安徽省安庆市示范高中2021届高三下学期4月高考模拟文科数学试题

安庆市省市示范高中 2021 年高考模拟考试 数学试题（文科） 本试卷共 4 页，23 题（含选考题）.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答 题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合  2 3 10 0A x x x    ，集合  0B x x  ，则 A B  （ ） A.    , 2 0,   B.  0,5 C.  0,2 D.  5,0 2. 若复数 z 满足 1 2i z i   ，其中i 是虚数单位，则 z 的共轭复数为（ ） A. 2 i B. 2 i C. 2 i  D. 2 i  3. 若实数 x ， y 满足约束条件 1 0 0 4 0 x x y x y          ，则目标函数 5z x y  的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 4. 函数 3ln( ) x xf x e  的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，  3 19 5n na n   ，则当 nS 最小时， n 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 某商店老板为了研究每天营业时间与营业额的关系，统计了 4 天的营业情况如下表： 营业时间 x （小时） 8 9 10 11 营业额 y （元） 720 800 882 966 经统计得到营业额 y （元）与当天营业时间 x（小时）之间具有线性关系，其回归直线方程为  82y x a  ， 则当营业时间为 14 小时，营业额大约为（ ） A. 1205 元 B. 1207 元 C. 1209 元 D. 1211 元 7. 若执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A. 1 2 B. -1 C. 1 D. 2 8. 杭州亚运会吉祥物穿越时空，怀揣梦想，书体育之欢畅，亮文化之灿烂，树经济之标杆，和杭州这座城 市的特质相契合，与杭州亚运会会徽、主题口号相呼应.三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，三个 亲密无间的好伙伴，将作为传播奥林匹克精神，传递和平与友谊的使者，向亚洲和世界发出“2022，相聚 杭州亚运会”的盛情邀约.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片（卡片的形状、大 小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回的取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸” 的概率是（ ） A. 2 3 B. 1 3 C. 2 9 D. 1 9 9. 若将函数 ( ) sin ( 0)4f x x        的图象向右平移 3  个单位长度后所得图象关于 y 轴对称，则 的 最小值为（ ） A. 1 8 B. 3 4 C. 3 8 D. 9 4 10. 已知 1F ， 2F 是双曲线 1C ： 2 2 12 x y  与椭圆 2C 的公共焦点， A 是 1C ， 2C 在第一象限的公共点，若 1 2AF AF ，则椭圆 2C 的离心率为（ ） A. 3 2 B. 1 2 C. 3 3 D. 1 3 11. 四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，体积为16 3 ，若 PA  平面 ABCD ，且 2PA  ，则四棱锥 P ABCD 的外接球体积的最小值是（ ） A. 160 5 3  B. 25 6  C. 125 D. 20 5 3  12. 已知函数 2 2 log ( 0)( ) 2 4 1( 0) x xf x x x x       ，若函数 ( ) ( )F x f x b  有四个不同的零点 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 且满足： 1 2 3 4x x x x   ，则 1 2 3 4x x x x  的值是（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知单位向量 a  ，b  满足 3a b b    ，则向量 a  与b  的夹角为__________. 14. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 1 1a  ， 1 2n n na a   ，则 2021S  __________. 15. 如图是由圆柱被截去一部分而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积是__________. 16. 抛物线 C ：  2 2 0y px p  的焦点为 F ，其准线与 x 轴的交点为 A ，如果在直线 4 0x y   上存 在点 M ，使得 90FMA  ，则实数 p 的取值范围是___________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 在 ABC△ 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，已知 5 4c b ， 2B C . （1）求 cos B 的值； （2）若 5 5c  ，点 D 为边 BC 上的点，且 6 5BD  ，求 ADC△ 的面积. 18. 