最新冀教版八年级数学上册第十三章全等三角形PPT

第十三章 全等三角形 13.1　命题与证明 根据以前学过的图形的特性，试判断下列句子是否正确 . 1 . 如果两个角是对顶角 , 那么这两个角相等 . 2 . 两直线平行，同位角相等 . 3 . 同旁内角相等，两直线平行 . 4 . 平行四边形的四条边相等 . 5 . 直角都相等 . 温故知新 观察下面两个命题 : (1) 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； (2) 两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等 . 在这两个命题中，其中一个命题的条件和结论，与另一个命题的条件和结论有怎样的关系？ 请再举例说明两个具有这种关系的命题 学 习 新 知 在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题 . 像这样，一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题 . 　 每一个命题都有逆命题。 只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题 . 但有很多命题的逆命题并不是简单地将原命题的条件与结论互换，必须正确运用数学语言 . 知识拓展 每个命题都有逆命题，但原命题正确，它的逆命题未必正确。要说明一个命题是假命题，只要举出反例就可以了 . 下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1) 对顶角相等 . (2) 如果 a>b ， b>c ，那么 a=c . 解： (1) 条件：两个角是对顶角 . 结论：这两个角相等 . (2) 条件： a>b ， b>c . 结论： a=c . 做一做 　 判断下列句子是否正确 . (1) 三角形的内角和是 180 度 . (2) 同位角相等 . (3) 同角的余角相等 . (4) 一个锐角与一个钝角的和是 180 度 . 议一议 证明 ：平行于同一条直线的两条直线平行。 已知：如图所示，直线 a ， b ， c ， a ∥ c ， b ∥ c . 求证： a ∥ b. a c b 是真命题？假命题？ 例题讲解 证明 ：如图所示，作直线 d ，分别与直线 a ， b ， c 相交 . ∵ a ∥ c ( 已知 ) ， ∴ ∠ 1= ∠ 2( 两直线平行，同位角相等 ). ∵ b ∥ c ( 已知 ) ， ∴ ∠ 2= ∠ 3( 两直线平行，同位角相等 ). ∴ ∠ 1= ∠ 3( 等量代换 ). ∴ a ∥ b ( 同位角相等，两直线平行 ). 即平行于同一条直线的两条直线平行 . a c b d 3 2 1 一般地，证明命题按如下步骤进行： (1) 依据题意画图，将文字语言转换为符号 ( 图形 ) 语言； (2) 根据图形写出已知、求证； (3) 根据基本事实、已有定理等进行证明 . 1. 如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也就成了定理。这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理 . 2. 一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理 . 你能举出我们学过的一些互逆定理吗？ 课堂小结 命题的组成 每一个命题都是由条件和结论两部分组成的，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项 . 注意：对每一个讨论的命题，其条件和结论不一定只有一个 . 真命题、假命题、反例 正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；举一个例子，其具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例 . 注意：要说明一个命题是假命题，通常举出反例来说明 . 互逆命题与互逆定理 一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也就成了定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理 . 注意：任何一个命题都有逆命题，但任何一个定理不一定有逆定理 . 证明的一般步骤 (1) 画图；（ 2) 写出已知、求证； (3) 证明 . 