人教版数学九年级下册第27章《相似》常考题专练（二）

人教版数学九年级下册第 27 章《相似》 常考题专练（二） 1．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（﹣3，2），B（﹣1， 3），C（﹣1，1），请按如下要求画图： （1）以坐标原点 O 为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转 90°，得到△A1B1C1，请画出 △A1B1C1； （2）以坐标原点 O 为位似中心，在 x 轴下方，画出△ABC 的位似图形△A2B2C2，使 它与△ABC 的位似比为 2：1． 2．小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点 C 处平放一面镜子，并在镜子上做 一个标记，然后向后退去，直至站在点 D 处恰好看到建筑物 AB 的顶端 A 在镜子中的像 与镜子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面 1.65m，BC、CD 的长分别为 60m、 3m，求这座建筑物的高度． 3．如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 AD 上的点，点 F 在边 CD 上，且 CF＝3FD，∠ BEF＝90° （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若 AB＝4，延长 EF 交 BC 的延长线于点 G，求 BG 的长 4．如图，已知在△ABC 中，D 是 BC 的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC 交 AB 于点 E，EC 与 AD 相交于点 F． （1）求证：△ABC∽△FCD． （2）若 DE＝6，BC＝16，直接写出△FCD 的面积． 5．已知三角形 ABC，AD 为 BC 边中线，P 为 BC 上一动点，过点 P 作 AD 的平行线，交 直线 AB 或延长线于点 Q，交 CA 或延长线于点 R． （1）当点 P 在 BD 上运动时，过点 Q 作 BC 的平行线交 AD 于 E 点，交 AC 于 F 点， 求证：QE＝EF； （2）当点 P 在 BC 上运动时，求证：PQ+PR 为定值． 6．如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，P 为 DC 延长线上一点，AP 分别交 BD，BC 于点 M，N． （1）证明：AM2＝MN•MP； （2）若 AD＝6，DC：CP＝2：1，求 BN 的长． 7．如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC 长 13cm，BC 边上的高 AD 为 6cm， 把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长． 8．如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（AB）的高度：将一根 3 米高的标杆 （CD）竖直放在某一位置，有一名同学站在 F 处与标杆底端（D）、旗杆底端（B）成 一条直线，此时他看到标杆顶端 C 与旗杆顶端 A 重合，另外一名同学测得站立（EF） 的同学离标杆（CD）3 米，离旗杆（AB）30 米．如果站立（EF）的同学的眼睛距地面 1.6 米，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，交 CD 于点 G（EF∥AB，CD∥AB，EH∥FB）， 求旗杆 AB 的高度． 9．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 F 在 BA 的延长线上，连接 CF 交 AD 于点 E． （1）求证：△CDE∽△FAE； （2）当 E 是 AD 的中点且 BC＝2CD 时，直接写出图中所有与∠F 相等的角． 10．阅读下面材料： 小军遇到这样一个问题：如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，P 是△ABC 内一点， ∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求 BP 的长． 小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得 BP 的长． 请回答：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠PCB＝∠PBA， ∴∠PCA＝ ． ∵∠PAC＝∠PCB， ∴△ACP∽△CBP． ∴ ． ∵∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝90°． ∴ ＝ ． ∵AP＝1， ∴PC＝ ． ∴PB＝ ． 参考小军的思路，解决问题： 如图 2，在△ABC 中，AB＝AC，P 是△ABC 内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ ACB＝30°，求 的值； 参考答案 1．解：（1）如图，△A1B1C1 即为所求． （2）如图，△A2B2C2 即为所求． 2．解：由题意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 故△ABC∽△EDC， 则 ＝ ， ∵小军的眼睛距地面 1.65m，BC、CD 的长分别为 60m、3m， ∴ ＝ ， 解得：AB＝33， 答：这座建筑物的高度为 33m． 3．