沪科版九年级数学中考复习：二次根式

2021 沪科版九年级数学中考复习：二次根式 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(山西中考)下列二次根式是最简二次根式的是( ) A． 1 2 B． 12 7 C． 8 D． 3 2．(2020·绥化)下列等式成立的是( ) A． 16 ＝±4 B．3 －8 ＝2 C．－a 1 a ＝ －a D．－ 64 ＝－8 3．下列二次根式中，能与 3 合并的是( ) A． 3 2 B． 12 C． 24 D． 8 4．(2020·重庆)下列计算中，正确的是( ) A． 2 ＋ 3 ＝ 5 B．2＋ 2 ＝2 2 C． 2 × 3 ＝ 6 D．2 3 －2＝ 3 5．如果 a＋ a2－6a＋9 ＝3 成立，那么实数 a 的取值范围是( ) A．a≤0 B．a≤3 C．a≥－3 D．a≥3 6．设 2 ＝a， 3 ＝b，用含 a，b 的式子表示 54 ，则下列正确的是( ) A．3ab B．2ab C．ab2 D．a2b 7．计算 32 ÷ 1 2 ＋ 2 ×(－ 5 )的结果估计在( ) A．3 至 4 之间 B．4 至 5 之间 C．5 至 6 之间 D．6 至 7 之间 8．若 x 为实数，在“( 3 ＋1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“＋， －，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则 x 不可能是( ) A． 3 ＋1 B． 3 －1 C．2 3 D．1－ 3 9．(淄博中考)如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 2 和 8，则 图中阴影部分的面积为( ) A． 2 B．2 C．2 2 D．6 10．(随州中考)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：2＋ 3 2－ 3 ＝（2＋ 3）（2＋ 3） （2－ 3）（2＋ 3） ＝7＋4 3 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的 方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 3＋ 5 － 3－ 5 ，设 x＝ 3＋ 5 － 3－ 5 ，易知 3＋ 5 ＞ 3－ 5 ，故 x＞0，由 x2＝( 3＋ 5 － 3－ 5 )2 ＝3＋ 5 ＋3－ 5 －2 （3＋ 5）（3－ 5） ＝2，解得 x＝ 2 ，即 3＋ 5 － 3－ 5 ＝ 2 .根据以上方法，化简 3－ 2 3＋ 2 ＋ 6－3 3 － 6＋3 3 后的结果 为( ) A．5＋3 6 B．5＋ 6 C．5－ 6 D．5－3 6 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．(2020·常德)若代数式 2 2x－6 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围 是____． 12．(2020·青岛)计算：( 12 － 4 3 )× 3 ＝____． 13．已知实数 a，b 在数轴上对应的位置如图，则 a2＋2ab＋b2 － b2 ＝____. 14．已知 24n 是整数，则正整数 n 的最小值为____． 15．估计 5－1 2 与1 2 的大小关系： 5－1 2 ____1 2 .(填“＞”“＝”或“＜”) 16．(营口中考)一个长方形的长和宽分别为 10 和 2 2 ，则这个长方形的 面积为____． 17．已知 m＝1＋ 2 ，n＝1－ 2 ，则代数式 m2＋n2－3mn 的值为____． 18．若 xy＞0，则化简二次根式 x － y x2 的结果为____． 三、解答题(共 66 分) 19．(12 分)计算下列各题： (1)(2020·湖州) 8 ＋| 2 －1|； (2) 15 6 ÷ 32 3 × 21 4 ； (3)( 3 － 2 )2020( 3 ＋ 2 )2021； (4)(2020·呼和浩特)|1－ 3 |－ 2 × 6 ＋ 1 2－ 3 －(2 3 )－2. 20．(6 分)解方程：( 3 ＋1)( 3 －1)x＝ 72 － 18 . 21．(6 分)已知 x－1＝ 3 ，求代数式(x＋1)2＋4(x＋1)＋4 的值． 22．(7 分)已知实数 x，y 满足 y＝ x－2 ＋ 2－x ＋3，求 2 x＋ y － 2 x－ y 的值． 23．(8 分)(2020·河南)先化简，再求值：(1－ 1 a＋1 )÷ a a2－1 ，其中 a＝ 5 ＋1. 