注意：证明要做到有理有据 . 检测反馈 1. 下列命题的逆命题一定成立的是 ( 　　 ) ① 对顶角相等 ； ② 同位角相等，两直线平行 ； ③ 若 a=b , 则 | a |=| b | ； ④ 若 x =3, 则 x 2 -3 x =0 . A.①②③ B.①④ C .②④ D .② D 解析 :① 对顶角相等 , 逆命题为 : 相等的角为对顶角 , 错误 ;② 同位角相等 , 两直线平行 , 逆命题为 : 两直线平行 , 同位角相等 , 正确 ;③ 若 a = b , 则 | a |=| b |, 逆命题为 : 若 | a |=| b |, 则 a=b , 错误 ;④ 若 x =3, 则 x 2 - 3 x =0, 逆命题为 : 若 x 2 - 3 x =0, 则 x =3, 错误 . 故选 D. 2. 命题： ① 对顶角相等； ② 垂直于同一条直线的两直线平行； ③ 相等的角是对顶角； ④ 同位角相等 . 其中假命题有 ( 　　 ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 C 解析 : 对顶角相等 , 所以 ① 为真命题 ; 在同一平面内 , 垂直于同一条直线的两直线平行 , 所以 ② 为假命题 ; 相等的角不一定是对顶角 , 所以 ③ 为假命题 ; 两直线平行 , 同位角相等 , 所以 ④ 为假命题 . 故选 C. 3. 已知三条不同的直线 a ， b ， c 在同一平面内，下列四个命题： ① 如果 a ∥ b ， a ⊥ c ，那么 b ⊥ c ； ② 如果 b ∥ a ， c ∥ a ，那么 b ∥ c ； ③ 如果 b ⊥ a ， c ⊥ a ；那么 b ⊥ c ； ④ 如果 b ⊥ a ， c ⊥ a ，那么 b ∥ c . 其中真命题的是 　　　　 . ( 填写所有真命题的序号 )  ①②④ 解析 : 分析所给命题是否为真命题 , 需要分析条件是否能推出结论 , 从而利用排除法得出答案 . 故填 ①②④ . 4. 命题“如果 n 是整数 , 那么 2 n 是偶数”的条件是 　　　　， 结论是 　　　 　 ，这是 　　 命题 ( 填“真”或“假” ).  n 是整数 2 n 是偶数 真 5. 如图所示，直线 AB 和直线 CD 、直线 BE 和直线 CF 都被直线 BC 所截 . 在下面三个条件中，请你选择其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明 . ① AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ， ② BE ∥ CF ， ③ ∠ 1= ∠ 2. 解析 : 命题写成“如果… , 那么…”的形式时 , “如果”后面接的部分是条件 , “那么”后面接的部分是结论 . 依此可写出命题“如果 n 是整数 , 那么 2 n 是偶数”的条件和结论 . 根据偶数的定义可知该命题是真命题 . 5. 如图所示，直线 AB 和直线 CD 、 直线 BE 和直线 CF 都被直线 BC 所 截 . 在下面三个条件中，请你选 择其中两个作为条件，剩下的一 个作为结论，组成一个真命题并 证明 . ① AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ， ② BE ∥ CF ， ③ ∠ 1= ∠ 2. A E B F C D 1 2 解 ： ( 答案不唯一 ) 已知：如图所示， AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ， BE ∥ CF . 求证：∠ 1= ∠ 2. 证明： ∵ AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ， ∴ AB ∥ CD ， ∴ ∠ ABC = ∠ DCB ， 又 ∵ BE ∥ CF ， ∴ ∠ EBC = ∠ FCB ， ∴ ∠ ABC - ∠ EBC = ∠ DCB - ∠ FCB ， ∴ ∠ 1= ∠ 2. A E B F C D 1 2 第十三章 全等三角形 13.2　全等图形 如图所示，每组的两个图形有什么特点？ （ 1 ） （ 2 ） 观察思考 观察下面两组图形，它们是不是全等图形？并指出它们的相同点与不同点 . 学 习 新 知 （ 1 ） （ 2 ） 观察下面的全等图形，找出图形的对应边、对应点和对应角 . A D B C E H F G (1) 你能把如图 ( a ) 所示的长方形分成 2 个全等图形吗？把如图 ( b ) 所示的等边三角形分成 3 个全等三角形吗？