、 33 B、 232  C、 233  D、 133  【答案】B 【解析】 2R ,设  ABCBAC ,作 ABCE  于点 E , 则  sin4sin2RBC ,  22 sin4sin2)90cos( RBCBE  , ∴  22 sin84sin422RCD , 则梯形周长  2sin84sin4222 RCDBCAB 8sin8sin8sin84sin84 22  10)2 1(sin8 2  , 当 2 1sin  ,即 30 时周长有最大值10 ,这时 2 RBC , 323  RAC , 13)13(2 1)(2 1  RBCACa , ∴双曲线的实轴长 a2 为 232  ,故选 B。 13.已知函数 )(xf 和 )2( xf 都是奇函数,定义域为 R ,当 )20( ,x 时, xxxf  sin)( ,则  )13()21( ff 。 【答案】 0 【解析】由 )(xf 和 )2( xf 都是奇函数可知: )()( xfxf  , )2()2()2(  xfxfxf , 则 )4()(  xfxf ,故 )(xf 是周朝为 4 的奇函数, 则 )1()1()21( fff  , )1()13( ff  ,则 0)13()21(  ff 。 14.如图所示,在 ABC 中, BCBD 3 1 ,点 E 在线段 AD 上移动(不含端点),若 ACABAE  ,则   , 2 的最小值是 。 【答案】 2 16 1 【解析】∵ ABACBC  , BCBD 3 1 ,∴ ACABBDABAD 3 1 3 2  , ∵点 E 在线段 AD 上移动(不含端点),∴设 ADtAE  , 10  t , 则 ACABADtAE  ,∴ ACtABtAD  , 对应相等得 3 2 t 、 3 1 t ,∴ t3 2 、 t3 1 ,则 2  , 又 16 1)4 1 3 2(3 1)3 2( 222  ttt ,∴当 8 3t 时 2 取最小值为 16 1 。 15.已知点 )( yxP , 是直线l : 04  ykx ( 0k )上的动点,过点 P 作圆 C : 0222  yyx 的切线 PA, A为切点。若 || PA 最小为 2 时,圆 M : 022  myyx 与圆 C 外切,且与直线 l 相切,则 m 的值为 。 【答案】 252  【解析】圆 C 的圆心为 )10( ,C ,半径为1, 当 CP 与 l 垂直时, || PA 的值最小,此时点 C 到直线 l 的距离为 21 |41| k d   , 理科数学试题 第 11页(共 18页) 理科数学试题 第 12页(共 18页) … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 由勾股定理得 2 2 22 ) 1 |41|(21 k  ,又 0k ,解得 2k , 圆 M 的圆心为 )20( mM , ,半径为 |2| m , ∵圆 M 与圆 C 外切,∴ |)1(2|1|2|  mm ,∴ 0m , ∵圆 M 与直线 l 相切,∴ 5 |42| 2   m m ,解得 252 m 。 16.在数列 }{ na 中, 41 a 、 62 a ,且当 2n 时, 941  nn aa ,则 na ;若 nT 是数列 }{ nb 的前 n项和, 1 )3(9   nn n n aa ab ,则当 )8 7)(3(5 1 nn Ta   为整数时 n 。 【答案】       2343 14 2 n n n , , 24 【解析】当 2n 时,由 941  nn aa 得 )3(431  nn aa , 故数列 }3{ na 从第二项起是首项为 3 ,公比为 4 的等比数列, 则当 2n 时, 343 2  n na ,又当 1n 时 1a 不符合该式,则        2343 14 2 n n a nn , , , 当 1n 时, 8 3 11  bT , ZTa  2 15)8 7)(3(5 12 ,不符合题意, 当 2n 时, 14 1 14 1 )14()14( 43 )343()343( )3343(9 1212 2 12 2             nnnn n nn n nb , 此时 14 1 8 7)14 1 14 1()14 1 14 1(8 3 1121222321   nnnnn bbbbT , 则 14 151514 1435 11 1    nn n ,由  是整数,得 14 1 n 是15的因数, ∴当且仅当 2n 时, 14 15 1 n 是整数,得 12 ,故 24n 。 17.(12 分)中国探月工程自 2004 年立项以来,聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标, 创造了许多项中国首次。