北师大版七年级数学上册第四章基本平面图形
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北师大版七年级数学上册第四章基本平面图形

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时间:2021-05-08

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资料简介
4.1 线段、射线、直线 第四章 基本平面图形 1.在现实情境中理解线段、射线、直线等简单图形. 2.会说出线段、射线、直线的特征;会用字母表示线 段、射线、直线. 3.通过操作活动,了解两点确定一条直线等事实. 【学习重点】 线段、射线与直线的概念及表示方法. 【学习难点】 直线的性质的发现、理解及应用. 学习目标 绷紧的琴弦,手电筒射出的光线,向两 方无限延伸的笔直的铁轨等,它们可以分别 抽象出哪些简单的平面图形呢? 线段、射线、直线一 合作探究 预习教材第106页的内容,并完成下 表: 线段AB 或线段a 不能延伸 两个 能 射线OA 一方延伸 一个 否 直线AB 或直线m 两方延伸 没有 否 例1 如图所示,下列说法正确的是(  ) A.直线AB和直线CD是不同的直线 B.射线AB和射线BA是同一条射线 C.线段AB和线段BA是同一条线段 D.直线AD=AB+BC+CD 典例精析 [解析] 在直线上任意两个大写字母都可 以表示这条直线,所以A错;表示射线时,第一 个字母表示射线的端点.端点字母不同,射线必 然不同,所以B错;直线无长短,所以D错. C 练一练 1.下列图形中表示射线AB的是(  ) 2.下列关于直线的表示方法正确的是(  ) B C 例2 如图,已知平面上三点A、B、C. (1)画线段AB; (2)画直线BC; (3)画射线CA; 解:(1)、(2)、(3)题解答如图所示. (4)如何由线段AB得到射线AB和直线AB呢? (4)将线段AB向AB方向延伸得到射线AB,将线段 AB向两个方向延伸得到直线AB,如图所示. (5)直线AB与直线BC有一个公共点,如图所示. (5)直线AB与直线BC有几个公共点? 图中直线AB,射线CD,线段MN能够相交的是(  ) 练一练 D 联系:都是直的,线段向一个方向延伸可以得到 射线, 线段向两个方向延伸可以得到直线. 区别:直线可以向两个方向无限延伸,射线可以向 一个方向延伸,线段本身不能延伸. 总结归纳 线段、射线、直线的联系与区别 由此可知, 射线、线段都是直线的一部分.线段是 射线的一部分. 直线没有端点,射线有一个端点,线段有两个端点. 两点确定一条直线二 (1) 过一点 O 可以画几条直线? (2) 过两点A、B可以画几条直线? 议一议 ·O ·A ·B 经过两点有且只有一条直线. 结论: (3)如果你想将一根细木条固定在墙上,至少需要 几个钉子?这样做的依据是什么吗? 举一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例. 练一练 1.植树时,只要定出两个树坑的位置就能确定 同一行的树坑所在的直线. 2.射击的时候瞄准目标 图中共有几条线段?说明你分析这个问 题的具体思路; 合作探究 以A为端点的线段有AB,AC,AD,AE,共4条,以 B为端点且与前面不重复的线段有BC,BD,BE,共3条, 以C为端点且与前面不重复的线段有CD,CE,共2条,以 D为端点且与前面不重复的线段有DE,共1条,从而共有 4+3+2+1=10(条)线段.  指出下图中线段、射线、直线分别有多少条? 并把线段表示出来. 解:线段有3条,分别为线段AB、线段AC、线段BC. 射线有6条.  直线有1条. 自己尝试把6 条射线画出来 练一练 2.下列现象:①农民伯伯拉绳插秧;②解放军叔叔 打靶瞄准;③学生早操队列对齐;④在墙上至少要用 两根钉子才能把木条固定;⑤改直弯曲的河道,缩短 航程.其中可以用“两点确定一条直线”来解释的有 __________.(填序号) 1.下列说法中,错误的是(  ) A.经过一点的直线可以有无数条 B.经过两点的直线只有一条 C.一条直线只能用一个字母表示 D.线段EF与线段FE是同一条线段 C ①②③④ 当堂练习 3.当一条直线上有 n 个点时,则有几条射线? 