华师大版数学九年级下册：第27章圆综合测试

初中数学 九年级下册 1 / 30 第 27 章综合测试 一、选择题（共 12 小题） 1.点 A 、O 、 D 与点 B 、 O 、 C 分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图， AB 为 O 的直径，弦 CD AB 于 E ，已知 12CD  ， 3BE  ，则 O 的直径为（ ） A.8 B.10 C.15 D.20 3.如图，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦 AB 的长为（ ） A.10 cm B.16 cm C. 24 cm D. 26 cm 4.下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④长度相等的两条弧是等弧. 初中数学 九年级下册 2 / 30 A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.4 个 5.如图， ABC△ 内接于 O ， BD 是 O 的直径.若 °33DBC  ，则 A 等于（ ） A.33° B.57° C.67° D.66° 6.如图，四边形 ABCD 内接于 O ，E 是 BC 延长线上一点，若 °100BAD  ，则 DCE 的大小是（ ） A.115° B.105° C.100° D.95° 7.如图，正方形 ABCD 内接于 O ，点 P 在劣弧 AB 上，连接 DP ，交 AC 于点 Q .若 QP QO ，则 QC QA 的 值为（ ） A. 2 3 1 B. 2 3 C. 3 2 D. 3 2 8.已知 O 的半径 3r  ， 10PO  ，则点 P 与 O 的位置关系是（ ） A.点 P 在 O 内 B.点 P 在 O 上 C.点 P 在 O 外 D.不能确定 初中数学 九年级下册 3 / 30 9.下列说法正确的是（ ） A.半圆是弧，弧也是半圆 B.三点确定一个圆 C.平分弦的直径垂直于弦 D.直径是同一圆中最长的弦 10.如图，将 ABC△ 放在每个小正方形边长为 1 的网格中，点 A 、 B 、 C 均落在格点上，用一个圆面去覆 盖 ABC△ ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ） A. 5 B. 6 C.2 D. 5 2 11.如图，已知 O 圆心是数轴原点，半径为 1， °45AOB  ，点 P 在数轴上运动，若过点 P 且与OA 平行 的直线与 O 有公共点，设 OP x ，则 x 的取值范围是（ ） A. 1 1x ≤ ≤ B. 2 2x ≤ ≤ C. 0 2x≤ ≤ D. 2x＞ 12.如图，AB 是 O 的直径，直线 PA与 O 相切于点 A ，PO 交 O 于点C ，连接 BC .若 °50P  ，则 ABC 的度数为（ ） 初中数学 九年级下册 4 / 30 A.20° B.25° C.40° D.50° 二、填空题（共 8 小题） 13.如图，小量角器的 0°刻度线在大量角器的 0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.如果 它们外缘边上的公共点 P 在大量角器上对应的度数为 40°，那么在小量角器上对应的度数为________.（只 考虑小于 90°的角度） 14.如图， O 的半径为 5 cm ，圆心O 到 AB 的距离为 3 cm ，则弦 AB 长为________ cm . 15.小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为 2 cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边 与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位： cm ），请你帮小华算出圆盘的半径是 ________ cm . 16.如图，在正方形纸片 ABCD 中， EF AD∥ ， M ， N 是线段 EF 的六等分点，若把该正方形纸片卷成一 个圆柱，使点 A 与点 D 重合，此时，底面圆的直径为10 cm ，则圆柱上 M ，N 两点间的距离是________ cm . 初中数学 九年级下册 5 / 30 17.如图， AB 是 O 的直径， C ， D 两点在 O 上，若 °90BCD  ，则 ABD 的度数为________. 18.如图，四边形 ABCD 为 O 的内接四边形，若四边形 ABCO 为平行四边形，则 ADB  ________. 19.一点和 O 上的最近点距离为 4 cm ，最远距离为 9 cm ，则这个圆的半径是________. 20.