人教版数学九年级下册第27章《相似》常考题专练（三）

人教版数学九年级下册第 27 章《相似》 常考题专练（三） 1．如图，已知线段 AB，P 是线段 AB 上任意一点（不与点 A、B 重合），分别以 AP、BP 为边，在 AB 的同侧作等边△APD 和△BPC，连接 BD 与 PC 交于点 E，连接 CD． （1）当 BC⊥CD 时，试求∠DBC 的正切值； （2）若线段 CD 是线段 DE 和 DB 的比例中项，试求这时 的值； （3）记四边形 ABCD 的面积为 S，当 P 在线段 AB 上运动时，S 与 BD2 是否成正比例， 若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由． 2．在 4×4 的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形叫 做格点三角形．小华已在左边的正方形网格中作出了格点△ABC，请你在右边的两个正 方形网格中各画出一个格点三角形，使得所画的格点三角形与△ABC 都相似（互不全等）． 3．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 M 是 BC 的中点． （1）在 AM 上求作一点 E，使△ADE∽△MAB（尺规作图，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求 AE 的长． 4．如图，已知△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是边 AB 上一点，且△CDE∽△CAB （1）求证：△CAD∽△CBE； （2）求证：EB⊥AB． 5．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC，AC 且 BD＝CE，AD、BE 相交于点 M，求证： （1）△AME∽△BAE； （2）BD2＝AD×DM． 6．已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是边 BC 上的中线，BE⊥AC 于点 E，AD 与 BE 交于点 H． （1）求证：BD2＝DH•DA； （2）过点 C 作 CF∥AB 交 BE 的延长线于点 F．求证：HB2＝HE•HF． 7．已知：如图，在△ABC 中，D 为 AB 边上一点，∠A＝36°，AC＝BC， （1）求∠ACB 的度数． （2）若 AC2＝AB•AD，求证：△ABC∽△ACD （3）在（2）的条件下，若 AB＝1，能否求出 AC 的值；如果能，请求出 AC 的值；如 果不能，请说明理由． 8．如图，一位同学想利用影子测量旗杆的高度，在同一时刻，测得一米长的标杆的影长为 1.2 米，但他测旗杆影子时，因旗杆靠近教室，影子的一部分落在了墙上．他先测得地 面部分的影子长为 12 米，又测得墙上影高为 2 米，求旗杆的高度 AB． 9．如图，小明同学为了测量教学楼的高度 OE，先在操场上点 A 处放一面镜子，从点 A 处 后退 1m 到点 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E 点；再将镜子向后移动 4m 放在 C 处，从点 C 处向后退 1.5m 到点 D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 E 点，测得小 明的眼睛距地面的高度 FB，GD 为 1.5m，点 O，A，B，C，D 在同一水平线上，镜子 可看成一个点．求教学楼的高度 OE． 10．如图所示，△ABC 中，∠B＝90°，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度 移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动． （1）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，经几秒，使△PBQ 的面积等于 8cm2？ （2）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 到 C 后又继续在 CA 边上前进，经过几秒，使△PCQ 的面积等于 12.6cm2？ 参考答案 1．解：（1）∵等边△APD 和△BPC， ∴PC＝BC，∠CPD＝60°，∠DPA＝∠CBP＝60°， ∴PD∥BC， ∴∠DPC＝∠PCB＝60°， ∵BC⊥CD， ∴∠DCB＝∠PDC＝90°， ∴∠DCP＝30°， ∴tan∠DBC＝ ＝ ＝cos30°＝ ； （2）由已知，CD2＝DE•DB， 即 ， 又∵∠CDE＝∠CDE， ∴△DCE∽△DBC， ∴ ， 又∵CP＝BC， ， ∵PD∥BC， ∴ ， ∴ ， ∴CD＝BE， ∴ ，即点 E 是线段 BD 的黄金分割点． ∴ ， 又∵PC∥AD， ∴ ， （3）设 AP＝a，PB＝b， ∴ ， ， 因为 AD∥PC，PD∥BC， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 作 DH⊥AB， 则 ， ， ∴BD2＝DH2+BH2＝（ a）2+（ a+b）2＝a2+ab+b2， ∴ ， ∴S 与 BD2 成正比例，比例系数为 ． 2．解：如图所示，△A′B′C′和△A″B″C″即为所求． 3．解（1）过 D 作 DE⊥AM 于 E，△ADE 即为所求； （2）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AMB， 又∵∠DEA＝∠B＝90°， ∴△DAE∽△AMB， ∴DE：AD＝AB：AM， ∵M 是边 BC 的中点，BC＝6， ∴BM＝3， 又∵AB＝4，∠B＝90°， ∴AM＝5， ∴DE：6＝4：5， ∴DE＝ ， ∴AE＝ ＝ ＝ ． 4．