河南省数学中考专题训练　分式方程及其应用（含部分答案）

分式方程及其应用 一、选择题 1．解分式方程 x 2x－1 －3＝ 2 1－2x 时，去分母正确的是（ ） A．x－3＝－2 B．x－3(2x－1)＝－2 C．x－3(2x－1)＝2 D．x－6x－3＝－2 2．(2020·上海)用换元法解方程x＋1 x2 ＋ x2 x＋1 ＝2 时，若 设x＋1 x2 ＝y，则原方程可化为关于 y 的方程是（ ） A．y2－2y＋1＝0 B．y2＋2y＋1＝0 C．y2＋y＋2＝0 D．y2＋y－2＝0 3．(2020·朝阳)某体育用品商店出售毽球，有批发和零售 两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个 毽球，就只能按零售价付款，共需 80 元；如果小明多购买 5 个 毽球，就可以享受批发价，总价是 72 元．已知按零售价购买 40 个毽球与按批发价购买 50 个毽球付款相同，则小明班级共有多 少名学生？设班级共有 x 名学生，依据题意列方程得（ ） A．50×80 x ＝ 72 x＋5 ×40 B．40×80 x ＝ 72 x＋5 ×50 C．40× 72 x－5 ＝80 x ×50 D．50× 72 x－5 ＝80 x ×40 4．(2020·甘孜州)分式方程 3 x－1 －1＝0 的解为（ ） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 5．(2020·遂宁)关于 x 的分式方程 m x－2 － 3 2－x ＝1 有增 根，则 m 的值（ ） A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝－3 6．(2020·成都)已知 x＝2 是分式方程k x ＋x－3 x－1 ＝1 的解， 那么实数 k 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．(2020·绵阳)甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶 一半路程，共用 3 小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所 花的时间，可以行驶 180 km”，乙对甲说：“我用你所花的时间， 只能行驶 80 km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为 （ ） A．1.2 小时 B．1.6 小时 C．1.8 小时 D．2 小时 8．(2020·枣庄)对于实数 a，b，定义一种新运算“ ”为： a b＝ 1 a－b2 ，这里等式右边是实数运算．例如：1 3＝ 1 1－32 ＝ －1 8 .则方程 x (－2)＝ 2 x－4 －1 的解是（ ） A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7 9．(2020·龙东地区)已知关于 x 的分式方程 x x－3 －4＝ k 3－x 的解为非正数，则 k 的取值范围是（ ） A．k≤－12 B．k≥－12 C．k＞－12 D．k＜－12 10．(2020·广元)按照如图所示的流程，若输出的 M＝－6， 则输入的 m 为（ ） A．3 B．1 C．0 D．－1 二、填空题 11．(2020·南京)方程 x x－1 ＝x－1 x＋2 的解是 ． 12．若关于 x 的方程x＋a x－1 －3 x ＝1 无解，则 a＝ _． 13．(2020·绥化)某工厂计划加工一批零件 240 个，实际每 天加工零件的个数是原计划的 1.5 倍，结果比原计划少用 2 天．设 原计划每天加工零件 x 个，可列方程_ _． 14．(2019·烟台)若关于 x 的分式方程 3x x－2 －1＝m＋3 x－2 有 增根，则 m 的值为 ． 15．甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发，开往相距 200 km 的 B 地，甲、乙两车的速度之比是 4∶5，结果乙车比甲车早 30 分 钟到达 B 地，则甲车的速度为 km/h. 16．(2020·泸州)已知关于 x 的分式方程 m x－1 ＋2＝－ 3 1－x 的解为非负数，则正整数 m 的所有个数为 个． 三、解答题 17．(2020·遵义)解方程： 1 x－2 ＝ 3 2x－3 . 18．(2020·张家界)今年疫情防控期间，某学校花 2000 元 购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及 各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了 2 元，学校又购买 了一批消毒液，花 1600 元购买到的数量与第一次购买到的数量 相等，求第一批购进的消毒液的单价． 19．(2020·常德)第 5 代移动通信技术简称 5G，某地已开 通 5G 业务，经测试 5G 下载速度是 4G 下载速度的 15 倍，小明和 小强分别用 5G 与 4G 下载一部 600 兆的公益片，小明比小强所用 的时间快 140 秒，求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少 兆？ 20．(2020·黔南州)某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒 剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的 3 倍少 50 元，已知用 300 元购买甲种品牌消毒剂的数量与用 400 元购买乙种品牌消毒剂的数量相同． (1)求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？ (2)若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共 40 瓶，且总费用为 1400 元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？ 分式方程及其应用 一、选择题 1．解分式方程 x 2x－1 －3＝ 2 1－2x 时，去分母正确的是(B) A．x－3＝－2 B．x－3(2x－1)＝－2 C．x－3(2x－1)＝2 D．x －6x－3＝－2 2．(2020·上海)用换元法解方程x＋1 x2 ＋ x2 x＋1 ＝2 时，若 设x＋1 x2 ＝y，则原方程可化为关于 y 的方程是（ ） A．y2－2y＋1＝0 B．y2＋2y＋1＝0 C．y2＋y＋2＝0 D．y2＋y－2＝0 3．(2020·朝阳)某体育用品商店出售毽球，有批发和零售 两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个 毽球，就只能按零售价付款，共需 80 元；如果小明多购买 5 个 毽球，就可以享受批发价，总价是 72 元．