2020 年12 月1日凌晨,嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球,又首次实现了我国地 外天体无人采样返回,为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度,从该校高三学生中随机抽取了100 名学生进行调查,调查样本中有 40 名女生。下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示关 注“嫦娥五号”的部分) 关注 没关注 合计 男 女 合计 附: ))()()(( )( 2 2 dbdccaba bcadnK   ,其中 dcban  )( 0 2 kKP  150.0 100.0 050.0 010.0 005.0 0k 072.2 706.2 841.3 635.6 879.7 (1)完成上面的 22 列联表,并计算回答是否有 %95 的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”? (2)若将频率视为概率,现从该中学高三的女生中随机抽 3 人,记被抽取的3 名女生中对“嫦娥五号”新闻关 注的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列及数学期望。 【解析】(1)完成上面的 22 列联表如表, 3 分 关注 没关注 合计 男 30 30 60 女 12 28 40 合计 42 58 100 841.3941.3203 800 40605842 )30122830(100 2 2  K , ∴有 %95 的把握认为“对‘嫦娥五号’关注与性别有关”, 5 分 (2)∵随机选一高三女生,对此事关注的概率 10 3 40 12 P , 6 分 又∵服从二项分布 )10 33(~ ,BX , 1000 343)10 7()10 3()0( 300 3  CXP , 1000 441)10 7()10 3()1( 211 3  CXP , 1000 189)10 7()10 3()2( 122 3  CXP , 1000 27)10 7()10 3()3( 033 3  CXP , ∴随机变量 X 的分布列为: 10 分 X 0 1 2 3 P 1000 343 1000 441 1000 189 1000 27 ∴ 10 9 10 33)(  pnXE 。 12 分 18.(12 分)在 ABC 中,角 A、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,已知边 2c ,且 CBaAa sin2sinsin  Bb sin 。 (1)若 AABC 2sin)sin(sin  ,求 ABC 的面积; (2)记 AB 边的中点为 M ,求 || CM 的最大值,并说明理由。 【解析】(1)在 ABC 中,  CBA ,∵ 2c , BbCBaAa sinsin2sinsin  , ∴ BbCcBaAa sinsinsinsin  , 1 分 则由正弦定理得: 222 bcaba  ,即 abcba  222 , 2 分 理科数学试题 第 13页(共 18页) 理科数学试题 第 14页(共 18页) … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考 号 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 由余弦定理得: 2 1 2cos 222  ab cbaC ,则 3 C , 3 分 ∵ AABC 2sin)sin(sin  , ∴ AAABBA cossin2)sin()sin(  , ∴ AABABABABA cossin2sincoscossinsincoscossin  , ∴ AABA cossin2sincos2  , ∴ 0cos A 或 AB sinsin  ,即 2 A 或 BA  , 5 分 当 2 A 时, 6 B , 3 32 3 326tan  cb , ∴ 3 3223 32 2 1 2 1  bcS ABC , 6 分 当 BA  时, ABC 为正三角形, 2 cba , ∴ 32 3222 1sin2 1  AbcS ABC ; 7 分 (2)∵ AB 边的中点为 M ,∴ )(2 1 CBCACM  , ∴ |)|||2|||(|4 1|| 222 CBCACBCACM  )(4 1)cos2(4 1 2222 abbaCabab  , 9 分 由余弦定理可知: Cabbac cos2222  ,∵ 2c , 3 C ,∴ 422  abba , ∴ 12 1)42(4 1|| 2  ababCM , 又∵ abba 222  ,∴ abab 24  ,∴ 4ab , 11 分 ∴ 3|| 2 CM ,∴ 3|| CM ,故 || CM 的最大值为 3 。 12 分 19.(12分)如图1,在直角三角形 ABC 中, C 为直角, 30A ,D 在 AC 上,且 3 DCDA ,作 ABDE  于点 E ,将 ADE 沿直线 DE 折起到 PDE 所处的位置,连接 PB 、 PC ,如图 2。 (1)若平面 PDE 平面 BCDE ,求证: PDBE  ; (2)若二面角 ADEP  为锐角,且二面角 EBCP  的正切值为 9 62 ,求 PB 的长。 【解析】(1)由题意知, DEBE  ,又平面 PDE 平面 BCDE ,平面 PDE 平面 DEBCDE  , BE 平面 BCDE ,∴ BE 平面 PDE , 2 分 又 PD 平面 PDE ,∴ PDBE  , 3 分 (2)由题意知, BEDE  、 PEDE  , EPEBE  , PE 平面 PBE , EB 平面 PBE ,∴ DE 平面 PBE , 4 分 又 DE 平面 BCDE ,∴平面 PBE 平面 BCDE ,作 BEPH  所在的直线于点 H , 又平面 PBE 平面 BEBCDE  , PH 平面 BCDE , 以 H 为原点,分别以 HB 、 HP 所在直线为 x 、 z 轴, 以在平面 BCDE 内过点 H 且垂直于 AB 的直线为 y 轴建立如图的空间直角坐标系, 5 分 在 ABC 中, 90C , 30A , 3 DCDA ,∴ 4AB 、 2BC 、 2 3AE , 设 )00( ,,bB ( 42 5  b ),则 ))2 5(4 900( 2 bP ,, 、 )031( ,,bC , 则 )031( ,,BC 、 ))2 5(4 90( 2 bbBP ,, , 6 分 设平面 PBC 的法向量为 )( zyxm ,, , 则      0 0 BPm BCm ,即      0)2 5(4 9 03 2 zbbx yx ,取 3x ,则 1y , 2)2 5(4 9 3   b bz , ∴ ) )2 5(4 9 313( 2  b bm ,, , 8 分 易知平面 BCE 的一个法向量为 )100( ,,n , 9 分 由二面角 EBCP  的正切值为 9 62 ,得其余弦值为 35 33 , 从而 35 33 41 || |||| |||cos| 2      z z nm nmnm, 得 2 272 z , 10 分 ∴ 2 27 )2 5(4 9 3 2 2   b b ,解得 3b (取)或 11 12b (舍), 11 分 ∴ 2PH 、 3HB ,则 1122  HBPHPB 。 12 分 20. (12 分)设函数 xaxxf ln)(  ,其中 Ra ,曲线 )(xfy  在点( )1(1 f, )处的切线经过点 )23( , 。 (1)求函数 xaxxf ln)(  的极值; (2)证明: ee xxf x 2)(  。 理科数学试题 第 15页(共 18页) 理科数学试题 第 16页(共 18页) … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 【解析】(1) )(xf 的定义域为 )0( , , axaxf  ln)(' , 1 分 则 0)1( f , af  )1( ,故 )(xfy  在( )1(1 f, )处的切线方程 )1(  xay , 2 分 ∵该切线经过点 )23( , ,代入得 )13(2  a ,解得 1a , 3 分 ∴ xxxf ln)(  , 1ln)('  xxf , 当 ex 10  时, 0)(  xf ,函数单调递减,当 ex 1 时, 0)(' xf ,函数单调递增,5 分 故当 ex 1 时,函数取得极小值 eef 1)1(  ,无极大值; 6 分 (2) ee xxf x 2)(  等价于: 02ln  ee xxx x , 由(1)可得 exxxf 1ln)(  (当且仅当 ex 1 时等号成立)①, ∴ xx e x eee xxx  12ln ,故只要证明 01  xe x e 即可,(需验证等号不同时成立),9 分 设 xe x exg  1)( , 0x ,则 xe xxg 1)(  , 当 10  x 时, 0)(  xg ,函数单调递减,当 1x 时, 0)(  xg ,函数单调递增, ∴ 0)1()(  gxg ,当且仅当 1x 时等号成立②, ∵①②等号不同时成立,∴当 0x 时, ee xxf x 2)(  。 12 分 21.(12 分)如图所示, 1F 、 2F 分别是椭圆 C : 12 2 2 2  b y a x ( 0 ba )的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上。当 21PFF 最大时, 5 3cos 21  PFF 且 2212  FFPF 。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 2PF 与椭圆 C 的另一交点为 Q ,过 1F 作直线 PQ 的垂线 l , l 与圆 222 byx  交于 A、 B 两点, 求四边形 APBQ 面积的最大值。 