如图，点 A ， B ，C 均在 6 6 的正方形网格格点上，过 A ， B ，C 三点的外接圆除经过 A ， B ，C 三 点外还能经过的格点数为________. 三、解答题（共 8 小题） 21.已知：如图， AB 是 O 的直径，点 C 、 D 在 O 上， CE AB 于 E ， DF AB 于 F ，且 AE BF ， AC 与 BD 相等吗？为什么？ 初中数学 九年级下册 6 / 30 22. O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 1AE  ， 5EB  ， °60DEB  ，求 CD 的长. 23.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点 A 、 B ，并使 AB 与车轮内圆相 切于点 D ，作 CD AB 交外圆于点C .测得 10 cmCD  ， 60 cmAB  ，求这个车轮的外圆半径长. 初中数学 九年级下册 7 / 30 24.如图，AB 是 O 的直径，点 C 为 BD 的中点，CF 为 O 的弦，且 CF AB ，垂足为 E ，连接 BD 交 CF 于点 G ，连接 CD ， AD ， BF . （1）求证： BFG CDG△ ≌△ ； （2）若 2AD BE  ，求 BF 的长. 25.如图， AB 是 O 的直径， CD 是 O 的一条弦，且 CD AB 于点 E . （1）求证： BCO D   ； 初中数学 九年级下册 8 / 30 （2）若 4 2CD  ， 2AE  ，求 O 的半径. 26.如图，四边形 ABCD 内接于 O ， °130ABC  ，求 OAC 的度数. 27.如图 1， O 的半径为 ( )0r r＞ ，若点 P¢在射线 OP 上，满足 2OP OP r¢ = ，则称点 P¢是点 P 关于 O 的 “反演点”. 如图 2， O 的半径为 4，点 B 在 O 上， °60BOAÐ = ， 8OA = ，若点 A¢， B¢分别是点 A ， B 关于 O 的 反演点，求 A Bⅱ 的长. 初中数学 九年级下册 9 / 30 28.已知直角三角形 ABC 和 ADC 有公共斜边 AC ， M 、 N 分别是 AC ， BD 中点，且 M 、 N 不重合. （1）线段 MN 与 BD 是否垂直？请说明理由； （2）若 °30BACÐ = ， °45CADÐ = ， 4AC = ，求 MN 的长. 初中数学 九年级下册 10 / 30 第 27 章综合测试 答案解析 一、 1.【答案】B 【解析】弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答. 解：由图可知，点 A 、 B 、 E 、 C 是 O 上的点， 图中的弦有 AB 、 BC 、 CE ，一共 3 条. 故选：B. 本题考查了圆的认识，熟记连接圆上任意两点的线段叫弦是解题的关键. 2.【答案】C 【解析】连结 OC ，设 O 的半径为 R ，则 3OE OB BE R    ，先根据垂径定理得到 1 62CE CD  ， 然后在 Rt OCE△ 中，利用勾股定理可计算出 R ，从而得到 O 的直径. 解：连结 OC ，如图， 设 O 的半径为 R ，则 3OE OB BE R    ， CD AB∵ ， 1 1 12 62 2CE DE CD    ∴ ， 在 Rt OCE△ 中， 3OE R  ，OC R ， 2 2 2OE CE OC ∴ ，  2 2 23 6R R  ∴ ，解得 15 2R  ， O∴ 的直径为 15. 故选：C. 初中数学 九年级下册 11 / 30 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理. 3.【答案】C 【解析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出 BC 的长，进而根据垂径定理得出答案. 解：如图，过 O 作 OD AB 于C ，交 O 于 D ， 8CD ∵ ， 13OD  ， 5OC ∴ ， 又 13OB ∵ ， Rt BCO∴ △ 中， 2 2 12BC OB OC   ， 2 24AB BC ∴ . 故选：C. 此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出 AC 的长是解题关键. 4.【答案】D 【解析】①和④、没有前提；②、注意不是直径的弦；③、注意对称轴是直线. 解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过圆心 的直线才是它的对称轴.故选 D.在叙述命题时注意要强调命题成立的条件. 5.【答案】B 初中数学 九年级下册 12 / 30 【解析】连结 CD ，如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到 °90BCD  ，则利用互余可计算 出 °57D  ，然后根据圆周角定理即可得到 A 的度数. 