已知按零售价购买 40 个毽球与按批发价购买 50 个毽球付款相同，则小明班级共有多 少名学生？设班级共有 x 名学生，依据题意列方程得(B) A．50×80 x ＝ 72 x＋5 ×40 B．40×80 x ＝ 72 x＋5 ×50 C．40× 72 x－5 ＝80 x ×50 D．50× 72 x－5 ＝80 x ×40 4．(2020·甘孜州)分式方程 3 x－1 －1＝0 的解为(D) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 5．(2020·遂宁)关于 x 的分式方程 m x－2 － 3 2－x ＝1 有增 根，则 m 的值(D) A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝－3 6．(2020·成都)已知 x＝2 是分式方程k x ＋x－3 x－1 ＝1 的解， 那么实数 k 的值为(B) A．3 B．4 C．5 D．6 7．(2020·绵阳)甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶 一半路程，共用 3 小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所 花的时间，可以行驶 180 km”，乙对甲说：“我用你所花的时间， 只能行驶 80 km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为(C) A．1.2 小时 B．1.6 小时 C．1.8 小时 D．2 小时 8．(2020·枣庄)对于实数 a，b，定义一种新运算“ ”为： a b＝ 1 a－b2 ，这里等式右边是实数运算．例如：1 3＝ 1 1－32 ＝ －1 8 .则方程 x (－2)＝ 2 x－4 －1 的解是(B) A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7 9．(2020·龙东地区)已知关于 x 的分式方程 x x－3 －4＝ k 3－x 的解为非正数，则 k 的取值范围是（ ） A．k≤－12 B．k≥－12 C．k＞－12 D．k＜－12 10．(2020·广元)按照如图所示的流程，若输出的 M＝－6， 则输入的 m 为(C) A．3 B．1 C．0 D．－1 二、填空题 11．(2020·南京)方程 x x－1 ＝x－1 x＋2 的解是__x＝1 4 __． 12．若关于 x 的方程x＋a x－1 －3 x ＝1 无解，则 a＝__2 或－1__． 13．(2020·绥化)某工厂计划加工一批零件 240 个，实际每 天加工零件的个数是原计划的 1.5 倍，结果比原计划少用 2 天．设 原计划每天加工零件 x 个，可列方程__240 x － 240 1.5x ＝2__． 14．(2019·烟台)若关于 x 的分式方程 3x x－2 －1＝m＋3 x－2 有 增根，则 m 的值为__3__． 15．甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发，开往相距 200 km 的 B 地，甲、乙两车的速度之比是 4∶5，结果乙车比甲车早 30 分 钟到达 B 地，则甲车的速度为__80__km/h. 16．(2020·泸州)已知关于 x 的分式方程 m x－1 ＋2＝－ 3 1－x 的解为非负数，则正整数 m 的所有个数为__4__个． 三、解答题 17．(2020·遵义)解方程： 1 x－2 ＝ 3 2x－3 . 解：去分母得：2x－3＝3x－6， 解得：x＝3， 经检验 x＝3 是分式方程的解． 18．(2020·张家界)今年疫情防控期间，某学校花 2000 元 购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及 各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了 2 元，学校又购买 了一批消毒液，花 1600 元购买到的数量与第一次购买到的数量 相等，求第一批购进的消毒液的单价． 解：设第一批购进的消毒液的单价为 x 元，则第二批购进的 消毒液的单价为(x－2)元， 依题意，得：2000 x ＝1600 x－2 ， 解得：x＝10， 经检验，x＝10 是原方程的解，且符合题意．答：第一批购 进的消毒液的单价为 10 元． 19．(2020·常德)第 5 代移动通信技术简称 5G，某地已开 通 5G 业务，经测试 5G 下载速度是 4G 下载速度的 15 倍，小明和 小强分别用 5G 与 4G 下载一部 600 兆的公益片，小明比小强所用 的时间快 140 秒，求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少 兆？ 解：设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速 度是每秒 15x 兆， 由题意得：600 x －600 15x ＝140， 解得：x＝4， 经检验：x＝4 是原分式方程的解，且符合题意， 15×4＝60， 答：该地 4G 的下载速度是每秒 4 兆，5G 的下载速度是每秒 60 兆． 20．(2020·黔南州)某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒 剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的 3 倍少 50 元，已知用 300 元购买甲种品牌消毒剂的数量与用 400 元购买乙种品牌消毒剂的数量相同． (1)求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？ (2)若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共 40 瓶，且总费用为 1400 元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？ 解：(1)设甲种品牌消毒剂每瓶的价格为 x 元，乙种品牌消 毒剂每瓶的价格为(3x－50)元， 由题意得：300 x ＝ 400 3x－50 ，解得：x＝30，经检验，x＝30 是原方程的解且符合实际意义，3x－50＝40.答：甲种品牌消毒 剂每瓶的价格为 30 元，乙种品牌消毒剂每瓶的价格为 40 元； (2)设购买甲种品牌的消毒剂 y 瓶，则购买乙种品牌的消毒 剂(40－y)瓶， 由题意得：30y＋40(40－y)＝1400，解得 y＝20， ∴40－y＝40－20＝20. 答：购买了 20 瓶乙种品牌消毒剂．