为进一步提升某平台学习使用效能，确保平台推广应用取得实效.某市组织开展了一次知识竞赛活动， 满分为 120 分，从答卷中随机抽取了 n 份进行统计，将其成绩分成 0,20 ， 20,40 ， 40,60 ， 60,80 ，  80,100 ， 100,120 六组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若成绩不低于 80 分的称为“合格”，竞赛 成绩低于 80 分的称为“不合格”.已知抽取的样本中成绩低于 20 分的有 3 人. （1）求 n 和 p 的值； （2）根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的 2 2 列联表，并判断是否有90%以上的把握认为是否 合格与性别有关？ 合格 不合格 合计 男 女 10 55 合计 附：  2 0P K k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 19. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 60DAB   ， 7PB PD  ， 3PA  . （1）证明： PA BD ； （2）若 2PE EA ，求三棱锥 E PBC 的体积. 20. 已知椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率 3 2e  ，直线 3y x  经过椭圆C 的左焦点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若不经过右焦点 F 的直线 l ：  0, 0y kx m k m    与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，且与圆 O ： 2 2 1x y  相切，试探究 ABF△ 的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由. 21. 已知函数 3 2( ) 2 8f x x ax   . （1）当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在点   1, 1f 处的切线方程； （2）若在区间 1,2 内至少存在一个实数 x ，使得 ( ) 0f x  成立，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点、 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 4sin 0      ，直线l 过定点  1,1P 且与曲线C 交于 A ， B 两点. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 的斜率为 2，求 1 1 PA PB  的值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 4 1f x x x    . （1）解不等式 ( ) 4f x  ； （2）若方程 ( ) 1 0f x kx   解集为空集，求 k 的取值范围. 安庆市省市示范高中 2021 年高考模拟考试 数学（文科）参考答案 一、选择题 1-5：BCCAB 6-10：DACBA 11-12：DB 1.【解析】∵  2,5A   ，  0,B   ，则  0,5A B  .故选 B. 2.【解析】∵ 1 2 2iz ii     ，则 2z i   .故选 C. 3.【解析】画出平面区域可知，当目标函数 5z x y  过点 2,2 时，则 max 5 2 2 12z     . 4.【解析】∵   ( )f x f x   且   ( )f x f x  ，∴ ( )f x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除 B，D； 又∵ 1x   时， ( ) 0f x  ，排除 C.故选 A. 5.【解析】∵ 6 0a  ， 7 0a  ，所以当 6n  时， nS 取最小值，故选 B. 6.【解析】∵ 19 2x  ， 842y  ，则  19842 82 632a     ，当 14x  时，  82 14 63 1211y     . 7.【解析】 2a  ， 1i  ； 1 2a  ， 2i  ； 1a   ， 3i  ； 2a  ， 4i  ….因为 2021 3 673 2   ，所 以输出结果为 1 2 . 8.【解析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为 A 、B 、C ，则基本事件分别为 ,A A ， ,A B ，  ,A C ，  ,B A ，  ,B B ，  ,B C ， ,C A ， ,C B ，  ,C C 共 9 种情况.其中一张为“琮琮”，一张为 “宸宸”的共 2 种情况：  ,A B ， ,B A ，所以所求的概率 2 9P  . 9. 【 解 析 】 由 题 意 知 ， 将 ( ) sin ( 0)4f x x        的 图 象 向 右 平 移 3  个 单 位 长 度 后 得 到 ( ) sin sin3 4 3 4g x x x                             . 