解：连结 CD ，如图， BD∵ 是 O 的直径， °90BCD ∴ ， 而 °33DBC  ， ° ° °90 33 57D   ∴ ， °57A D   ∴ . 故选：B. 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 6.【答案】C 【 解 析 】 由 圆 的 内 接 四 边 形 的 性 质 ， 可 得 °180BAD BCD    ， 又 由 邻 补 角 的 定 义 可 得 ： °180BCD DCE    ，可得 DCE BAD   . 解： °100BAD ∵ ， ° °180 80BCD BAD    ∴ ， ° °180 100DCE BCD    ∴ . 故选：C. 此题考查了圆的内接四边形的性质.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用. 7.【答案】D 【解析】设 O 的半径为 r ， QO m ，则 QP m ，QC r m  ，QA r m  .利用相交弦定理，求出 m 与 初中数学 九年级下册 13 / 30 r 的关系，即用 r 表示出 m ，即可表示出所求比值. 解：如图，设 O 的半径为 r ，QO m ，则 QP m ， QC r m  ， QA r m  . 在 O 中，根据相交弦定理，得 QA QC QP QD  . 即   r m r m m QD    ，所以 2 2r mQD m  . 连接 DO ，由勾股定理，得 2 2 2QD DO QO  ， 即 22 2 2 2r m r mm        ， 解得 3 3m r . 所以， 3 1 3 2 3 1 QC r m QA r m       故选：D. 本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.熟 记并灵活应用定理是解题的关键. 8.【答案】C 【解析】点在圆上，则 d r ；点在圆外，d r＞ ；点在圆内，d r＜ （ d 即点到圆心的距离，r 即圆的半径）. 解： 10 3OP ∵ ＞ ， ∴点 P 与 O 的位置关系是点在圆外. 初中数学 九年级下册 14 / 30 故选：C. 本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键. 9.【答案】D 【解析】利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项. 解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本选项错误； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； C、当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直，故本选项错误； D、直径是同一圆中最长的弦，故本选项正确， 故选：D. 本题考查了圆的认识，了解圆中有关的概念是解答本题的关键，难度不大. 10.【答案】A 【解析】根据题意得出 ABC△ 的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最 小圆面的半径. 解：如图所示：点 O 为 ABC△ 外接圆圆心，则 AO 为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： 5 . 故选：A. 此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键. 11.【答案】C 【解析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的 P 的取值，再结合图象可得出 P 的取值范围，即可得 初中数学 九年级下册 15 / 30 出答案. 解：∵半径为 1 的圆， °45AOB  ，过点 P 且与 OA 平行的直线与 O 有公共点， ∴当 P C 与圆相切时，切点为 C ， OC P C∴ ， 1CO  ， °45P OC  ， 2OP  ， ∴过点 P 且与 OA 平行的直线与 O 有公共点，即 0 2x≤ ≤ ， 同理点 P 在点 O 左侧时， 0 2x≤ ≤ 0 2x∴ ≤ ≤ . 故选：C. 此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键. 12.【答案】A 【解析】先利用切线的性质得到 °90OAP  ，则利用互余和计算出 °40AOP  ，再利用等腰三角形的性 质和三角形外角性质可计算出 B 的度数. 