把如图 ( c ) 所示的长方形分成 4 个全等三角形吗？ ( a ) ( b ) ( c ) (2) 你会把下图 ( d ) 和 ( f ) 分别分成四个全等的图形吗？试一试 .( 保留你画的痕迹 ) ( d ) ( f ) 注：当两个全等的图形重合时，互相重合的点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角 . 　 两个全等图形，它们的形状和大小应该是完全相同的，缺一不可 . 两个全等图形与它们的相对位置无关。全等多边形是全等图形的特例，所以如果两个全等多边形能够达到重合状态，那么它们重合的边 ( 对应边 ) 、重合的角 ( 对应角 ) 分别相等 . 知识拓展 定义：全等三角形是能够完全重合的两个三角形，是形状相同、大小相等的两个三角形 . A B C E D F 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 . 做一做 做一个三角形，然后将做好的三角形按在纸上沿它的各边做第二个三角形 . 把两个三角形叠放在一起看看，它们会怎样？ 将△ ABC 沿直线平移后得到的△ A′B′C′ ( 如图所示 ) 。 观察并指出图中的对应顶点、对应边、对应角。 议一议 A B C B′ A′ C′ 对应顶点是 A 和 A′ ， B 和 B′ ， C 和 C′ . 对应边是 AB 和 A′B′ ， BC 和 B′C′ ， AC 和 A′C′ . 对应角是 ∠ A 和 ∠ A′ ，∠ B 和∠ A′B′C′ ，∠ C 和∠ C′ 。 △ ABC 与 △ A′B′C′ 全等记作 △ ABC ≌ △ A′B′C′. 全等三角形的对应边有什么关系？对应角有什么关系？ 想一想 D A B C A C B D 有公共边的，公共边是对应边。 A B O C D A B C D E F 有公共角的，公共角是对应角 . 有对顶角的，对顶角是对应角 . 在两个全等的三角形中：一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边。一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角。 已知 : 如图所示，△ ABC ≌△ DEF ，∠ A =78 ° ，∠ B =35 ° ， BC =18. (1) 写出△ ABC 和△ DEF 的对应边和对应角 . (2) 求∠ F 的度数和边 EF 的长 . F B A E D C 例题讲解 课堂小结 1. 全等图形 ：能够完全重合的两个图形叫做全等图形 . 这里的重合是指完全重合，这里的全等不等同于相等，全等指两个图形完全重合，而相等是对两个量而言，可以是长度、重量，也可以是面积、体积 . 2. 全等三角形的对应边相等，对应角相等，这些性质是探讨全等三角形的基础，也是今后探索其他较复杂图形的性质的重要依据 . 在利用全等三角形的性质进行计算和证明时，要注意对应元素相等 . 检测反馈 1. 如图所示，△ ABC ≌△ AEF ， AB 和 AE ， AC 和 AF 是对应边，那么∠ EAF 等于 ( 　　 ) A . ∠ ACB B . ∠ BAC C . ∠ F D . ∠ CAF B A B E C F 解析 : ∵ △ ABC ≌ △ AEF ,∴ ∠ EAF = ∠ BAC. 故选 B . 2 . 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 面积相等的两个图形全等 B. 周长相等的两个图形全等 C. 形状相同的两个图形全等 D. 全等图形的形状和大小都相同 D 解析 : 根据全等图形的概念 : 能够完全重合的两个图形叫做全等图形进行分析即可 . 故选 D. 3. 如图所示的四个图形中，全等的图形是 ( 　　 ) D A.① 和 ② B.① 和 ③ C.② 和 ③ D.③ 和 ④ ① ② ③ ④ 解析 : ③ 和 ④ 可以完全重合 , 因此全等的图形是 ③ 和 ④ . 故选 D. 4. 如图所示，若△ ABE ≌ △ ACF ，且 AB =5 ， AE =3 ，则 EC 的长为 ( 　　 ) A A . 2 B . 3 C . 5 D . 2.5 C A F E B 解 析： ∵ △ ABE ≌ △ ACF , AB =5,∴ AC = AB =5,∵ AE =3, ∴ EC = AC-AE =5 - 3=2 . 故选 A. 5. 如图所示，已知△ ABC ≌ △ ADE ，∠ C = ∠ E ， AB = AD ，则另外两组相等的对应边为 　 　　　 ，另外两组相等的对应角为 　 　　 。 　 