苏科版数学七年级下册第7章《平面图形的认识（二）》常考题专练（五）

七年级下册第 7 章《平面图形的认识（二）》 常考题专练（五） 1．已知 AB∥CD，线段 EF 分别与 AB、CD 相交于点 E、F． （1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C 的度数； （2）如图②，当点 P 在线段 EF 上运动时（不包括 E、F 两点），∠A、∠APC 与∠C 之间 有怎样的数量关系？试证明你的结论； （3）如图③，当点 P 在线段 EF 的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立， 请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明． 2．完成下面推理过程： 如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得 AB∥CD．理由如下： ∵∠1＝∠2（已知）， 且∠1＝∠CGD（ ）， ∴∠2＝∠CGD（等量代换）． ∴CE∥BF（ ）． ∴∠ ＝∠C（ ）． 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠ ＝∠B（等量代换）． ∴AB∥CD（ ）． 3．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合下图，试探索这两个角之间的关系， 并说明你的结论． （1）如图 1，AB∥EF，BC∥DE．∠1 与∠2 的关系是： ，理由： ； （2）如图 2，AB∥EF，BC∥DE．∠1 与∠2 的关系是： ，理由： ． （3）由（1）（2）你得出的结论是：如果 ，那么 ． （4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的 2 倍少 30°，则这两个角度数的 分别是 4．学着说点理，填空： 如图，AD⊥BC 于 D，EG⊥BC 于 G，∠E＝∠1，可得 AD 平分∠BAC． 理由如下： ∵AD⊥BC 于 D，EG⊥BC 于 G，（已知） ∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（ ） ∴AD∥EG，（ ） ∴∠1＝∠2，（ ） ∠E＝∠3，（两直线平行，同位角相等） 又∵∠E＝∠1（已知） ∴ ＝ （等量代换） ∴AD 平分∠BAC（ ） 5．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°． （1）求∠BAE 的度数； （2）求∠DAE 的度数； （3）探究：小明认为如果只知道∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE 的度数？你认为可以 吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 6．已知如图 1，线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AD、CB，我们把形如图 1 的图形称之为“8 字形”．如图 2，在图 1 的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P，并且 与 CD、AB 分别相交于 M、N．试解答下列问题： （1）在图 1 中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系： ； （2）仔细观察，在图 2 中“8 字形”的个数： 个； （3）在图 2 中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P 的度数； （4）如果图 2 中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D、∠B 之间存在 着怎样的数量关系．（直接写出结论即可） 7．小明家准备装修厨房，打算铺设如图 1 的正方形地砖，该地砖既是轴对称图形也是中心 对称图形，铺设效果如图 2 所示．经测量图 1 发现，砖面上四个小正方形的边长都是 4cm， AB＝JN＝2cm，中间的多边形 CDEFGHIK 是正八边形． （1）求 MA 的长度； （2）求正八边形 CDEFGHIK 的面积； （3）已知小明家厨房的地面是边长为 3.14 米的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形 成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计） 8．已知，如图，在△ABC 中，AD，AE 分别是△ABC 的高和角平分线， （1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE 的度数． （2）探索∠DAE 与∠C﹣∠B 的关系，并说明． 9．已知下面四个图中 AB∥CD，试探讨四个图形中∠APC 与∠PAB、∠PCD 的数量关 系． （1）图（1）中∠APC 与∠PAB、∠PCD 的关系是 ． （2）图（2）中∠APC 与∠PAB、∠PCD 的关系是 ． （3）请你在图（3）和图（4）中任选一个，说出∠APC 与∠PAB、∠PCD 的关系，并加以 证明．（提示：可过 P 点作 PE∥AB） 10．课本拓展 旧知新意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一 个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 1．尝试探究： （1）如图 1，∠DBC 与∠ECB 分别为△ABC 的两个外角，试探究∠A 与∠DBC+∠ECB 之间 存在怎样的数量关系？为什么？ 2．初步应用： （2）如图 2，在△ABC 纸片中剪去△CED，得到四边形 ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C ＝ ； （3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图 3，在△ABC 中，BP、CP 分别平分外角∠ DBC、∠ECB，∠P 与∠A 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ． 3 拓展提升： （4）如图 4，在四边形 ABCD 中，BP、CP 分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P 与∠A、∠D 有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由） 参考答案 1． （1）解：过 P 作 PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∵∠A＝20°， ∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO， ∵∠APC＝70° ∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°； （2）∠A+∠C＝∠APC， 证明：过 P 作 PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO， ∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C； （3）解：不成立，关系式是：∠A﹣∠C＝∠APC， 理由是：过 P 作 PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO， ∴∠A﹣∠C＝∠APO﹣∠CPO＝∠APC， 即∠A﹣∠C＝∠APC． 2．