解：∵直线 PA与 O 相切于点 A ， OA PA∴ ， °90OAP ∴ ， ° °90 40AOP P    ∴ ， 初中数学 九年级下册 16 / 30 AOP B OCB    ∵ ， 而 OB OC ， °1 202B AOP   ∴ . 故选：A. 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理 图，得出垂直关系. 二、 13.【答案】70° 【解析】设大量角器的左端点为 A ，小量角器的圆心为 B .利用三角形的内角和定理求出 PBA 的度数.然后 根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数. 解：设大量角器的左端点是 A ，小量角器的圆心是 B ，连接 AP ， BP ，则 °90APB  ， °20PAB  ，因 而 ° ° °90 20 70PBA    ，在小量角器所求弧所对的圆心角为 70°，因而 P 在小量角器上对应的度数为 70°. 故答案为：70°； 本题主要考查了直径所对的圆周角是 90 度.能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键. 14.【答案】8 【解析】连接OA ，由 OC 垂直于弦 AB ，利用垂径定理得到C 为 AB 的中点，在直角三角形 AOC 中，由 OA 与 OC 的长，利用勾股定理求出 AC 的长，即可得出 AB 的长. 解：连接 OA ， OC AB∵ ， C∴ 为 AB 的中点，即 AC BC ， 在 Rt AOC△ 中， 5 cmOA  ， 3 cmOC  ， 初中数学 九年级下册 17 / 30 根据勾股定理得： 2 2 2 25 3 4 cmAC OA OC     ， 2 8 cmAB AC ∴ . 故答案为：8. 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键. 15.【答案】10 【解析】先利用垂径定理得， 6BD  ，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论. 解：如图， 记圆的圆心为 O ，连接 OB ， OC 交 AB 于 D ， OC AB∴ ， 1 2BD AB ， 由图知， 16 4 12 cmAB    ， =2 cmCD ， 6BD ∴ ，设圆的半径为 r ，则 2OD r  ， OB r ， 在 Rt BOD△ 中，根据勾股定理得， 2 2 2OB AD OD  ，  22 36 2r r  ∴ ， 10 cmr ∴ ， 故答案为 10. 初中数学 九年级下册 18 / 30 此题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键. 16.【答案】 5 3 【解析】根据题意得到 1 3MN BC ，当正方形纸片卷成一个圆柱时， EF 卷成一个圆，线段卷成圆上一段 弧，该段弧所对的圆心角为 °1 3603  ，要求圆柱上 M ， N 两点间的距离即求弦 MN 的长. 解：根据题意得： EF AD BC  ， 12 3MN EM EF  ， 把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点 A 与点 D 重合，则线段 EF 形成一直径为10 cm 的圆，线段 EF 为圆上 的一段弧. MN 所对的圆心角为： ° °1 360 1203   ， 所以圆柱上 M ， N 两点间的距离为： °2 5 sin60 5 3 cm   . 故答案为： 5 3 . 此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的 关键. 17.【答案】50° 【解析】由 AB 是 O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角， ACB 的度数，又由在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角相等，求得 ABD 的度数. 解： AB∵ 是 O 的直径， °90ACB ∴ ， °40BCD ∵ ， ° °90 50ACD BCD    ∴ ， °50ABD ACD   ∴ . 故答案为：50°. 此题考查了圆周角定理.此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧 初中数学 九年级下册 19 / 30 所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键. 18.【答案】30° 【解析】根据圆内接三角形的性质得到 °180ADC ABC    ，根据平行四边形的性质的 AOC ABC   ， 根据圆周角定理得到 1 2ADC AOC   ，计算即可. 