AC=AE ， BC=DE ∠ BAC= ∠ DAE ， ∠ B= ∠ ADE 解析 ： ∵ △ ABC ≌ △ ADE , ∠ C = ∠ E , AB = AD ,∴ AC = AE , BC = DE , ∠ BAC = ∠ DAE , ∠ B = ∠ ADE. D B E C A 6. 如图所示，若△ OAD ≌ △ OBC ，且∠ O =65 ° ，∠ BEA =135 ° ，求∠ C 的度数。 ( 提示：四边形的内角和为 360 ° ) C O B A D E 解： ∵ △ OAD ≌ △ OBC ， ∴ ∠ C = ∠ D ，∠ OBC = ∠ OAD ， ∵ ∠ O =65 ° ， ∴ ∠ OBC =180 ° -65 ° - ∠ C =115 ° - ∠ C ， 在四边形 AOBE 中， ∠ O + ∠ OBC + ∠ BEA + ∠ OAD =360 ° ， ∴ 65 ° +115 ° - ∠ C +135 ° +115 ° - ∠ C =360 ° ，∠ C =35 ° . 第十三章 全等三角形 13.3　全等三角形的判定（ 第 1 课时 ） (1) 全等三角形 　　　　 相等， 　　　　 相等 . (2) 全等三角形有哪些性质？如图甲所示已知△ AOC ≌ △ BOD ，则∠ A = ∠ B ，∠ C= 　　　　 ， 　　　　 = ∠ 2 ，对应边 AC = 　　　　，　　　　 = OB ， 　 　 = OD . D A B C O 1 2 甲 提出问题 (3) 如图乙所示，已知△ AOC ≌△ DOB ，则∠ A = ∠ D ，∠ C = 　　　　 ， 　　　　 = ∠ 2 ，对应边 AC = 　　　　 ， OC = 　　　　 ， AO = 　　　　 . B C D A O 1 2 乙 (4) 如图丙所示，已知∠ B = ∠ D ，∠ 1= ∠ 2 ，∠ 3= ∠ 4 ， AB=CD ， AD=CB ，则△ 　　　　 ≌△ 　　　　 . 丙 C B D A 1 2 3 4 (5) 判定两个三角形全等，依定义必须满足 ( 　　 ) A. 三边对应相等 B. 三角对应相等 C. 三边对应相等和三角对应相等 D. 不能确定 先任意画出一个△ ABC ，再画一个△ A′B′C′ ，使△ ABC 与△ A′B′C′ 满足上述六个条件中的一个或两个，你画出的△ A′B′C′ 与△ ABC 一定全等吗？ (1) 三角形的两个角分别是 30 ° ， 50 ° . ( 2) 三角形的两条边分别是 4 cm ， 6 cm. (3) 三角形的一个角为 30 ° ，一条边为 3 cm. 学 习 新 知 只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等 . 已知△ ABC ，再任意画出一个△ A′B′C ′ ，使 A′B′=AB ， B′C′=BC ， C′A′=CA 。把画好的 △ A′B′C ′ 剪下，放到△ ABC 上，它们全等吗 ? 三边分别相等的两个三角形全等 . 应用时的简写方法：“边边边”或“ SSS ” . 先任意画出一个△ ABC ，再画一个△ A′B′C ′ ，使△ ABC 与△ A′B′C ′ 满足上述六个条件中的一个或两个。你画出的△ A′B′C′ 与△ ABC 一定全等吗？ 小组讨论下面问题： (1) 在两个三角形中，有一个角对应相等，或一条边对应相等，这两个三角形是否一定全等？有两个角对应相等，或两条边对应相等，或一个角和一条边分别对应相等，情况怎样？有三个角对应相等的情况呢？ 议一议 (2) 用来判断两个三角形全等的条件，只有以下三种情况才有可能：三条边对应相等，或两条边和一个角分别对应相等，或两个角和一条边分别对应相等。你认为这些说法对吗？ 通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△ ABC 与 △ A′B′C′ 不一定全等。满足上述六个条件中的三个，能保证△ ABC 与△ A′B′C′ 全等吗？ 分小组活动： (1) 用一根长 13 cm 的细铁丝，折成一个边长分别是 3 cm ， 4 cm ， 6 cm 的三角形。把你做的三角形和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？ (2) 和同学一起每人用一根 13 cm 长的细铁丝，余下 1 cm ，用其余部分折成一个边长分别是 3 cm ， 4 cm ， 5 cm 的三角形，再和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？ (3) 每人用一根细铁丝，任取一组能构成三角形的三边长的数据，和同桌分别按这些数据折三角形，折成的两个三角形能重合吗？ (4) 先任意画出一个△ ABC ，再画一个△ A′B′C′ ，使 A′B′=AB ， B′C′=BC ， C′A′=CA 。把画好的△ A′B′C′ 剪下，放到△ ABC 上，它们全等吗？ 文字 符号 图形 三边对应相等的两个三角形全等 如果 AB=A′B′ ， BC=B′C′ ， AC=A′C′ ，那么 △ ABC ≌△ A′B′C′ A B C B′ A′ C′ 将三根木条钉成一个三角形框架，在拉动时，这个三角形框架的形状、大小就不变了。就是说，三角形的三边确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了。这里就用到了上面的结论。 用上面的结论可以判断两个三角形全等。 用四根木条钉成四边形框架时，在拉动时，它的形状会改变，所以四边形具有不稳定性。 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。 如图所示， △ ABC 是一个钢架， AB=AC ， AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架。 求证△ ABD ≌△ ACD . C B A D 例题讲解 证明： ∵ D 是 BC 的中点， ∴ BD=CD 。 在△ ABD 和△ ACD 中， AB=AC ， BD=CD ， AD=AD . ∴ △ ABD ≌△ ACD (SSS). (1) 有的题目可以直接从图中找到全等的条件，而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中，所以一定要认真读图，准确把握题意，找准所需的条件 . (2) 数形结合思想：将“数”与“形”结合起来进行分析、研究 , 这是解决问题的一种思想方法 . 知识拓展 课堂小结 两个三角形如果三边对应相等，那么这两个三角形全等，称为“边边边”基本事实，从而可知三角形具有稳定性这一性质。 利用两三角形全等，可进行一些相关的计算和证明。 检测反馈 1. 如图所示， B ， D ， C ， E 在一条直线上，且 BC=DE ， AC=FD ， AE=FB ，则 BD = 　　　　 ，△ ACE ≌ 　　　　 ，理由是 　　　　 .  EC △ FDB SSS A C D E F B 解析 : ∵ BC = BD + CD , DE = EC + CD , BC = DE ,∴ BD = EC. 又 ∵ AC = FD , AE = FB , ∴ △ ACE ≌ △ FDB (SSS) . 解析 : 添加 AC = DF. ∵ BE = CF ,∴ BC = EF , ∵ 在 △ ABC 和 △ DEF 中 , ∴ △ ABC ≌ △ DEF (SSS) . 故填 AC = DF. 2. 如图所示，点 B ， E ， C ， F 在一条直线上， AB=DE ， BE=CF ，请添加一个条件： 　　　　 ，使△ ABC ≌△ DEF (SSS).  AC=DF D A F C E B 3. 如图所示，在△ ABC 中， AB=AC ， BE=CE ，则由“ SSS ”可以判定 　　　　 .( 填序号 )  ③ ① △ ABD ≌△ ACD ；　 ② △ BDE ≌△ CDE ； ③ △ ABE ≌△ ACE . A D B E C 解析 : AE 为 △ ABE 与 △ ACE 的公 共 边 , ∵ AB = AC , BE = CE , AE = AE , ∴ △ ABE ≌ △ ACE. 故填 ③ . 4. 如图所示，在四边形 ABCD 中， AB=AD ， CB=CD . 求证∠ B = ∠ D. 证明： 连接 AC ，在△ ABC 和△ ADC 中， AB=AD ， CB=CD ， AC=AC ， ∴ △ ABC ≌△ ADC ， ∴ ∠ B = ∠ D . 解析 : 先连接 AC , 由于 AB = AD , CB = CD , AC = AC , ∴ 可利用“ SSS ”证明 △ ABC ≌ △ ADC ,∴ ∠ B = ∠ D. 13.3　全等三角形的判定（ 第 2 课时 ） 1 . 怎样的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的判定 (SSS) 的内容是什么？ 想一想 2 . 如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？ 