北师大版九年级上册数学第一章测试题及答案

北师大版九年级上册数学第一章测试题及答案 ‎(考试时间：120分钟   满分：120分)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共18分)‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( A )‎ A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补 ‎2．下列命题中，错误的是( C )‎ A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．矩形的对角线相等且互相垂直平分 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 ‎3．如图，在平面直角坐标系中，正方形OACB的顶点O，C的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点B的坐标是( C )‎ A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)‎ ‎ ‎ 第3题图      第4题图 ‎4．如图所示，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长是30 cm，则AB的长为( A )‎ A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．7.5 cm ‎5．若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两个邻角的度数比为( C )‎ A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1‎ ‎6．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O.过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为( A )‎ A．1 B．2 C. D. 9‎ ‎ ‎ 第6题图       第7题图 第Ⅱ卷(非选择题 共102分)‎ 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎7．如图，延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，AE交CD于F，则∠E＝__22.5°__.‎ ‎8．矩形的两邻边长分别为3 cm和6 cm，则顺次连接各边中点，所得四边形的形状一定是 菱形 ，其面积是 9 cm2.‎ ‎9．★如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是__4__.‎ ‎ ‎ ‎ 第9题图    第10题图 ‎10．如图所示，矩形中有两个相邻的正方形，面积分别是3和9，那么阴影部分的面积是__3－3__.‎ ‎11．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF＝__7__，CD＝__5__.‎ ‎ ‎ ‎ 第11题图      第12题图 ‎12．★(徐州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝ .‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎13．(广州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD 9‎ 的度数．‎ 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO.‎ ‎∵AB＝AO，∴AO＝BO＝AB.‎ ‎∴△ABO是等边三角形，‎ ‎∴∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，‎ 即∠ABD＝60°.‎ ‎14．如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE＝CF.‎ 证明：∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴AC＝BD，则BO＝CO.‎ ‎∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，‎ ‎∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∠BOE＝∠COF，‎ ‎∴△BEO≌△CFO.∴BE＝CF.‎ ‎15．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.求证：△BCE≌△DCF.‎ 证明：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴BC＝DC，∠BCD＝90°，‎ 9‎ ‎∴∠BCE＝∠DCF＝90°.‎ 在△BCE与△DCF中， ‎∴△BCE≌△DCF.‎ ‎16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，EF平分∠BED，求证：EF⊥BD.‎ 证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，‎ ‎∴△ABC和△ADC都是直角三角形，‎ 且有公共斜边AC.‎ 又∵E是公共斜边AC的中点，‎ ‎∴BE＝DE＝AC.‎ 又∵EF平分∠BED，∴EF⊥BD.‎ ‎17．(广安中考)如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF＝BE.‎ 证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴CD＝BC，∠ABC＝∠ADC，‎ ‎∴∠CBE＝∠CDF.∵CF⊥AD，CE⊥AB，‎ ‎∴∠CFD＝∠CEB＝90°，‎ 在△CEB和△CFD中，‎ 9‎ ‎∴△CEB≌△CFD(AAS)，‎ ‎∴DF＝BE.‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．(荆州中考)如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.‎ ‎(1)求证：△ACD≌△EDC；‎ ‎(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．‎ ‎(1)证明：∵△DCE是由△ABC平移而得到的，∴△DCE≌△ABC.‎ ‎∵△ACD≌△CAB，∴△ACD≌△EDC；‎ ‎(2)解：△BDE是等腰三角形．理由如下：‎ ‎∵AC＝DE，AC＝DB，∴DE＝DB，‎ ‎∴△BDE是等腰三角形．‎ ‎19．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC相交于点G.‎ ‎(1)求证：AE＝CF；‎ ‎(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的度数．‎ ‎(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC＝90°，AB＝BC.‎ 9‎ ‎∵BE⊥BF，∴∠FBE＝90°.‎ ‎∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∠CBF＋∠EBC＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.‎ 在△AEB和△CFB中， ‎∴△AEB≌△CFB(SAS)，∴AE＝CF.‎ ‎(2)解：∠EGC＝80°.‎ ‎20．(贺州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O.‎ ‎(1)求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎(2)若CD＝3，BD＝2，求四边形ABCD的面积．‎ ‎(1)证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.‎ 又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，‎ ‎∴∠ADB＝∠CBD.‎ 又∵AC⊥BD，AB＝AD，‎ ‎∴BO＝DO(等腰三角形“三线合一”)．‎ 在△AOD和△COB中， ‎∴△AOD≌△COB(ASA)，∴AO＝CO.‎ 又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝BD＝.‎ 在Rt△CDO中，OC＝＝＝2，∴AC＝4.‎ 9‎ ‎∴S菱形ABCD＝AC·BD＝× 4× 2＝4.‎ 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．如图，在▱ABCD中，点E，F在直线AC上(点E在F左侧)，BE∥DF.‎ ‎(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；‎ ‎(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．‎ ‎(1)证明：连接BD，交AC于点O，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.‎ 由BE∥DF得∠BEO＝∠DFO.‎ 又∵∠EOB＝∠FOD，∴△BEO≌△DFO.‎ ‎∴BE＝DF.又∵BE∥DF，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形．‎ ‎(2)解：∵AB⊥AC，AB＝4，BC＝2，‎ ‎∴AC＝6，∴AO＝3，‎ ‎∴在Rt△BAO中，BO＝5.‎ 又∵四边形BEDF是矩形，‎ ‎∴OE＝OB＝5，‎ ‎∴点E在OA的延长线上，且AE＝2.‎ ‎22．(杭州中考)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.‎ ‎(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．‎ 9‎ 解：(1)关系：AG2＝GE2＋GF2.‎ 理由：连接CG.∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴点A，C关于对角线BD对称，‎ ‎∵点G在BD上，∴GA＝GC，‎ ‎∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，‎ ‎∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，‎ ‎∴四边形EGFC是矩形，∴CF＝GE，‎ 在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，‎ ‎∴AG2＝GF2＋GE2；‎ ‎(2)作AM⊥BG于M，依题意知：∠AGM＝60°，∠GAM＝30°.‎ 设GM＝x，则AM＝BM＝x.‎ 在Rt△ABM中，∵AM2＋BM2＝AB2，‎ ‎∴(x)2＋(x)2＝1，∴x＝，‎ ‎∴BG＝x＋x＝＋× ＝.‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23．(威海中考)如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.‎ ‎(1)求证：AD＝AF；‎ ‎(2)求证：BD＝EF；‎ ‎(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．‎ ‎(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°.‎ ‎∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝135°，‎ ‎∴∠ABF＝∠ACD.‎ 9‎ ‎∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD.‎ 在△ABF和△ACD中，‎ AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，BF＝CD，‎ ‎∴△ABF≌△ACD，∴AD＝AF.‎ ‎(2)证明：由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，‎ ‎∴∠FAB＝∠DAC.‎ ‎∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°.‎ ‎∴∠EAF＝∠BAD.‎ ‎∵AB＝AC，AC＝AE，∴AB＝AE.‎ 在△AEF和△ABD中，AE＝AB，‎ ‎∠EAF＝∠BAD，AF＝AD，‎ ‎∴△AEF≌△ABD.∴BD＝EF.‎ ‎(3)解：四边形ABNE是正方形．理由：‎ ‎∵CD＝CB，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝45°.‎ ‎∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝90°，∴∠ABN＝90°.‎ 由(2)知∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，‎ ‎∴∠AEF＝∠ABD＝90°.‎ ‎∴四边形ABNE是矩形．‎ 又∵AE＝AB，∴矩形ABNE是正方形．‎ 9‎