解：∵四边形 ABCD 为 O 的内接四边形， °180ADC ABC   ∴ ， ∵四边形 ABCO 为平行四边形， AOC ABC  ∴ ， 由圆周角定理得， 1 2ADC AOC   ， °2 180ADC ADC   ∴ ， °60ADC ∴ ， OA OC∵ ， ∴平行四边形 ABCO 为菱形， BA BC∴ ，  BA BC∴ ， °1 302ADB ADC   ∴ ， 故答案为：30°. 本题考查的是圆内接三角形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定，掌握相关的性质定理和判定定理是 解题的关键. 19.【答案】 6.5 cm 或 2.5 cm 【 解 析 】 本 题 应 分 为 两 种 情 况 来 讨 论 ， 关 键 是 得 出 ： 当 点 P 在 O 内 时 ，  直径 最近点的距离 最远点的距离；当点 P 在 O 外时，  直径 最远点的距离 最近点的距离 . 解：点 P 应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论： 初中数学 九年级下册 20 / 30 ①当点 P 在圆内时，最近点的距离为 4 cm ，最远点的距离为 9 cm ，则直径是 4 9 13 cm  ，因而半径是 6.5 cm ； ②当点 P 在圆外时，最近点的距离为 4 cm ，最远点的距离为 9 cm ，则直径是 9 4 5 cm  ，因而半径是 2.5 cm . 故答案为 6.5 cm 或 2.5 cm . 本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有 3 种.设 O 的半径为 r ，点 P 到圆心的距离OP d ， 则有：①点 P 在圆外 ⇔ d r＞ ；②点 P 在圆上 ⇔ d r ；③点 P 在圆内 ⇔ d r＜ .注意到分两种情况进行讨论是 解决本题的关键. 20.【答案】5 【解析】根据圆的确定先做出过 A ， B ， C 三点的外接圆，从而得出答案. 解：如图，分别作 AB 、 BC 的中垂线，两直线的交点为 O ， 以 O 为圆心、 OA 为半径作圆，则 O 即为过 A ， B ， C 三点的外接圆， 由图可知， O 还经过点 D 、 E 、 F 、 G 、 H 这 5 个格点， 故答案为：5. 本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键. 三、 21.【答案】解： AC 与 BD 相等.理由如下： 连结 OC 、 OD ，如图， 初中数学 九年级下册 21 / 30 OA OB∵ ， AE BF ， OE OF∴ ， CE AB∵ ， DF AB ， °90OEC OFD   ∴ ， 在 Rt OEC△ 和 Rt OFD△ 中， OE OF OC OD    ，  Rt OEC Rt OFD HL∴ △ ≌ △ ， COE DOF  ∴ ，  AC BD∴ AC BD∴ . 【解析】连结 OC 、 OD ，由 OA OB ， AE BF ，得到 OE OF ，由 CE AB ， DF AB 得到 °90OEC OFD    ，再根据“ HL ”可判断 Rt OEC Rt OFD△ ≌ △ ，则 COE DOF   ，所以  AC BD ， AC BD . 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）. 也考查了直角三角形全等的判定与性质. 22.【答案】解：作 OF CD 于点 F ，连接 OD . 1AE ∵ ， 5EB  ， 6AB AE BE  ∴ ，半径长是 3. ∵在直角 OEF△ 中， 3 1 2OE OA AE     ， 初中数学 九年级下册 22 / 30 sin OFDEB OE   ， 3sin 2 32OF OE DEB    ∴ . 在直角 ODF△ 中， 2 2 9 3 6DF OD OF     ， 2 2 6CD DF ∴ . 【解析】作 OF CD 于点 F ，连接 OD ，直角 OEF△ 中利用三角函数即可求得 OF 的长，然后在直角 ODF△ 中利用勾股定理即可求得 DF 的长，然后根据垂径定理可以得到 2CD DF ，从而求解. 本题考查了垂径定理、三角函数以及勾股定理，正确作出辅助线是关键. 23.【答案】解：如图，设点 O 为外圆的圆心，连接OA 和 OC ， 10 cmCD ∵ ， 60 cmAB  ， CD AB∵ ， OC AB∴ ， 1 30 cm2AD AB ∴ ， ∴设半径为 r ，则 10OD r  ， 根据题意得：  22 210 30r r   ， 解得： 50r  . ∴这个车轮的外圆半径长为 50. 初中数学 九年级下册 23 / 30 【解析】根据垂径定理求得 30 cmAD  ，然后根据勾股定理即可求得半径. 