有几条线段? ● ● ● ● ● A B C D E 答案: 有 2n 条射线,有 0.5n(n-1) 条线段 线段、射线、直 线的联系与区别 两点确定 一条直线 {线段、射线、直线 课堂小结 4.2 比较线段的长短 学习目标 1.借助具体情境,了解“两点之间的所有连线 中,线段最短”的性质. 2.能借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长 短. 3.能用直尺和圆规作一条线段等于已知线段. 【学习重点】 线段长短的两种比较方法:线段中点的概念及表 示方法;线段的和、差、倍、分关系. 【学习难点】 叠合法比较两条线段大小;会画一条线段等于已 知线段. 1.直线、射线、线段的定义 2.直线、射线、线段之间的关系 3.直线、射线、线段的表示方法 知识回顾 如图,AB=6 cm,点C是线段AB的中 点,点D是线段CB的中点,求AC,AD的长度. 解:AC=3 cm,AD=4.5 cm. 自主探究 问题2: 黑板上有两条线段,你能判断一下它们 的长短吗?你有什么方法来验证你的判断? 1.度量法 2.叠合法(叠合法要注意什么问题?) a b A(C) B D 图1 A(C) BD 图2 A(C) B(D) 图3 3.判断线段AB和CD的大小. (1)如图1,线段AB和CD的大小关系是AB CD; (2)如图2,线段AB和CD的大小关系是AB CD ; (3)如图3,线段AB和CD的大小关系是AB CD. < > = 自主探究 4.已知,如图,M、N把线段AB三等分,C为NB的中点,且 CN=5 cm,则AB=________cm. 5.如图,从A地到B地有三条路①, ②,③可走(图中“┍,“┙”, “┕”表示直角),则第________ 条路最短,另外两条路的长短关系 是________. 30 ③ 相等 自主探究 变式:如果线段AB=6,点C在直线AB上,BC=4,D是AC 的中点,那么A、D两点间的距离是(  ) A.5 B.2.5 C.5或2.5 D.5 或1【解析】本题有两种情形: (1)当点C在线段AB上时,如图: AC=AB-BC, 又∵AB=6,BC=4, ∴AC=6-4=2, ∵D是AC的中点, ∴AD=1; (2)当点C在线段AB的延长线上时,如图: AC=AB+BC, 又∵AB=6,BC=4, ∴AC=6+4=10, ∵D是AC的中点, ∴AD=5.故选D. 方法总结:解答本题关键是正确画图,本题渗透了 分类讨论的思想,体现了思维的严密性,在今后解决 类似的问题时,要防止漏解. A B 问题6: 如图,从A地到B地有四条道路,除它们之外能否 再修一条从A地到B地的最短道路?如果能,请联系 你以前所学的知识,在图上画出最短路线. 1. 两点的所有连线中,线段最短. 简单地说:两点之间,线段最短. 2. 连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离. 这节课你学到了什么? 画一条线段等于已知线段 线段比较大小 线段的和、差、分点(中点、三等分点等) 两点之间线段最短 两点的距离定义 知识梳理 A CB D 解:∵ 点C是线段AD的中点 ∴AD=2AC=10 ∴AB=AD-BD =10-6 =4cm 即 线段AB的长是4cm 练习1:如图,B、C为线段AD上的两点,点C为线段 AD的中点,AC=5cm,BD=6cm,求线段AB的长度? 随堂练习 A BM NP 线段PB=________.AM=_______.BM=_______28cm 40cm 40cm 线段PM=________.AP=_______.AN=_______12cm 52cm 66cm 练习2:已知线段AB=80cm,M为AB的中点,P在MB上, N为PB的中点,且NB=14cm。 4.3 角 学习目标 1.通过实际情境,理解角的有关概念,掌握角 的表示方法. 2.会进行角的度量,以及度、分、秒的互化. 3.进一步认识锐角、钝角、直角、平角、周角 及其大小关系. 【学习重点】 理解角的概念与表示方法,学会角度的测量,以 及度、分、秒的互化. 【学习难点】 度、分、秒的互化. 图形 表示方法 端点个数 延伸方向 线段 射线 直线 1.