又 因 为 ( )g x 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， ∴ 3 4 2 k      ， k Z ，  33 4k k Z    .∵ 0  ，所以当 0k  时， min 3 4   . 10.【解析】  3,0F  ，设椭圆方程为   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ，则 3c  ，设 1AF m ， 2AF n ， 由 A 在双曲线上有 2 2 2 2 2 (2 3) m n m n      ，∴  2 2 2 2( ) 2 ( ) 16m n m n m n      ，即 2 4a  ， 2a  ，∴ 3 2 ce a   . 11. 【 解 析 】 设 底 面 长 和 宽 分 别 为 x 、 y ， 1 1623 3xy   ， 即 8xy  ， 四 棱 锥 外 接 球 的 直 径 2 2 22 2 2 4 2 8 4 2 5R x y xy         ，当且仅当 2 2x y  时，上式取等号，即 5R  ， 故四棱锥 P ABCD 的外接球的体积最小值为 34 20 53 3V R   . 12.【解析】函数 ( ) ( )F x f x b  的四个不同零点 1x ， 2x ， 3x ， 4x ，就是函数 ( )y f x 与 y b 图象交点 的横坐标，作出 ( )y f x 与 y b 的函数图象如下： 由图象知 1 2 2x x   ， 2 3 2 4log log 0x x  ，∴ 3 4 1x x  . 所以 1 2 3 4 2 1 3x x x x       ，故选 B. 二、填空题 13.【答案】 3  【解析】由 3a b b    得 2 2 2 2 3a ab b b      ，又∵ 1a b   ， 则1 2 cos 1 3a b     ，所以   1cos 0,2     ，∴ 3   . 14.【答案】 10122 3 【解析】∵ 1 1a  ， 1 2n n na a   ， ∴ 2 2a  ，当 2n  时， 1 1 2n n na a    ，∴ 1 1 1 2 22 n n n n a a      . 所以数列 na 中奇数项和偶数项分别成等比数列，所以  10101011 1012 2021 2 1 21 2 2 31 2 1 2S      . 15.【答案】 32 3  【解析】由三视图可知，该几何体是由圆柱体截去右边的 1 3 所形成的几何体， 故 22 322 43 3V      . 16.【答案】 4 2,  【解析】由题意得 ,02 pF      ， ,02 pA    ，∵ M 在直线 4 0x y   上， 设点  , 4M x x  ，∴ , 42 pA xM x        ， , 42 pFM x x        ，又 90FMA  ， ∴ 2( 4) 02 2 p pAM FM x x x                ，即 2 22 8 16 04 px x    . ∴ 2 2 28 4 2 16 2 64 04 p p            ，解得 4 2p   或 4 2p  ， 又 0p  ，∴ p 的取值范围是 4 2,  . 三、解答题 17.【解析】（1）由正弦定理： sin sin c b C B  ，又∵ 2B C ，∴sin sin 2 2sin cosB C C C  ， ∴ 5 4 sin 2sin cos b b C C C  .又∵ 5 4c b ，所以得 2 5cos 5C  ， ∴ 2 2 5 3cos cos2 2 15 5B C          . （2）由已知条件，得 5 5 54c b  ，∴ 20b  .由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B   ， 得 2 2 2 320 (5 5) 2 5 5 5a a     . 解得 11 5a  ，或 5 5a   （舍去）.由 6 5BD  ，得 5 5CD  . 由 2 5cos 5C  ，得 5sin 5C  .所以 1 520 5 5 502 5ADCS     △ . 18.【解析】（1）因为抽取的样本中竞赛成绩低于 20 分的有 3 人，所以 3 1000.0015 20n   ， (0.0015 0.002 0.02 0.009 0.0035) 20 1p       ， 解得： 0.05 0.036 0.014p    . （2）因为 100n  ，所以“合格”人数为：  100 0.009 0.0035 20 25    ， 从而 2 2 列联表如下图所示： 合格 不合格 合计 男 15 30 45 女 10 45 55 合计 25 75 100 所以 2 2 100 (15 45 10 30) 100 3.03045 55 75 25 33K         ， 因为3.030 2.706 ，所以有90%以上的把握认为是否合格与性别有关. 19.【解析】（1）证明：连接 AC 交 BD 于点 O .因为底面 ABCD 是菱形， 所以 BD AC ，OB OD ，又∵ PB PD ，∴ BD PO ， 而 AC PO O ，∴ BD  面 PAC .又∵ PA  平面 PAC ，∴ PA BD . （2）由（1）知 BD  面 PAC ，所以三棱锥 B PEC 的高为 1 12 BD  . 因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，所以 2 3AC  .因为 7PB PD  ，所以 6PO  . 