人教版数学九年级下册第27章《相似》常考题专练（一）

人教版数学九年级下册第 27 章《相似》 常考题专练（一） 1．已知：△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AB 上一点，且 BE＝ AB．F 为 AC 上一点， 且 CF＝ AC，EF 交 AD 于 P． （1）求 EP：PF 的值． （2）求 AP：PD 的值． 2．如图，在△ABC 中，AD 是角平分钱，点 E 在 AC 上，且∠EAD＝∠ADE． （1）求证：△DCE∽△BCA； （2）若 AB＝3，AC＝4．求 DE 的长． 3．在矩形 ABCD 中，DC＝2 ，CF⊥BD 分别交 BD、AD 于点 E、F，连接 BF． （1）求证：△DEC∽△FDC； （2）当 F 为 AD 的中点时，求 BC 的长度． 4．如图 AD 与 CE 交于 B，且 ． （1）求证：△ABC∽△DBE． （2）若 AC＝8，BC＝6，CE＝9，求 DE 的长． 5．如图，BD、CE 是△ABC 的高． （1）求证：△ACE∽△ABD； （2）若 BD＝8，AD＝6，DE＝5，求 BC 的长． 6．如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 AD 的中点，点 F 在边 CD 上，且∠BEF＝90°， 延长 EF 交 BC 的延长线于点 G． （1）求证：△ABE∽△EGB． （2）若 AB＝6，求 CG 的长． 7．已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BA 至点 E，使得 AE＝AB，联结 DE、 AC．点 F 在线段 DE 上，联结 BF，分别交 AC、AD 于点 G、H． （1）求证：BG＝GF； （2）如果 AC＝2AB，点 F 是 DE 的中点，求证：AH2＝GH•BH． 8．已知△ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 AD 平分∠BAC，过点 C 作 AB 的平行线与 AD 的延长线交于点 E． （1）求证：△ABD∽△ECD； （2）求证： ＝ ． 9．如图，某位同学通过调整自己的位置测量树高 AB，设法使三角板的斜边 DF 保持水平， 并且边 DE 与点 B 在同一直线上．已知两条边 DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边 DF 离 地面距离 AC＝1.5m，人与树的距离 CD＝8m，求树高 AB 的值． 10．如图，已知 C 是线段 AB 上的一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作正方形 ACDE 和正方形 CBGF，点 F 在 CD 上，联结 AF、BD，BD 与 FG 交于点 M，点 N 是边 AC 上的一点，联结 EN 交 AF 与点 H． （1）求证：AF＝BD； （2）如果 ＝ ，求证：AF⊥EN． 参考答案 1．解：（1）分别作 EE1，FF1 平行于 BC 且与 AD 交于 E1、F1 两点． 则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， 又 BD＝CD， ∴ ＝ ∴ ＝ ＝ ； （2）设 AF1＝y，F1P＝4x，PE1＝5x，E1D＝z， 则 ＝ ， ＝ ， 解得 y＝36x，z＝15x， ∴ ＝ ＝ ＝ ． 2．（1）证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EDA， ∵∠EAD＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴AB∥DE， ∴△DCE∽△BCA； （2）解：∵∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， 设 DE＝x， ∴CE＝AC﹣AE＝AC﹣DE＝4﹣x， ∵△DCE∽△BCA， ∴DE：AB＝CE：AC， 即 x：3＝（4﹣x）：4， 解得：x＝ ， ∴DE 的长是 ． 3．（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠FDC＝90°， ∴∠FDE+∠CDE＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠FDE+∠DFE＝90°， ∴∠CDE＝∠DFE，又∴∠DEC＝∠CDF＝90°， ∴△DEC∽△FDC； （2）解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴DF∥BC， ∴ ＝ ＝ ， ∵△DEC∽△FDC， ∴CE•CF＝CD2＝12， ∴CF＝3 ， ∴DF＝ ＝ ， ∴BC＝AD＝2 ． 4．证明：（1）∵∠DBE＝∠ABC， ， ∴△ABC∽△DBE； （2）∵△ABC∽△DBE， ∴ ， ∵AC＝8，BC＝6，CE＝9， ∴ ， ∴DE＝4． 5．解：（1）证明：∵BD、CE 是△ABC 的高， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ACE∽△ABD； （2）在 Rt△ABD 中，BD＝8，AD＝6， 根据勾股定理，得 AB＝ ＝10， ∵△ACE∽△ABD， ∴ ＝ ， ∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ACB， ∴ ＝ ， ∵DE＝5， ∴BC＝ ＝ ． 6．（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形，且∠BEG＝90°， ∴∠A＝∠BEG， ∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°， ∴∠ABE＝∠G， ∴△ABE∽△EGB； （2）解：∵AB＝AD＝6，E 为 AD 的中点， ∴AE＝DE＝3． 在 Rt△ABE 中，BE＝ ＝ ＝3 ， 由（1）知，△ABE∽△EGB， ∴ ， 即： ， ∴BG＝15， ∴CG＝BG﹣BC＝15﹣6＝9． 7．证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AB＝AE， ∴AE＝CD， ∴四边形 ACDE 是平行四边形， ∴AC∥DE， ∴ ， ∴BG＝GF； （2）∵AB＝AE， ∴BE＝2AE， ∵AC＝2AB， ∴BE＝AC， ∵四边形 ACDE 是平行四边形， ∴AC＝DE， ∴DE＝BE， ∵点 F 是 DE 的中点， ∴DE＝2EF， ∴AE＝EF， ∵DE＝BE，∠E＝∠E，AE＝EF， ∴△BEF≌△DEA（SAS）， ∴∠EBF＝∠EDA， ∵AC∥DE， ∴∠GAH＝∠EDA． ∴∠EBF＝∠GAH． ∵∠AHG＝∠BHA， ∴△AHG∽△BHA， ∴ ． ∴AH2＝GH•BH． 8．证明：（1）∵CE∥AB， ∴∠BAD＝∠CED、∠ABD＝∠ECD， ∴△ABD∽△ECD； （2）∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EAC， 又∵∠BAD＝∠CED， ∴∠CEA＝∠CAE， ∴CA＝CE， ∵△ABD∽△ECD， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ． 9．解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D， ∴△DEF∽△DCB ∴ ＝ ， ∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m， ∴ ＝ ， ∴CB＝4（m）， ∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）． 答树高 AB 的值为 5.5 米． 10．解：（1）∵四边形 ACDE 和四边形 BCFG 都为正方形， ∴AC＝DC，∠ACD＝∠BCD＝90°，BC＝CF， 在△AFC 和△DBC 中， ， ∴△AFC≌△DBC（SAS）． ∴AF＝BD． （2）∵△AFC≌△DBC， ∴∠CAF＝∠CDB， ∵CD∥BG， ∴∠CDB＝∠MBG， ∴∠CAF＝∠MBG， ∵∠ACF＝∠BGM＝90°， ∴△BGM∽△ACF， ∴ ， ∵BG＝GF＝FC， ∴ ＝ ， ∵ ＝ ， ∴AN＝FC， 在△AEN 和△CAF 中， ∴△AEN≌△CAF（SAS）， ∴∠ENA＝∠AFC， ∵∠FAC+∠AFC＝90°， ∴∠FAC+∠ENA＝90°， ∴∠AHN＝90°， ∴AF⊥EN．