北师大版九年级上册数学期末测试题及答案

北师大版九年级上册数学期末测试题及答案 ‎(考试时间：120分钟   满分：120分)‎ 第Ⅰ卷(选择题 18分)‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎1．下列立体图形中，主视图是圆的是( A )‎ ‎2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形( A )‎ A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF ‎ ‎ 第2题图       第3题图 ‎3．如图，双曲线y＝的一个分支为( D )‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a，b是关于x的方程x2－7x＋c＋7＝0的两根，那么AB边上的中线长是( B )‎ A. B. C．5 D．2‎ ‎5．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连接CF，则S△CEF∶S四边形BCED为( A )‎ A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5‎ ‎ ‎ 第5题图       第6题图 9‎ ‎6．一只蚂蚁在如图所示的树上觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，它获得食物的概率是( A )‎ A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题 102分)‎ 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎7．一元二次方程x2－3x－1＝0与x2－x－3＝0的所有实数根的和等于__4__.‎ ‎8．有四张扑克牌，分别为红桃3，红桃4，红桃5，黑桃6，背面朝上洗匀后放在桌面上，从中任取一张放回记下数字和颜色，再背面朝上洗匀，然后再从中随机取一张，两次都为红桃，并且数字之和不小于8的概率为 .‎ ‎9．如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，若A的坐标为(－3，4)，则A′的坐标为 .‎ ‎ ‎ 第9题图      第10题图 ‎10．如图所示的几何体由若干个棱长为1的正方体堆放而成，则这个几何体的俯视图面积是__5__.‎ ‎11．如图，已知反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO，AB，且AO＝AB，则S△AOB＝__6__.‎ ‎ ‎ 第11题图      第12题图 ‎12．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上的一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是__5或5或4 .‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ 9‎ ‎13．解方程：‎ ‎(1)x2－6x－6＝0； (2)2x2－7x＋3＝0.‎ 解：x1＝3＋，x2＝3－；    解：x1＝，x2＝3.‎ ‎14．如图所示，在正方形ABCD中，AB＝4，P是BC边上一动点(不与B，C重合)，DE⊥AP于E.‎ ‎(1)试说明△ADE∽△PAB；‎ ‎(2)若PA＝x，DE＝y，请写出y与x之间的函数关系式．‎ 解：(1)∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠EAD＋∠BAP＝90°，‎ ‎∠BAP＋∠APB＝90°，∴∠EAD＝∠APB，‎ 又∵DE⊥AP，∠AED＝∠B＝90°，‎ ‎∴△ADE∽△PAB.‎ ‎(2)由(1)知△PAB∽△ADE，∴＝，‎ ‎∴＝，∴y＝(4＜ x＜ 4)．‎ ‎15．已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.‎ ‎(1)若此方程的一个根为1，求m的值；‎ ‎(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．‎ ‎(1)解：把x＝1代入方程x2＋mx＋m－2＝0得1＋m＋m－2＝0，‎ 解得m＝.‎ ‎(2)证明：Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4.‎ 9‎ ‎∵(m－2)2≥0，‎ ‎∴(m－2)2＋4＞ 0，即Δ＞ 0恒成立，‎ ‎∴此方程有两个不相等的实数根．‎ ‎16．如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．‎ ‎(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的两倍(即新三角形与原三角形的位似比为2)，画出图形；‎ ‎(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标．‎ 解：(1)画图略；‎ ‎(2)B′(－6，2)，C′(－4，－2)．‎ ‎17．如图，过△ABC的顶点A分别作∠ACB及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E，F，连接EF交AB于M，交AC于N.‎ 求证：(1)四边形AECF是矩形；‎ ‎(2)MN＝BC.‎ ‎(1)证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，‎ ‎∠ACB＋∠ACD＝180°，‎ ‎∴∠ACB＋∠ACD＝90°，‎ 即∠ACE＋∠ACF＝90°，即∠ECF＝90°.‎ 又∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°.‎ ‎∴四边形AECF是矩形．‎ 9‎ ‎(2)由(1)知四边形AECF是矩形，∴AN＝CN＝MN＝NF，‎ ‎∴∠NMC＝∠NCE.