24．(8 分)已知长方形的长 a＝1 2 32 ，宽 b＝1 3 18 . (1)求长方形的周长； (2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系． 25．(8 分)已知 x＝ 3 7－2 ，a 是 x 的整数部分，b 是 x 的小数部分，求a－b a＋b 的值． 26．(11 分)小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个 式子的平方，如 3＋2 2 ＝(1＋ 2 )2.善于思考的小明进行了以下探索： 设 a＋b 2 ＝(m＋n 2 )2(其中 a，b，m，n 均为整数)，则有 a＋b 2 ＝m2 ＋2n2＋2 2 mn. ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把类似 a＋b 2 的式子化为 平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b 3 ＝(m＋n 3 )2，用含 m，n 的 式子分别表示 a，b，得 a＝________，b＝________； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空：________＋ ________ 3 ＝(________＋________ 3 )2； (3)若 a＋6 3 ＝(m＋n 3 )2，且 a，m，n 均为正整数，求 a 的值． 答案 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(山西中考)下列二次根式是最简二次根式的是( D ) A． 1 2 B． 12 7 C． 8 D． 3 2．(2020·绥化)下列等式成立的是( D ) A． 16 ＝±4 B．3 －8 ＝2 C．－a 1 a ＝ －a D．－ 64 ＝－8 3．下列二次根式中，能与 3 合并的是( B ) A． 3 2 B． 12 C． 24 D． 8 4．(2020·重庆)下列计算中，正确的是( C ) A． 2 ＋ 3 ＝ 5 B．2＋ 2 ＝2 2 C． 2 × 3 ＝ 6 D．2 3 －2＝ 3 5．如果 a＋ a2－6a＋9 ＝3 成立，那么实数 a 的取值范围是( B ) A．a≤0 B．a≤3 C．a≥－3 D．a≥3 6．设 2 ＝a， 3 ＝b，用含 a，b 的式子表示 54 ，则下列正确的是( A ) A．3ab B．2ab C．ab2 D．a2b 7．计算 32 ÷ 1 2 ＋ 2 ×(－ 5 )的结果估计在( B ) A．3 至 4 之间 B．4 至 5 之间 C．5 至 6 之间 D．6 至 7 之间 8．(2020·荆州)若 x 为实数，在“( 3 ＋1)□x”的“□”中添上一种运算 符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则 x 不可能是 ( C ) A． 3 ＋1 B． 3 －1 C．2 3 D．1－ 3 9．(淄博中考)如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 2 和 8，则 图中阴影部分的面积为( B ) A． 2 B．2 C．2 2 D．6 10．(随州中考)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：2＋ 3 2－ 3 ＝（2＋ 3）（2＋ 3） （2－ 3）（2＋ 3） ＝7＋4 3 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的 方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 3＋ 5 － 3－ 5 ，设 x＝ 3＋ 5 － 3－ 5 ，易知 3＋ 5 ＞ 3－ 5 ，故 x＞0，由 x2＝( 3＋ 5 － 3－ 5 )2 ＝3＋ 5 ＋3－ 5 －2 （3＋ 5）（3－ 5） ＝2，解得 x＝ 2 ，即 3＋ 5 － 3－ 5 ＝ 2 .根据以上方法，化简 3－ 2 3＋ 2 ＋ 6－3 3 － 6＋3 3 后的结果 为( D ) A．5＋3 6 B．5＋ 6 C．5－ 6 D．5－3 6 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．(2020·常德)若代数式 2 2x－6 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围 是__x＞3__． 12．(2020·青岛)计算：( 12 － 4 3 )× 3 ＝__4__． 