（1）证明：∵△CDE～△CAB， ∴ ，∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，则∠ACD＝∠BCE， ∴△CAD∽△CBE； （2）证明：∵△CAD～△CBE， ∴∠CAD＝∠CBE． ∵∠ACB＝90°，∠CAD+∠CBA＝90°， ∴∠CBE+∠CBA＝90°， ∴EB⊥AB． 5．证明：（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°． 在△ABD 和△BCE 中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE＝∠BAD， ∴∠EAM＝∠EBA． 又∵∠AEM＝∠BEA， ∴△AME∽△BAE． （2）∵△AME∽△BAE， ∴∠AME＝∠BAE＝60°， ∴∠BMD＝60°． 又∵∠ABD＝60°，∠BDM＝∠ADB， ∴△ABD∽△BMD， ∴BD2＝AD×DM． 6．解：（1）证明：∵在△ABC 中，AB＝AC，AD 是边 BC 上的中线 ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD ∴∠ADB＝90° ∵BE⊥AC 于点 E ∴∠HEA＝90° 又∵∠AHE＝∠BHD ∴∠CAD＝∠DBH ∴∠BAD＝∠DBH ∴△BAD∽△DBH ∴ ＝ ∴BD2＝DH•DA； （2）证明：连接 HC，如图， ∵AD⊥BC，AD 是边 BC 上的中线 ∴AD 垂直平分 BC ∴HB＝HC ∴∠HBC＝∠HCB ∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠ACB ∵∠BEC＝90° ∴∠HBC+∠ACB＝90° ∴∠HCB+∠ABC＝90° ∵CF∥AB ∴∠ABC+∠∠HCB+∠HCF＝180° ∴∠HCF＝90° ∵∠HCF＝∠HEC＝90°，∠FHC＝∠CHE ∴△FHC∽△CHE ∴ ＝ ∴ ＝ ∴HB2＝HE•HF． 7．解：（1）∵∠A＝36°，AC＝BC， ∴∠B＝∠A＝36°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣36°﹣36°＝108°； （2）∵AC2＝AB•AD， ∴ ， ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD； （3）∵△ABC∽△ACD， ∴∠ACD＝∠B＝36°， ∴∠BCD＝∠A+∠ACD＝72°，∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝108°﹣36°＝72°， ∴∠BCD＝∠BDC， ∴BD＝BC， ∵AC＝BC， ∴AC＝BC＝BD， 设 AC＝x， 则 BC＝BD＝x，AD＝1﹣x， ∵AC2＝AB•AD， ∴x2＝1﹣x， 解得：x＝ 或 x＝ （舍去）， ∴AC 的值为 ． 8．解：如图，BC＝12m，CD＝2m， 根据题意得 DC：CF＝1：1.2，即 2：CF＝1：1.2， ∴CF＝2.4， ∴BF＝14.4， 又∵AB：BF＝1：1.2，即 AB：14.4＝1：1.2， ∴AB＝12（米）． 答：旗杆的高度为 12 米． 9．解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF ＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE． ∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE， ∴△BAF∽△OAE， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴OE＝1.5OA， ∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE， ∴△GDC∽△EOC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴OE＝OA+4， ∴OE＝1.5OA， ∴1.5OA＝OA+4， ∴OA＝8m，OE＝12m． 答：教学楼的高度 OE 为 12m． 10．解：（1）设 x 秒时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使△PBQ 面积为 8cm2， 由题意得 （6﹣x）•2x＝8，解之，得 x1＝2，x2＝4， 经过 2 秒时，点 P 到距离 B 点 4cm 处，点 Q 到距离 B 点 4cm 处； 或经 4 秒，点 P 到距离 B 点 2cm 处，点 Q 到距离 B 点 8cm 处，△PBQ 的面积为 8cm2， 综上所述，经过 2 秒或 4 秒，△PBQ 的面积为 8cm2； （2）当 P 在 AB 上时，经 x 秒，△PCQ 的面积为： ×PB×CQ＝ ×（6﹣x）（8 ﹣2x）＝12.6， 解得：x1＝ （不合题意舍去），x2＝ ， 经 x 秒，点 P 移动到 BC 上，且有 CP＝（14﹣x）cm，点 Q 移动到 CA 上，且使 CQ ＝（2x﹣8）cm， 过 Q 作 QD⊥CB，垂足为 D，由△CQD∽△CAB 得 ， 即 QD＝ ， 由题意得 （14﹣x）• ＝12.6，解之得 x1＝7，x2＝11． 经 7 秒，点 P 在 BC 上距离 C 点 7cm 处，点 Q 在 CA 上距离 C 点 6cm 处，使△PCQ 的面积等于 12.6cm2． 经 11 秒，点 P 在 BC 上距离 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距离 C 点 14cm 处，14＞10， 点 Q 已超出 CA 的范围，此解不存在． 综上所述，经过 7 秒和 秒时△PCQ 的面积等于 12.6cm2．