又∵∠NCE＝∠BCE，∴∠NMC＝∠BCE，‎ ‎∴MF∥BC.又∵AN＝CN，即N为AC的中点，‎ ‎∴M为AB的中点，∴MN为△ABC的中位线，∴MN＝BC.‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放(发放的食品价格一样)，食堂在昨天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．‎ ‎(1)按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 不可能 事件；(可能，必然，不可能)‎ ‎(2)请用列表法或画树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．‎ 解：画树状图如下：‎ ‎∴小张同学得到猪肉包和油饼的概率为＝.‎ ‎19．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．‎ ‎(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？‎ ‎(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7 200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？‎ 解：(1)由题意得60×(360－280)＝4 800元，‎ 即降价前商场每月销售该商品的利润是4 800元；‎ ‎(2)设每件商品应降价x元，‎ 9‎ 由题意得(360－x－280)(5x＋60)＝7 200，‎ 解得x1＝8，x2＝60.‎ 要更有利于减少库存，则x＝60.‎ 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7 200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．‎ ‎20．已知：如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，AE＝GF＝CG.‎ ‎(1)求证：四边形AEFG是平行四边形；‎ ‎(2)当∠FGC＝2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形．‎ 证明：(1)∵FG＝GC，∴∠GFC＝∠C.‎ ‎∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠GFC，‎ ‎∴AE∥FG.又∵AE＝GF，‎ ‎∴四边形AEFG是平行四边形．‎ ‎(2)∵∠GFC＝(180°－∠FGC)，‎ ‎∠FGC＝2∠EFB，∴∠GFC＝(180°－2∠EFB)，‎ ‎∴∠GFC＋∠EFB＝90°，∴∠EFG＝180°－∠GFC－∠EFB＝90°.‎ 又由(1)证得四边形AEFG是平行四边形，‎ ‎∴四边形AEFG是矩形．‎ 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6 m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m和1 m，那么塔高AB为多少米？‎ 9‎ 解：如图，延长CD交AE于G，‎ 作DF⊥CD交AE于F.‎ 由题意可知＝，＝，‎ ‎∴FD＝14.4，DG＝9，‎ ‎∵FD⊥BG，AB⊥BG，‎ ‎∴FD∥AB.∴△GFD∽△GAB.‎ ‎∴＝.∴＝.∴AB＝24.‎ 答：塔高为24米．‎ ‎22．如图所示，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于F，DE＝CD.‎ ‎(1)求证：△ABF∽△CEB；‎ ‎(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．‎ ‎(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，‎ ‎∴△ABF∽△CEB.‎ ‎(2)解：∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠C，‎ 又∵∠E＝∠E，∴△DEF∽△CEB.‎ ‎∵AB∥CD，∴∠A＝∠EDF.‎ 9‎ 又∵∠EFD＝∠BFA，∴△ABF∽△DEF，‎ ‎∵DE＝CD，∴＝，＝.‎ ‎∴＝＝，＝＝，‎ ‎∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，‎ ‎∴S四边形BCDF＝S△BCE－S△DEF＝16，‎ ‎∴S▱ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23．如图，已知一次函数y＝x－3与反比例函数y＝的图象相交于点A(4，n)，与x轴相交于点B.‎ ‎(1)填空：n的值为 3 ，k的值为 12 ；‎ ‎(2)以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；‎ ‎(3)考虑反比例函数y＝的图象，当y≥－2时，请直接写出自量x的取值范围．‎ 解：(2)∵直线y＝x－3与x轴相交于点B，‎ ‎∴x－3＝0，∴x＝2，‎ ‎∴B点坐标为(2，0)．‎ 过点A作AE⊥x轴，垂足为E，‎ 过点D作DF⊥x轴，垂足为F.‎ ‎∵A(4，3)，B(2，0)，‎ 9‎ ‎∴OE＝4，AE＝3，OB＝2.‎ ‎∴BE＝OE－OB＝4－2＝2.‎ 在Rt△ABE中，AB＝＝＝.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴BC＝CD＝AB＝，AB∥CD，‎ ‎∴∠ABE＝∠DCF.‎ 又∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，‎ ‎∴∠AEB＝∠DFC＝90°，‎ ‎∴△ABE≌△DCF，‎ ‎∴CF＝BE＝2，DF＝AE＝3.‎ ‎∴OF＝OB＋BC＋CF＝2＋＋2＝4＋.‎ ‎∴点D的坐标为(4＋，3)．‎ ‎(3)x≤－6或x＞ 0.‎ 9‎