13．已知实数 a，b 在数轴上对应的位置如图，则 a2＋2ab＋b2 － b2 ＝__ －a__. 14．已知 24n 是整数，则正整数 n 的最小值为__6__． 15．估计 5－1 2 与1 2 的大小关系： 5－1 2 __＞__1 2 .(填“＞”“＝”或“＜”) 16．(营口中考)一个长方形的长和宽分别为 10 和 2 2 ，则这个长方形的 面积为__4 5 __． 17．已知 m＝1＋ 2 ，n＝1－ 2 ，则代数式 m2＋n2－3mn 的值为__3__． 18．若 xy＞0，则化简二次根式 x － y x2 的结果为__－ －y __． 三、解答题(共 66 分) 19．(12 分)计算下列各题： (1)(2020·湖州) 8 ＋| 2 －1|； 解：原式＝3 2 －1 (2) 15 6 ÷ 32 3 × 21 4 ； 解：原式＝3 4 2 (3)( 3 － 2 )2020( 3 ＋ 2 )2021； 解：原式＝ 3 ＋ 2 (4)(2020·呼和浩特)|1－ 3 |－ 2 × 6 ＋ 1 2－ 3 －(2 3 )－2. 解：原式＝－5 4 20．(6 分)解方程：( 3 ＋1)( 3 －1)x＝ 72 － 18 . 解：由题意得 2x＝6 2 －3 2 ，∴2x＝3 2 ，∴x＝3 2 2 21．(6 分)已知 x－1＝ 3 ，求代数式(x＋1)2＋4(x＋1)＋4 的值． 解：原式＝(x＋3)2，当 x－1＝ 3 ，即 x＝ 3 ＋1 时，原式＝19＋8 3 22．(7 分)已知实数 x，y 满足 y＝ x－2 ＋ 2－x ＋3，求 2 x＋ y － 2 x－ y 的值． 解：由题意，得 x－2≥0 且 2－x≥0，∴x＝2，∴y＝3， 2 x＋ y － 2 x－ y ＝ 2 2＋ 3 － 2 2－ 3 ＝2（2－ 3）－2（2＋ 3） （2＋ 3）（2－ 3） ＝－4 3 23．(8 分)(2020·河南)先化简，再求值：(1－ 1 a＋1 )÷ a a2－1 ，其中 a＝ 5 ＋1. 解：原式＝a＋1－1 a＋1 ×（a－1）（a＋1） a ＝a－1，当 a＝ 5 ＋1 时，原式＝ 5 ＋1－1＝ 5 24．(8 分)已知长方形的长 a＝1 2 32 ，宽 b＝1 3 18 . (1)求长方形的周长； (2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系． 解：(1)2(a＋b)＝2×(1 2 32 ＋1 3 18 )＝6 2 ，∴长方形周长为 6 2 (2)4× ab ＝4× 1 2 32×1 3 18 ＝4× 2 2× 2 ＝8，∵6 2 ＞8，∴长方 形周长大 25．(8 分)已知 x＝ 3 7－2 ，a 是 x 的整数部分，b 是 x 的小数部分，求a－b a＋b 的值． 解：x＝ 3 7－2 ＝ 3（ 7＋2） （ 7－2）（ 7＋2） ＝ 7 ＋2，∵2＜ 7 ＜3， ∴ 4 ＜ 7 ＋ 2 ＜ 5 ， ∴ a ＝ 4 ， b ＝ 7 ＋ 2 － 4 ＝ 7 － 2 ， ∴ a－b a＋b ＝ 4－（ 7－2） 4＋ 7－2 ＝6－ 7 2＋ 7 ＝（6－ 7）（ 7－2） （ 7＋2）（ 7－2） ＝8 7－19 3 26．(11 分)小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个 式子的平方，如 3＋2 2 ＝(1＋ 2 )2.善于思考的小明进行了以下探索： 设 a＋b 2 ＝(m＋n 2 )2(其中 a，b，m，n 均为整数)，则有 a＋b 2 ＝m2 ＋2n2＋2 2 mn. ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把类似 a＋b 2 的式子化为 平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b 3 ＝(m＋n 3 )2，用含 m，n 的 式子分别表示 a，b，得 a＝________，b＝________； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空：________＋ ________ 3 ＝(________＋________ 3 )2； (3)若 a＋6 3 ＝(m＋n 3 )2，且 a，m，n 均为正整数，求 a 的值． 解：(1)m2＋3n2 2mn (2)7 4 2 1 (3)a＝m2＋3n2，2mn＝6，∵a，m， n 均为正整数，∴m＝3，n＝1 或 m＝1，n＝3，①当 m＝3，n＝1 时，a＝9＋3 ＝12；②当 m＝1，n＝3 时，a＝1＋3×9＝28，∴a 的值为 12 或 28