解：答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；BFD 两直线平行，同位角相等； BFD；内错角相等，两直线平行． 3．解：（1）∠1＝∠2，理由：∵AB∥EF ∴∠3＝∠2， ∵BC∥DE ∴∠3＝∠1 ∴∠1＝∠2． 故答案为：∠1＝∠2，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等． （2）∠1+∠2＝180°，理由：∵AB∥EF， ∴∠3+∠2＝180°， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1+∠2＝180°． 故答案为：∠1+∠2＝180°，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那么这两个角互补． （3）由（1）（2）我们得到：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补． （4）设另一个角为 x°，根据以上结论得： 2x﹣30＝x 或 2x﹣30+x＝180°， 解得：x＝30，或 x＝70， 故答案为：30°、30°或 70°，110°． 4．解：∵AD⊥BC 于 D，EG⊥BC 于 G，（已知） ∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直定义） ∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行） ∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等） ∠E＝∠3，（两直线平行，同位角相等） 又∵∠E＝∠1（已知） ∴∠2＝∠3（等量代换） ∴AD 平分∠BAC（角平分线定义 ）． 5．解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°， 因为 AE 平分∠BAC， 所以∠BAE＝40°； （2）∵AD⊥BC，∠B＝70°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°， 而∠BAE＝40°， ∴∠DAE＝20°； （3）可以． 理由如下： ∵AE 为角平分线， ∴∠BAE＝ ， ∵∠BAD＝90°﹣∠B， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝ ﹣（90°﹣∠B）＝ ， 若∠B﹣∠C＝40°，则∠DAE＝20°． 6．解：（1）结论：∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）结论：六个； （3）由∠D+∠1+∠2＝∠B+∠3+∠4①（∵∠AOD＝∠COB）， 由∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴40°+2∠1＝36°+2∠3 ∴∠3﹣∠1＝2°（1） 由∠ONC＝∠B+∠4＝∠P+∠2，② ∴∠P＝∠B+∠4﹣∠2＝36°+2°＝38°； （4）由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3， 由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1 ①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1 ∠D+2∠B＝2∠P+∠B． ∴∠P＝ ． 7．解：（1）连接 BK 和 NC，两线的交点为 O， ∵四边形 BCKN 是正方形， ∴∠NOB＝90°，OB＝ON， ∵BN＝4cm， ∴由勾股定理得：BO＝ON＝2 cm， ∵JN＝2cm， ∴AM＝JO＝（2+2 ）cm； （2）如图，作小正方形的对角线，组成正方形 ORZQ， 则正方形的边长为（2 +4+2 ）cm，即为（4 +4）cm， 所以正八边形 CDEFGHIK 的面积为 S 正方形 OQZR﹣4S△BOC＝（4 +4）2﹣4× ×2 ×2 ＝ （32+32 ）cm2； （3）正方形地砖的边长为：2×（2+2 ）cm+（4 +4）cm＝（8+8 ）cm， ∵3.14 米＝314cm， ∴3142÷（8+8 ）2≈264， ∵162＜264， ∴用该地砖铺设完毕后，最多形成 32×32＝1024 个正八边形． 8．解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， ∵AE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ×100°＝50°， ∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣50°＝10°； （2）2∠DAE＝∠C﹣∠B． 理由如下：在△ABC 中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠BAD＝90°﹣∠B， ∵AE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAE＝ ∠BAC＝ （180°﹣∠B﹣∠C）， ∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣∠B﹣ （180°﹣∠B﹣∠C）＝ （∠C﹣∠B）， ∴2∠DAE＝∠C﹣∠B． 9．解：（1）如图，过点 P 作 PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠PAB＝∠APE，∠PCD＝∠CPE， ∵∠APC＝∠APE+∠CPE， ∴∠APC＝∠PAB+∠PCD； （2）过点 P 作 PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°， ∵∠APC＝∠APE+∠CPE， ∴∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°； 故答案为：（1）∠APC＝∠PAB+∠PCD； （2）∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°； （3）图（3）过点 P 作 PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°， ∵∠APC＝∠CPE﹣∠APE， ∴∠APC＝∠PAB﹣∠PCD； 同理图（4）∠APC＝∠PCD﹣∠PAB． 10．解：（1）∠DBC+∠ECB ＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB ＝360°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝360°﹣（180°﹣∠A） ＝180°+∠A； （2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C， ∴130°+∠2＝180°+∠C， ∴∠2﹣∠C＝50°； （3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A， ∵BP、CP 分别平分外角∠DBC、∠ECB， ∴∠PBC+∠PCB＝ （∠DBC+∠ECB）＝ （180°+∠A）， 在△PBC 中，∠P＝180°﹣ （180°+∠A）＝90°﹣ ∠A； 即∠P＝90°﹣ ∠A； 故答案为：50°，∠P＝90°﹣ ∠A； （4）延长 BA、CD 于 Q， 则∠P＝90°﹣ ∠Q， ∴∠Q＝180°﹣2∠P， ∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q， ＝180°+180°﹣2∠P， ＝360°﹣2∠P．