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键. 24.【答案】证明：（1） C∵ 是 BD 的中点，  CD BC∴ = ， AB∵ 是 O 的直径，且 CF AB^ ，  BC BF∴ = ，  CD BF∴ = ， CD BF∴ = ， 在 BFG△ 和 CDG△ 中， F CDG FGB DGC BF CD ∵ ìÐ = ÐïïÐ = Ðíï =ïî ， ( )BFG CDG AAS∴△ ≌△ ； （2）解法一：如图，连接 OF ，设 O 的半径为 r ， 初中数学 九年级下册 24 / 30 Rt ADB△ 中， 2 2 2BD AB AD= - ，即 ( )22 22 2BD r= - ， Rt OEF△ 中， 2 2 2OF OE EF= + ，即 ( )22 2 2EF r r= - - ，   CD BC BF∵ = = ，  BD CF∴ = ， BD CF∴ = ， ( )22 2 22 4BD CF EF EF∴ = = = ， 即( ) ( )2 22 22 2 4 2r r r轾- = - -犏臌 ， 解得： 1r = （舍）或 3， ( )22 2 2 2 23 3 2 2 12BF EF BE∴ = + = - - + = ， 2 3BF∴ = ； 解法二：如图，过 C 作 CH AD^ 于 H ，连接 AC 、 BC ，  CD BC∵ = ， HAC BAC∴Ð = Ð ， CE AB∵ ^ ， CH CE∴ = ， AC AC∵ = ， 初中数学 九年级下册 25 / 30 ( )Rt AHC AEC HL∴ △ ≌△ ， AE AH∴ = ， CH CE∵ = ， CD CB= ， ( )Rt CDH CBE HL∴ △ ≌△ ， 2DH BE∴ = = ， 2 2 4AE AH∴ = = + = ， 4 2 6AB∴ = + = ， AB∵ 是 O 的直径， °90ACB∴Ð = ， °90ACB BEC∴Ð = Ð = ， EBC ABC∵Ð = Ð ， BEC BCA∴△ ∽△ ， BC BE AB BC ∴ = ， 2 6 2 12BC AB BE∴ = = ´ = ， 2 3BE BC∴ = = . 解法三：如图，连接 OC ，交 BD 于 H ， C∵ 是 BD 的中点， 初中数学 九年级下册 26 / 30 OC BD∴ ^ ， DH BH∴ = ， OA OB∵ = ， 1 12OH AD∴ = = ， OC OB∵ = ， COE BOHÐ = Ð ， °90OHB OECÐ = Ð = ， ( )COE BOH AAS∴△ ≌△ ， 1OH OE∴ = = ， 2 23 1 2 2CE EF∴ = = - = ， ( )22 2 22 2 2 2 3BF BE EF∴ = + = + = . 【解析】（1）根据 AAS 证明： BFG CDG△ ≌△ ； （2）解法一：连接 OF ，设 O 的半径为 r ，由 CF BD= 列出关于 r 的勾股方程就能求解； 解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明 ( )Rt AHC Rt AEC HL△ ≌ △ ，得 AE AH= ， 再证明 ( )Rt CDH CBE HL△ ≌△ ，得 2DH BE= = ，计算 AE 和 AB 的长，证明 BEC BCA△ ∽△ ，列比例式 可得 BC 的长，就是 BF 的长. 解法三：连接OC ，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得 1OH = ，证明 COE BOH△ ≌△ ，并利用勾股 定理可得结论. 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理.第 二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用. 25.【答案】（1）证明：如图. OC OB∵ = ， BCO B∴Ð = Ð . B D∵Ð = Ð ， BCO D∴Ð = Ð ； 初中数学 九年级下册 27 / 30 （2）解： AB∵ 是 O 的直径，且 CD AB^ 于点 E ， 1 1 4 2 2 22 2CE CD∴ = = ´ = ， 在 Rt OCE△ 中， 2 2 2OC CE OE= + ， 设 O 的半径为 r ，则 OC r= ， 2OE OA AE r= - = - ， ( ) ( )2 22 2 2 2r r∴ = + - ， 解得： 3r = ， o∴ 的半径为 3. 【解析】（1）由OB OC= ，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等， 等量代换即可得证； （2）由弦 CD 与直径 AB 垂直，利用垂径定理得到 E 为 CD 的中点，求出 CE 的长，在直角三角形 OCE 中， 设圆的半径OC r= ， OE OA AE= - ，表示出OE ，利用勾股定理列出关于 r 的方程，求出方程的解即可得 到圆的半径 r 的值. 