（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC， ∵∠BEF＝90°， ∴∠AEB+∠DEF＝90°， ∵∠ABE+∠AEB＝∠DEF+∠EBA＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∴△ABE∽△DEF； （2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD， ∴DF＝1，CF＝3， ∵△ABE∽△DEF， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：DE＝2， ∵AD∥BC， ∴△EDF∽△GCF， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴CG＝6， ∴BG＝BC+CG＝4+6＝10． 4．证明：∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∵D 是 BC 的中点，ED⊥BC， ∴BE＝EC， ∴∠ABC＝∠ECD， ∴△ABC∽△FCD； （2）如图，过点 A 作 AH⊥BC 于 H ， ∵BC＝16，D 是 BC 的中点， ∴CD＝BD＝8， ∵AD＝AC，AH⊥CD， ∴DH＝CH＝4， ∴BH＝12， ∵DE∥AH， ∴ ， ∴ ， ∴AH＝9， ∵△ABC∽△FCD ∴ ＝（ ）2， ∴S△FCD＝ ×S△ABC＝18． 5．（1）证明：∵QF∥BC， ∴△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC．（1 分） ∴ ， ∵BD＝DC， ∴QE＝EF．（3 分） （2）解：当点 P 与点 B（或点 C）重合时，AD 为△B（P）RC（或△C（P）BQ）的 中位线， ∴PQ+PR＝2AD． 当点 P 在 BD 上（不与点 B 重合）运动时，由（1）证明可知，AE 为△RQF 的中位线， ∴RQ＝2AE． ∵QF∥BC，PQ∥AD， ∴四边形 PQED 为平行四边形． ∴PQ＝DE， ∴PQ+PR＝2DE+QR＝2DE+2AE＝2AD．（5 分） 同理可证，当点 P 在 CD 上（不与点 C 重合）运动时， PQ+PR＝2AD． ∴P 在 BC 上运动时，PQ+PR 为定值， 即 PQ+PR＝2AD．（7 分） 6．证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM， ∴△ADM∽△NBM， ∴ ＝ ， ∵AB∥DC， ∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM， ∴△PDM∽△ABM， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴AM2＝MN•MP； （2）∵AD∥BC， ∴∠PCN＝∠PDA，∠P＝∠P， ∴△PCN∽△PDA， ∴ ＝ ， ∵DC：CP＝2：1， ∴ ＝ ＝ ， 又∵AD＝6， ∴NC＝2， ∴BN＝4． 7．解：（1）∵正方形 EGHF， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， （2）设 EG＝EF＝x ∵△AEF∽△ABC ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴x＝ ， ∴正方形零件的边长为 cm． 8．解：过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，交 CD 于点 G． 由题意可得，四边形 EFDG、GDHB 都是矩形，AB∥CD∥EF． ∴△ECG∽△EAH． ∴ ＝ ． 由题意可得： EG＝FD＝3m，EH＝BF＝30m，CG＝CD﹣GD＝CD﹣EF＝3﹣1.6＝1.4（m）． ∴ ＝ ， ∴AH＝14（米）， ∴AB＝AH+HB＝14+1.6＝15.6（米）． 答：旗杆的高度为 15.6 米． 9．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠DCE＝∠F，∠CDE＝∠FAE， ∴△CDE∽△FAE； （2）解：图中所有与∠F 相等的角为∠DCE、∠BCF、∠AEF、∠DCE，理由如下： 由（1）得：∠DCE＝∠F， ∵△CDE∽△FAE，DE＝EA， ∴△CDE≌△FAE， ∴CD＝AF， ∴BF＝2CD， ∵BC＝2CD，AD＝BC＝2AE＝2DE， ∴BF＝BC，AF＝AE，CD＝DE， ∴∠F＝∠BCF，∠AEF＝∠F，∠DEC＝∠DCE． 10．阅读材料： 解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠PCB＝∠PBA， ∴∠PCA＝∠PBC． ∵∠PAC＝∠PCB， ∴△ACP∽△CBP． ∴ ． ∵∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝90°． ∴CB＝ AC， ∴ ＝ ． ∵AP＝1， ∴PC＝ AP＝ ． ∴PB＝ PC＝2． 故答案为：∠PBC； ；2； 解决问题： 解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D，如图 2 所示： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°．BD＝CD＝ BC， ∴AD＝ AC，CD＝ AD， ∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2 AD， ∵∠PCB＝∠PBA， ∴∠PCA＝∠PBC． ∵∠PAC＝∠PCB， ∴△ACP∽△CBP． ∴ ＝ ＝ ， 设 AP＝a，则 PC＝ ， ∴PB＝3a． ∴ ．