填表: 线段AB 或线段a 射线AB 或射线a 直线AB 或直线a 两个 一个 0个 不向任何一方延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 知识回顾 2.下图中共有几条线段? 我们知道,线段是一种基本的几何图形, 角也是一种基本的几何图形.在小学我们已经 对角有些粗浅的认识,本节课在已有的知识基 础上,我们将对角作进一步的研究. 引入新知 现实有关角的实物 角 是 怎 样 构 成 的? 自主预习 1.角:有公共端点的两条射线组成的图形叫 做角.公共端点叫角的顶点,两条射 线叫角的边.——角的静态定义. 顶点 射线 射线 边 边 通过以上生活中的实例以 及小学对角的认识,根据你的理解, 如何定义一个角? 自主探究 如图,如何表示这个角? (1)用三个大写字母: ∠AOB 或∠BOA ; A O B 注意: 1.用三个大写字母表示时, 中间字母是顶点字母; 2.用一个大写字母表示时, 顶点处只能有一个角. 或用一个大写字母: ∠O. 角用符号“∠”来表示. 角的表示: C ∠BOC能记作 ∠O 吗?为什 么? 角的表示: (2)用一个数字加弧线表示: 1 α (3)用一个小写希腊字母加弧线表示: ∠1 ∠α 注意: 这两种方法必须在图上标注后才能 使用,并且只能表示单独的一个角. A O B C1 能把∠AOB记作 ∠1吗?为什么? 2.角也可以看做一条射线绕端点旋转所组成的 图形——角的动态定义。 B B O B O A B 3)射线 OA绕点O 旋转360度后,回到原来的位置 时,所成的角叫做 。 OB A 2)射线 OA绕点O旋转180度后,终边OB和始边 OA 成一直线时,所成的角叫做 ; 3.特殊角的类型 1)射线 OA绕点O 旋转90度 后,终边OB和始边 OA垂直时, 所成的角叫做 。 O A B 平角 直角 周角 4.把一个周角360等分,每一份就是1度的角, 记做1°.除了“度”之外,还有其它的度量单位 吗? 1°的60分之一为1分,记作1′,即1°=60′ 1′的60分之一为1秒,记作1″,即1′=60″ 角的度、分、秒是60进制 的,这和计量时间的时、分、 秒是一样的. 5.如图,已知∠AOB,用量角器量出它的度数. A O B 1.对中——角的顶点对量角器的中心; 3.读数——读出角的另一边所对的度数. 2.重合——角的一边与量角器的零线重合; 用量角器度量角的方法: A O B 如图,已知∠AOB,画∠EOF = ∠AOB, 你有什么方法? 先量,再画. 角 有公共端点的两条射线 组成的图形 一条射线绕着它的端点 旋转而成的图形 用三个大写字母或 一个大写字表示. 用一个数字表示 用一个希腊字母表示 角的定义 角的表示 方法 知识梳理 1. 判断下面各角的表示方法是否正确. A B C A B C A B C A B C A B C ∠ACB ∠B∠ABC∠CAB ∠A ( ) ( ) ( ) ( ) ( )× × × √ √ 2. 下面表示∠DEF 的图是( ) E D E F (1) E D F (2) D E F (3) D EF (4) (3) 随堂练习 3. 请你把图中用数字表示的角改为用 字母表示的角. 4.如图,点O是直线AB上任意一点,OC、 OD、OE是三条射线,图中共有几个小于平角 的角? 9个 1.1小时= 分, 1分= 秒. 2.3.3小时= 小时 分, 2小时30分= 小时. 3.1°= ′,1′= ″. 4.0.75°= ′= ″, 34.37°= ° ′ ″. 5.1800″= °,39°36′= °. 60 60 3 18 2.5 60 60 45 34 22 12 0.5 39.6 2700 5.填一填: 4.4 角的比较 学习目标 1.会比较角的大小,能估计一个角的大小. 2.认识角的平分线,会画角的平分线. 3.进一步丰富对角与锐角、钝角、直角、平 角、周角及它们的大小关系的认识. 【学习重点】 会比较角的大小,会分析图中角的和差关系, 能熟练运用角的平分线. 【学习难点】 角的和、差、倍、分关系. 3. 如图,已知线段AB、CD,你有哪些办法 比较它们的大小? 1.叠合法 2.度量法 1.角是怎样形成的图形? 2.请同学们回忆一下,前面我们学习了 线段的哪些内容? 知识回顾 类比线段大小的比较,你认为该如何比较两个 角的大小?试着画图来解决. 1.度量法 ∠ABC >∠DEF B C A FE D 70° 30° 引入新知 2.