【解析】(1)当 21PFF 最大时,点 P 与椭圆 C 的上顶点或下顶点重合, 设 )0( bP , ,则 5 3 2 )2(cos 222 21    aa caaPFF ①, 1 分 22)02()( 2 212  ccbcFFPF ,, ②, 2 分 由①②得 12 c , 52 a ,于是 4222  cab , 3 分 ∴椭圆 C 的标准方程是 1 45 22  yx ; 4 分 (2)当直线 PQ 的斜率不存在时, 4|| AB , 5 58|| PQ , 则四边形 APBQ 的面积是 5 516 , 5 分 当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 PQ 的方程为 )1(  xky , )( 11 yxP , 、 )( 22 yxQ , , 将 )1(  xky 与 1 45 22  yx 联立并消去 y ,整理得 020510)45( 2222  kxkxk , 0 恒成立,则 45 10 2 2 21   k kxx , 45 205 2 2 21   k kxx , 7 分 则 45 )1(584)(1|| 2 2 21 2 21 2   k kxxPQ , 由于直线 l 与直线 PQ 垂直,且经过点 1F ,∴直线 l 的方程为 01 kyx , ∴点O 到直线 l 的距离为 1 1 2 k ,∴ 1 342) 1 1(2|| 2 2 2 2 2     k k k bAB , 9 分 则四边形 APBQ 的面积: 34 1 1 34 58 45 34158||||2 1 2 2 2 22 22       k k k kk kkPQABS , 由于 )23[ 1 14 1 34 22 2 ,     kk k ,∴ )2 5 3 34[ 34 1 1 34 2 2 2 2 ,     k k k k , 于是 ]1525 516( ,S (当 0k 时取得最大值), 11 分 综上可知,四边形 APBQ 面积的最大值为 152 。 12 分 22.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为      sin cos ty tx ( t 为参数且 0t , )20(  , ), 曲线 2C 的参数方程为      sin1 cos y x ( 为参数且 )22(  , ),以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系,曲线 3C 的极坐标方程为  cos1 ( )20(  , ),曲线 4C 的极坐标方程为 1cos  。 (1)求 3C 与 4C 的交点到极点的距离; (2)设 1C 与 2C 交于 P 点, 1C 与 3C 交于 Q 点,当  在 )20( , 上变化时,求 |||| OQOP  的最大值。 理科数学试题 第 17页(共 18页) 理科数学试题 第 18页(共 18页) … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考 号 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【解析】(1)联立曲线 3C 、 4C 的极坐标方程      1cos ))2,0((cos1 , 得 012  , 解得 2 51 ,即交点到极点的距离为 2 51 ; 2 分 (2)曲线 1C 的极坐标方程为  ,( )20(  , , 0 ), 曲线 2C 的极坐标方程为  sin2 , )20(  , ,联立得  sin2 , )20(  , , 即  sin2|| OP , )20(  , , 5 分 曲线 1C 与曲线 3C 的极坐标方程联立得  cos1 ( )20(  , ), 即  cos1|| OQ , )20(  , , ∴ 1)sin(5cos1sin2||||  OQOP ,其中 2tan  , 8 分 当  k22 ( )20(  , , Zk  ), 即 5 52arcsin 时, |||| OQOP  取最大值为 15  。 10 分 23.(10 分)已知 a 、 b 大于 0 ,设 abx  , 2 22 bay  。求证: (1) abxy  ; (2) bayx  。 【解析】(1)证明:∵ 0a 、 0b ,且 abba 222  ,∴ abba  2 22 ,则 02 22  abba , ∴ abbaabxy  2 22 ,当且仅当 ba  时,等号成立; 4 分 (2)证明:∵ 0a 、 0b ,欲证 bayx  ,即 baabba  2 22 , 只需证明 22 2222 2222 bababaababba  , 7 分 也就是证明 abbabaab  222 2222 ,即证 0)2( 2 22  abba , 显然此式成立,当且仅当 abba  2 22 ,即 ba  时等号成立, 故原不等式 bayx  成立。 10 分

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