在 PAO△ 中， 3PA  ， 6PO  ， 3AO  ，∴ 2 2 2PO AO PA  ，∴ PO OA ， 又因为 2PE EA ，所以 2 2 1 2 3 6 2 23 3 2PEC PACS S     △ △ ， 所以 1 2 22 2 13 3E PBC B PECV V      . 20.【解析】（1）因为直线 3y x  经过椭圆 C 的左焦点，所以椭圆C 的左焦点坐标为 3,0 ， 故 3c  .又∵ 3 2e  ，∴ 2a  ， 2 2 1b a c   ， 故椭圆的标准方程为： 2 2 14 x y  . （2）是定值，理由如下：因为直线l ：  0, 0y kx m k m    与圆 2 2 1x y  相切， 所以 2 1 1 m k   ，即 2 21m k  ，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，联立 2 2 14 y kx m x y     ， 消去 y 整理得 2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m     ，所以  2 2 216 4 1 48 0k m k      ， 1 2 2 8 4 1 kmx x k     ， 2 1 2 2 4 4 4 1 mx x k   ，所以      2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 21 4x x y y k xA xB x x        2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 4 11 4 4 4 14 1 4 1 4 1 km m kk k mk k k             ， 又 2 21m k  ，所以 2 4 3 4 1 kA mB k   . 由于 0k  ， 0m  ，所以 10 2x  ， 20 2x  ， 因为     22 22 1 1 1 1 1 33 3 1 24 2A xF xx y x         ，同理 2 32 2BF x  ， 所以  1 2 2 2 3 3 8 4 34 4 42 2 4 1 4 1 km kmAF B kF x x k          ， 所以 2 2 4 3 4 34 44 1 4 1 km km kAF BF kAB       ，故 ABF△ 的周长为定值 4. 21.【解析】（1）当 1a  时， 2'( ) 6 2f x x x  ，  1 9f  ， 曲线 ( )y f x 在点   1, 1f 处的切线斜率  ' 1 4k f  ， 所以曲线 ( )y f x 在点   1, 1f 处的切线方程为 4 5 0x y   . （2）∵   2'( ) 6 2 2 3 1 2f x x ax x x a x      . ①当 13 a  ，即 3a  时， '( ) 0f x  ，∴ ( )f x 在 1,2 上单调递增，∴  min( ) 1 10 0f x f a    ， 解得 10a  ，与 3a  矛盾，舍去. ②当1 23 a  ，即3 6a  时， x 1, 3 a    3 a ,23 a     '( )f x - 0 + ( )f x 递减 极小 递增 ∴ 3 3 3 min 2( ) 8 8 03 27 9 27 a a a af x f            ，解得 6a  ，与3 6a  矛盾，舍去. ③当 23 a  ，即 6a  时， '( ) 0f x  ，∴ ( )f x 在 1,2 上单调递减， ∴  min( ) 2 4 24 0f x f a     ，解得 6a  ，又∵ 6a  ，所以 6a  . 综合①②③可得，实数 a 的取值范围为 6, . 22.【解析】（1）由 2sin 4sin 0      得 2 2 2sin 4 sin 0       . 于是 24 sin ( cos )    ，∴ 2 4x y ， 所以曲线C 的直角坐标方程为 2 4x y . （2）设直线l 的倾斜角为 ，则 tan 2  ，于是 2 5sin 5   ， 5cos 5   ， 所以直线l 的参数方程为 51 5 2 51 5 x t y t       （t 为参数）. 将 51 5 2 51 5 x t y t       ，代入 2 4x y 得 2 6 5 15 0t t   ， 所以 1 2 6 5t t  ， 1 2 15t t   ， 所以 1 1 PA PB PA PB PA PB    2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 4 4 15 15 t t t tt t t t t t      . 23.【解析】 5 2 1 ( ) 4 1 3 1 4 2 5 4 x x f x x x x x x             ， ( ) 1f x  ，即 1 4 4x x    ，所以 1 5 2 4 x x     或 1 4 3 4 x    或 4 2 5 4 x x     ， 解得 1 12 x  或1 4x  或 94 2x  ，解集为 1 9 2 2x x     . （2）等价于 1 1 4kx x x     没有解， 即函数 1y kx  和函数 1 4y x x    的图像没有交点， 5 2 1 1 4 3 1 4 2 5 4 x x y x x x x x             ， 画出 1 4y x x    的图像，直线 1y kx  恒过点  0,1P ， 即直线 1y kx  绕点 P 旋转时，与函数图象 1 4y x x    无交点时斜率的范围. 如图，所以 k 的取值范围为 12, 2     .