叠合法 步骤: 1. 将两个角的顶点及一边重合, 2. 两个角的另一边落在重合一边的同侧, 3.由两个角的另一边的位置确定两个角的 大小. ∠AOC=∠AOB ∠BOC+ O A C B 1.如图,图中共有几个角?它们之间有什么关 系? ∠AOB=∠AOC ∠BOC- 自主预习 D C B AO ∠AOC=∠AOB+∠__ ∠BOD=∠COD+∠__ ∠AOC=∠AOD-∠__ ∠BOD=∠__-∠__ BOC BOC COD AOBAOD 2.填空 30°、45°、60°、90°、15°、75°、105°、 120°、135°、150°、 180° 3.如图,借助三角尺画出15°,75°的 角。  利用三角板 还可以画出哪 些度数的角? 4.角平分线 如右图,如果∠AOB=∠BOC, A B C O 从角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射 线,叫做这个角的平分线. 类似地,还有角的 三等分线等…… αα α A B C D O OB、OC是∠AOD的三等分线。 那么射线OB叫做∠AOC的角 平分线。 例1.如图,OB平分∠COD,∠AOB=90°,∠AOC=125°, 求∠COD的度数。 ∠BOC = ∴∠BOD=∠BOC =35° ∴∠COD=35°×2=70° D B C O A ∠AOC-∠AOB =125°-90° 解: =35° ∵OB平分∠COD 自主探究 例2.如图,OC平分∠AOD,∠BOD=2∠AOB.若 ∠AOD=114°,求∠BOC的度数? A B C DO =57°-38° =19° 解:  57 2 1 AODAOC  38 3 1 AODAOB AOBBOD  2 AODOC 平分 AOBAOCBOC  如图∠AOB=∠COD=900, ∠AOD=1460,∠BOC= .340 O D C B A 练习一 随堂练习 如图,OD平分∠AOC,OE平分∠COB, ①如∠AOC=70°,∠COB=40°,∠DOE= . ②如果∠DOE=n°,则∠AOB= . D B AO C E (2n)° 55° 练习二 已知O为直线AB上一点,OE平分∠AOC, OF平分 ∠COB,则∠EOF= . A B E C F O 练习三 90° O A BC D 如图:∠AOC=∠BOD=90° ⑴已知∠BOC=20 °,则∠AOD= .160 ° ⑵已知∠AOD=150 °,则∠BOC= .30 ° 练习四 图中∠1=∠2,试判断∠BAD和∠EAC的大小, 并说明 理由. AB C D E 1 2 ∠BAD=∠EAC解: 理由是: ∵∠1=∠2 ∴∠1+∠3=∠2+∠3 即∠BAD=∠EAC 3 练习五 如图所示的正方形网格 中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= . 1 2 3 4 5 6 7 思考题 思路分析 ∠1+∠7=90° ∠2+∠6=90° ∠3+∠5=90° ∠4=45° 315° 1.角的大小比较方法(叠合、度量)。 2.角的和差关系。 3.角的平分线的性质。 知识梳理 4.5 多边形和圆的初步认识 1.在具体情境中认识多边形、正多边形、弧、扇 形等有关概念. 2.了解多边形的对角线,会利用对角线分割多边 形. 3.了解圆心角的概念,会借助圆心角求扇形的面 积. 【学习重点】 掌握正多边形的边、角的特点和扇形圆心角的求 法. 【学习难点】 多边形对角线条数计算公式的推导. 学习目标 有哪些熟悉的平面图形? 有哪些熟悉的平面图形? 有哪些熟悉的平面图形? 多边形一 合作探究 这些图形是由什么样的线按怎样的方式组成的? 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形. 问题: 多边形的相关概念 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接 组成的封闭平面图形叫做多边形. 组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点. 在多边形中,连接不相邻两个顶点的线段叫做 多边形的对角线. 