此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键. 26.【答案】解：∵四边形 ABCD 内接于 O ， °180ADC ABC∴Ð +Ð = ， °130ABC∵Ð = ， ° °180 50ADC ABC∴Ð = -Ð = ， °2 100AOC ADC∴Ð = Ð = . OA OC∵ = ， OAC OCA∴Ð = Ð ， 初中数学 九年级下册 28 / 30 ( )° °1 180 402OAC AOC∴Ð = -Ð = . 【解析】先根据圆内接四边形的性质推出 °50ADCÐ = ，再根据圆周角定理推出 °100AOCÐ = ，然后根据等 腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出 OACÐ 的度数.本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定 理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出 AOCÐ 的度数. 27.【答案】解：设 OA 交 O 于 C ，连结 B C¢ ，如图 2， 24OA OA∵ ¢ = ， 而 4r = ， 8OA = ， 2OA∴ ¢= ， 24OB OB∵ ¢ = ， 4OB∴ ¢= ，即点 B 和 B¢重合， °60BOA∵Ð = ， OB OC= ， OBC∴△ 为等边三角形， 而点 A¢为OC 的中点， B A OC∴ ⅱ ^ ， 在 Rt OA B△ ⅱ 中， sin A BA OB OB ⅱⅱÐ = ¢， °4sin60 =2 3A B∴ ⅱ = . 【解析】设 OA 交 O 于C ，连结 B C¢ ，如图 2，根据新定义计算出 2OA¢= ， 4OB¢= ，则点 A¢为OC 的中 点，点 B 和 B¢重合，再证明 OBC△ 为等边三角形，则 B A OCⅱ ^ ，然后在 Rt OA B△ ⅱ 中，利用正弦的定义 可求 A Bⅱ 的长. 初中数学 九年级下册 29 / 30 28.【答案】解：（1）线段 MN 与 BD 垂直. 连接 MB 与 MD ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道 2 ACMB = ， 2 ACMD = ，所以 MB MD= . 三角形 MBD 中， N 是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明： MN 垂直 BD . （2）如图一：连接 BM 、 MD ，延长 DM ，过 B 作 DM 延长线的垂线段 BE ， M∵ 是 AC 的中点， MD AC∴ ^ ， BCM△ 是等边三角形， ∴在 Rt BEM△ 中， °30EMBÐ = ， 4AC∵ = ， 2BM∴ = ， 1BE∴ = ， 3EM = ， 2MD = ， 从而可知 ( )2 1 2 3 2 2 3BD = + + = + 2 3BN∴ = + . 由 Rt BMN△ 得： ( )2 22 2 3 2 3MN = - + = - . 如图二：连接 BM 、 MD ，延长 AD ，过 B 作垂线段 BE ， M∵ 、 N 分别是 AC ， BD 中点， 1 2MD AC∴ = ， 1 2MB AC= ， MD MB∴ = ， °30BAC∵Ð = ， °45CADÐ = ， 初中数学 九年级下册 30 / 30 °60BMC∴Ð = ， °90DMCÐ = ， °30BMD∴Ð = ， °180 30 752BDM∴ -Ð = = ， °45MDA∵Ð = ° °180 60EDB BDM MDA∴Ð = -Ð -Ð = ， 令 ED x= ，则 3BE x= ， 2 2AD = ， 2 3AB = ， ∴由 Rt ABE△ 可得：( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 3 2 2x x= + + ， 解得 2 3x = - ，则 2 2 3BD = - ， M∵ 、 N 分别是 AC ， BD 中点， 2 2 3MD DN∴ = = - . 由 Rt MND△ 可得： ( )2 22 2 3 2 3MN = - - = + . 【解析】（1）根据题意画出图形，再作出辅助线构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行证明； （2）注意要分二种情况讨论：即 B 、 D 在 AC 两侧和 B 、 D 在 AC 同侧. 本题综合考查了等腰三角形的性质和解直角三角形的方法，同时考查了分类讨论思想.