高中数学竞赛课程讲义高二平面几何（一）---三角法

高中数学竞赛课程---高二 1 平面几何（一）---三角法 一、知识点拨 三角法是平面几何的基本而又重要的方法之一. 熟练掌握和运用公式是用三角法解 决平面几何问题的基础. 较常用的有：1.正余弦定理；2.积化和差、和差化积公式；3.三倍角公式；4.其他. 二、例题选讲 例 1（四边形的余弦定理）设凸四边形 ABCD 对角线交于点 P， APB ，求证： BDAC CDABBCAD   2cos 2222  图 1 高中数学竞赛课程---高二 2 例 2 如图 2，在△ABC 中，  60,40 ABCBAC ，D 和 E 分别是边 AC 和 AB 上点， 使得  70,40 BCECBD ，F 是直线 BD 与 CE 的交点. 求证：直线 AF 和直线 BC 垂直. 图 2 高中数学竞赛课程---高二 3 例 3 如图 3，O 是△ABC 内一点，满足  ACOCBOCAOBAO .求证： △ABC 三边长成等比数列. 图 3 高中数学竞赛课程---高二 4 例 4 如图 4，凸四边形 ABFD 中，AB+BF=AD+DF. 延长 AB 与 DF 相交于点 C，延长 AD 与 BF 相交于点 E. 求证：AC+CF=AE+EF. 图 4 高中数学竞赛课程---高二 5 例 5 如图 5，给定凸四边形 ABCD，  180DB ， 2AC ，DA 与 DC 是△ABC 外 接 圆 O 的 切 线 ， E 是 圆 O 的 AB 上 一 点 ， 满 足 ： 2 3 AB AE ， 13  EC BC ， ECAECB  2 1 ，求 BD. 图 5 高中数学竞赛课程---高二 6 例 6 证明 Morley 定理：如图 6，设△ABC 内有三点 D,E,F， ABCFBADBC  3 1 ， BACEACFAB  3 1 ， ACBDCBECA  3 1 ，则△DEF 是正三角形. 图 6 高中数学竞赛课程---高二 7 例 7 如图 7，已知 O,I 分别是△ABC 的外心和内心，BC=a，CA=b，AB=c. 问当且仅当 a,b,c 满足什么条件时，有 OI⊥IB？证明你的结论.(若 O,I 重合时，也算成立.) 图 7 高中数学竞赛课程---高二 8 例 8 已知锐角△ABC，CD 是高，点 M 是 AB 中点. 过点 M 的直线分别交射线 CA,CB 于 点 K,L，且 CK=CL. 求证：若△CKL 的外心为点 S，则 SD=SM. 图 8 高中数学竞赛课程---高二 9 三、课后练习 1. 在锐角△ABC 中，∠ACB=2∠ABC，点 D 是 BC 边上一点，使得 2∠BAD=∠ABC. 求证： ACABBD 111  . 高中数学竞赛课程---高二 10 2. 设 a,b,c 为△ABC 的三条边，a≤b≤c，R 和 r 分别是△ABC 的外接圆半径和内切圆半 径. 令 f=a+b-2R-2r，试用角 C 的大小来判定 f 的符号.