我们平常所说的多边形都是指凸多边形,即多 边形总在任何一条边所在直线的同一侧 提示: A C D E B 如图,在多边形ABCDE中,点A、点B等是多 边形的顶点;线段AB、线段BC等是多边形的边; ∠EAB、∠B等是多边形的内角(简称多边形的角); 如线段AC、线段AD是多边形的对角线. 你还能画出 图中其他的 对角线吗? 做一做 1.三角形有几个顶点,几条边,几个内角?四 边形有几个顶点,几条边,几个内角?n边形呢? 2.从四边形的一个顶点出发,可以画出几条对 角线? 从五边形的一个顶点出发,可以画出几条对 角线?n边形呢? 3.从n边形一个顶点出发的对角线,把n边形分 割成多少个三角形? 归纳总结 n 边形有n 个顶点,n条边,n 个内角 从n 边形的一个顶点出发,可以画出 (n-3)条对角线 从n 边形一个顶点出发的对角线, 把n 边形分割成(n-2)个三角形 1.一个多边形从一个顶点最多能引出 2016条对角线,这个多边形的边数是(  ) A.2016 B.2017 C.2018 D.2019 练一练 2.连接九边形一个顶点与其他各顶点的 线段,将九边形分成了_____个三角形. D 7 例1 观察、探索及应用 (1)观察上图并填空. 一个四边形有2条对角线; 一个五边形有5条对角线; 一个六边形有____条对角线; 一个七边形有____条对角线. 典例精析 9 14 (2)分析探索:由凸n 边形的一个顶点出发,可作 ________条对角线,凸n 边形共有n 个顶点,若允许重 复计数,共可作________条对角线. n(n-3) (n-3) 54 n(n-3) 2 (3)结论:一个凸n 边形有______________条对角线. (4)应用:一个凸十二边形有______条对角线. 议一议 观察下图中的多边形,它们的边角有什么特点? 正多边形的定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 圆二、 合作探究 上面的图形中有你熟悉的图形吗? 你能用哪些方法画出一个圆? 圆的相关概念 平面上,一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋 转一周,另一个端点A形成的图形叫做圆 固定的端点O称为圆心 圆上任意两点A,B之间的部分叫 做圆弧,简称弧,记作 , 读作“圆弧AB或“弧AB”. »AB 由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA, OB所组成的图形叫做扇形 顶点在圆心的角叫做圆心角. 例2 将一个圆分割成三个扇形,它们的圆心角的 度数之比为2∶ 3∶ 4,求这三个扇形圆心角的度数. [解析] 用扇形圆心角所对应的比去乘360°即可 求出相应扇形圆心角的度数. 解:因为一个周角为360°,所以分成的三个扇 形的圆心角度数分别为: 将一个圆分割成三个扇形,各扇形的面积 比为2∶ 3∶ 5,则三个扇形圆心角的度数分别 是__________________. 练一练 72°,108°,180° 1.下列说法正确的是(  ) A.由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组 成的封闭图形叫多边形 B.一条弧和经过弧的两条半径围成的图形叫做扇形 C.三角形是最简单的多边形 D.扇形是圆的一部分 2.刘师傅把一个四边形的木板锯掉一个角,那么剩 下的木板的形状不可能是(  ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 C D 当堂练习 3.将一个圆分割成四个扇形,它们圆心角的度数 之比为1∶ 2∶ 3∶ 4,则这四个扇形的圆心角的度数依 次为________,________,________,________.36°  72°  108°  144° 4.如图,把一个圆分成四个扇形,若该圆的半 径为4 cm,你能求出它们的面积吗? 解:因为圆的面积为:π×42=16π(cm2). 所以S扇形OAB=16π×45%=7.2π(cm2); S扇形OBC=16π×10%=1.6π(cm2); S扇形OCD=16π×25%=4π(cm2); S扇形OAD=16π×30%=4.8π(cm2). 多边形和圆 的初步认识 多边形 { 圆 多边形的 对角线 正多边形 { 圆心角 扇形面积 { n边形的 对角线 分割三角形 { 课堂小结 第四章 基本平面图形小结与 复习 1.