北师大版九年级上册数学第二章测试题及答案

‎ ‎ 北师大版九年级上册数学第二章测试题及答案 ‎(考试时间：120分钟   满分：120分)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共18分)‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎1．用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可变形为( A )‎ A．(x＋2)2＝9 B．(x－2)2＝9‎ C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1‎ ‎2．若方程x2－3kx＋k＋1＝0的两根之积为2，则( D )‎ A．k＝2 B．k＝－1 C．k＝0 D．k＝1‎ ‎3．关于x的方程(m＋1)x2＋2mx－3＝0是一元二次方程，则m的取值是( C )‎ A．任意实数 B．m≠1‎ C．m≠－1 D．m＞1‎ ‎4．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( B )‎ A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900‎ C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900‎ ‎5．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2－7y＋10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为( B )‎ A．8 B．20 C．8或20 D．10‎ ‎6．如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是( D )‎ A．－≤k＜ B．k≠0‎ C．k＜且k≠0 D．－≤k＜且k≠0‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共102分)‎ 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎7．已知方程3x2－9x＋m＝0的一个根是1，则m的值 6 .‎ ‎8．已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0的常数项为0，则m的值为__－2 .‎ 7‎ ‎ ‎ ‎9．已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3＝0，则x2＋3x的值为 1 .‎ ‎10．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，则该三角形的周长为 12 .‎ ‎11．某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每降价1元，则每天可多售出10件．如果每天盈利1 400元，那么每件应降价 6或10 元．‎ ‎12．(成都中考)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝10，则a＝ .‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎13．解方程：‎ ‎(1)(2017·兰州)2x2－4x－1＝0；‎ 解：原方程可化为(x－1)2＝，‎ ‎∴x1＝1＋，x2＝1－；‎ ‎(2)(山西中考)2(x－3)2＝x2－9.‎ 解：2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，‎ ‎(x－3)(2x－6－x－3)＝0，‎ ‎(x－3)(x－9)＝0，‎ x－3＝0或x－9＝0，‎ ‎∴x1＝3，x2＝9.‎ ‎14．(巴中中考)定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算，例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程2x2－bx＋a＝0的根的情况．‎ 解：∵2☆a的值小于0，‎ ‎∴22a＋a＝5a＜ 0，解得a＜ 0.‎ 在方程2x2－bx＋a＝0中，‎ 7‎ ‎ ‎ Δ＝(－b)2－8a≥ －8a＞ 0，‎ ‎∴方程2x2－bx＋a＝0有两个不相等的实数根．‎ ‎15.已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.‎ ‎(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．‎ 解：(1)依题意有Δ＝22－4(a－2)＞ 0，‎ 解得a＜ 3；‎ ‎(2)依题意得1＋2＋a－2＝0，‎ 解得a＝－1，‎ ‎∴原方程为x2＋2x－3＝0.‎ ‎∴x＝＝，‎ 即x1＝1，x2＝－3，‎ ‎∴a＝－1，方程的另一根为－3.‎ ‎16．一个直角三角形的斜边为4 cm，两条直角边的长相差4 cm，求这个直角三角形两条直角边的长．‎ 解：设其中一条较长的直角边长为x cm，‎ 则另一条直角边长为(x－4) cm.‎ 根据题意，得x2＋(x－4)2＝(4)2，‎ 解得x 1＝－4(舍去)，x 2＝8.‎ ‎∴x－4＝4.‎ ‎∴两条直角边的长分别为4 cm，8 cm.‎ ‎17．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的月平均增长率．‎ 解：3月份到5月份月增长是经过2次增长，平均月增长率是每次增长的百分数相同．设平均月增长率为x，则5月份的营业额是：3月份的营业额× (1＋x)2，因此，应先求3月份的营业额．显然，3月份的营业额是2月份的营业额×(1＋10%)＝400(1＋10%)＝440，故依题意，得440(1＋x)2＝633.6，(1＋x)2＝1.44，‎ 7‎ ‎ ‎ 两边直接开平方，得1＋x＝± 1.2，‎ 所以x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．‎ 故3月份到5月份的营业额的月平均增长率为20%.‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．(菏泽中考)某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 000元？‎ 解：设销售单价为x，则：‎ ‎(x－360)[160＋2(480－x)]＝20 000，‎ ‎∴x2－920x＋211 600＝0，‎ 解得x1＝x2＝460.‎ 答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20 000元．‎ ‎19．(十堰中考)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0.‎ ‎(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足x＋x＝31＋|x 1x 2|，求实数m的值．‎ 解：(1)Δ＝b2－4ac＝[－(2m＋3)]2－4(m2＋2)＝12m＋1，‎ ‎∵方程有实数根，‎ ‎∴12m＋1≥ 0，解得m≥ －.‎ ‎(2)∵x 1，x 2是方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0的两个实数根，‎ ‎∴x 1＋x 2＝2m＋3，x 1x 2＝m2＋2＞ 0.‎ ‎∵x＋x＝31＋x1x2，∴(x1＋2)2－2x1x2＝31＋x1x2，‎ ‎∴(2m＋3)2－2(m2＋2)＝31＋m2＋2，‎ ‎∴m2＋12m－28＝0，解得m1＝2，m2＝－14.‎ ‎∵m≥ －，∴m＝2.‎ 7‎ ‎ ‎ ‎20.中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：‎ 每天的售价(元/kg)‎ ‎38‎ ‎37‎ ‎36‎ ‎35‎ ‎…‎ ‎20‎ 每天的销售量(kg)‎ ‎50‎ ‎52‎ ‎54‎ ‎56‎ ‎…‎ ‎86‎ 设当每天的售价从38元/kg下调到x元/kg时，销售量为y kg.已知y是x的一次函数．‎ ‎(1)求y与x的函数表达式；‎ ‎(2)如果这种土特产的成本价是20元/kg，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元？(利润＝销售总金额－成本)‎ 解：(1)∵y与x是一次函数关系．‎ ‎∴设y与x之间的函数表达式是y＝kx＋b(k≠0)．‎ 根据题意，得解得 所以，所求的函数表达式是y＝－2x＋126.‎ ‎(2)设这一天的销售价为x元/kg, 根据题意，‎ 得(x－20)(－2x＋126)＝780.‎ 整理，得x2－83x＋1 650＝0，‎ 解得x1＝33，x2＝50.‎ 答：这一天的销售价应为33元/kg或50元/kg.‎ 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．‎ ‎(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．‎ 解：(1)△ABC是等腰三角形．‎ 理由如下：∵x＝－1是方程的根，‎ ‎∴将x＝－1代入得(a＋c)× (－1)2－2b＋a－c＝0，‎ ‎∴a＋c－2b＋a－c＝0，‎ ‎∴a－b＝0，∴a＝b，‎ 7‎ ‎ ‎ ‎∴△ABC是等腰三角形；‎ ‎(2)△ABC是直角三角形．‎ 理由如下：∵方程有两个相等的实数根，‎ ‎∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，‎ ‎∴4b2－4a2＋4c2＝0，‎ ‎∴a2＝b2＋c2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形．‎ ‎22．某单位于“三·八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：‎ 领队：组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少？‎ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．‎ 领队：超过25人怎样优惠呢？‎ 导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．‎ 该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2 700元．‎ 请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人？‎ 解：设该单位这次参加旅游的共有x人，‎ ‎∵100× 25＜ 2 700，∴x＞ 25.‎ 依题意，得[100－2(x－25)]x＝2 700，‎ 整理，得x2－75x＋1 350＝0.‎ 解得x1＝30，x2＝45.‎ 当x＝30时，100－2(x－25)＝90＞ 70，符合题意．‎ 当x＝45时，100－2(x－25)＝60＜ 70，不符合题意，舍去．‎ ‎∴x＝30.‎ 答：该单位这次参加旅游的共有30人．‎ 六、(本大题共12分)‎ 7‎ ‎ ‎ ‎23．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动．如果P，Q两点同时出发：‎ ‎(1)经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2?‎ ‎(2)当△PBQ的面积等于4 cm2时，△PBQ是什么形状的三角形？‎ 解：(1)如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.‎ ‎∵∠ABC＝30°，‎ ‎∴2QE＝QB.∴S△PBQ＝·PB·QE.‎ 设经过t s后△PBQ的面积等于4 cm2，‎ 则PB＝6－t，QB＝2t，QE＝t.‎ 根据题意，·(6－t)·t＝4.‎ t2－6t＋8＝0，t1＝2，t2＝4.‎ 当t＝4时，2t＝8，8＞ 7，不合题意舍去，所以t＝2.‎ 答：经过2 s后△PBQ的面积等于4 cm2.‎ ‎(2)∵△PBQ的面积等于4 cm2时，t＝2，‎ ‎∴PB＝6－t＝6－2＝4，QB＝2t＝4，∴QB＝PB，‎ ‎∴△PBQ是等腰三角形．‎ 7‎