直线、射线、线段 名称 图形 表示方法 延伸方向 端点 长度 直线 ①直线AB或直线BA ②直线m 两个 无 无 射线 射线AP 一个 一个 无 线段 ①线段AB或线段BA ②线段l 无 两个 有 知识回顾 2.直线的基本性质 经过两点有且只有____条直线. 3.线段的基本性质 两点之间,____________最短. 4.两点之间的距离 两点之间线段的________,叫做这两点之间的距离.距离 是指线段的_______,是一个_______,而不是指线段本身. 5.比较两条线段长短的方法 (1)叠合法:把它们放在同一条_______上比较; 二 线段 长度 长度 数值 直线 知识回顾 (2)度量法:用刻度尺量出两条线段的长度进行比较. 6.线段的中点 若点M把线段AB分成_______的两条线段AM、BM,则点M叫 做线段AB的中点.这时有AM=______=____ ,AB=_______= 1/2 ________. 相等 BM AB 2AM 2BM 知识回顾 7.角 (1)概念:角由两条具有公共_______的射线组成,两条射 线的公共______是这个角的________,这两条射线叫做角的 ____;从动态观点看,角是一条射线绕_______从起始位置旋 转到终止位置所组成的图形. (2)表示方法:①三个大写英文字母表示,中间的字母表 示_______,其他两个字母分别表示两条边上的任意一点;② 用一个数字或小写________字母表示;③用一个大写_______ 字母表示,前提是以这个点为顶点的角只有一个. 端点 端点 顶点 边 端点 顶点 希腊 英文 知识回顾 (3)单位及换算:把周角平均分成360份,每一份就是1°的 角,1°的1/60就是1′,1′的1/60就是1″,即1°= ____, 1′=________. (4)分类:小于平角的角可按大小分成三类:当一个角等于 平角的一半时,这个角叫做________;大于0°角小于直角的角 叫做________;大于直角而小于平角的角叫做__________. 8.角的平分线 从一个角的_______引出的一条射线,把这个角分成两个 _________的角,这条射线叫做这个角的平分线. 60′ 60′ 直角 锐角 钝角 顶点 相等 知识回顾 ► 考点一 直线、射线、线段 例1 如图4-1,C、D是线段AB上两点,若CB=4 cm,DB=7 cm,且D是AC的中点,则AC的长等于(  ) A.3 cm  B.6 cm C.11 cm D.14 cm 典型例题 ► 考点二 角 例2 [2010·呼和浩特] 8点30分时,钟表的时针与分针的 夹角为__________° [答案] 75 [解析] 钟表被分成12格,每格的度数是30°,30°×2.5= 75°. ► 考点三 规律探索性问题 例3 [2010·嵊州] 如图4-2,平面内有公共端点的六条射 线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在 射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,….则“17”在射线 ______上;“2007”在射线______上. [答案] OE OC 第四章 |过关测试 1.操场上,小明对小亮说:“你在我的北偏东30°方向 上”,那么小亮可以对小明说:“你在我的________方向 上”(  ) A.南偏西30° B.北偏东30° C.北偏东60° D.南偏西60° [答案] A 达标测试 2.在一次航海中,在一艘货轮的北偏东54°的方向上有一 艘渔船,那么货轮在渔船的________方向上. [答案] 南偏西54° 计算: (1)90°-45°32″; (2)6°32′25″×7. 解:(1)44°28′ (2)45°46′55″ 达标测试 1.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三 角形,这个多边形的边数是________. [答案] 10 [解析] 设多边形有n条边, 则n-2=8,解得n=10. 所以这个多边形的边数是10. 达标测试

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