此时应该有两种情况，一种是角夹在两条边的中间，形成两边一夹角，一种是角不夹在两边的中间，形成两边一对角，如图所示： 边 — 角 — 边 边 — 边 — 角 在社会主义新农村的建设中，工人师傅要做一个和原来同样大小的三脚架，于是他测量了原三脚架的两边的长度和这两边所夹的角的度数 . 这样就可以做出一个和原来形状大小完全相同的三脚架，你们知道这是为什么吗？ 思考 1. 先任意画一个△ ABC ，如图 1 所示，再画一个△ A′B′C′ ，使 A′B′=AB ， A′C′=AC ， ∠ A′= ∠ A 。 ( 即两边和它们的夹角相等 ) 学 习 新 知 A′ B′ A C B E D A′ C′ B′ C′ 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或“ SAS ” 三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定了。 用符号语言表述为： 在△ ABC 与△ A′B′C′ 中， AB=A′B′ ， AC=A′C′ ， ∠ A= ∠ A′ . ∴ △ ABC ≌△ A′B′C′ (SAS). 　 “ SAS ”中的“ A ”必须是两个“ S ”所夹的角 . 如果把“两边及其夹角分别相等”改为“两边及其中一边的对角相等”，那么这两个三角形还全等吗？ 通过反例证明：已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等不一定成立 . 如图所示，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ ABC ，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ ABD . 这个试验说明了什么？ A B D C 两个三角形的两条边和其中一条边的对角分别相等时，这两个三角形不一定全等 . 画一个△ ABC ，使 AB =3 cm ， BC =4 cm ，∠ B =60 ° . 比较小组内成员所画的三角形是否全等 . 画一画 通过刚才的操作，你能得出什么结论？ 如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等” . 简记为“边角边”或“ SAS ” . 已知：如图所示， AD ∥ B C ， AD=CB . 求证：△ ADC ≌△ CBA . 例题讲解 例 1 A C B D 1 2 如图所示，为了测量出池塘两端 A ， B 两点之间的距离，在地面上找到一点 C ，连接 BC ， AC ，使∠ ACB =90° ，然后在 BC 的延长线上确定 D ，使 CD=BC ，那么只要测量出 AD 的长度也就得到了 A ， B 两点之间的距离 . 你能说明其中的道理吗？ 例 2 （补充） 解 ：因为∠ ACB =90 ° ， 所以∠ ACD =180 ° - ∠ ACB =90 ° 又因为 BC=DC ， AC=AC ， 所以△ ABC ≌△ ADC (SAS) ， 所以 AB=AD ( 全等三角形的对应边相等 ). 　在利用“ SAS ”判定两个三角形全等时，要注意这个角是不是两个三角形的公共角、对顶角 . 知识拓展 巩固练习 如图所示，根据题目条件，判断每组中的三角形是否全等 . (1) 在图 (1) 中， AC=DF ，∠ C = ∠ F ， BC = EF ； (2) BC = BD ，∠ ABC = ∠ ABD . D A B C F (1) A B D C (2) 全等 全等 E 课堂小结 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或“ SAS ”。 注意 ：三角形全等的基本事实“ SAS ”中的相等的角必须是夹角，否则这两个三角形不一定全等，即有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 . 检测反馈 1. 如图所示，已知 AB ∥ CD ， A ， E ， F ， D 在一条直线上， AB=CD ， AE=FD ，则图中的全等三角形有 ( 　　 ) C B E F C D A A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.0 对 解析 : ∵ AB ∥ CD ,∴ ∠ A = ∠ D ,∵ AB = CD , AE = FD ， ∴ △ ABE ≌ △ DCF (SAS),∴ BE = CF , ∠ BEA = ∠ CFD ,∴ ∠ BEF = ∠ CFE ,∵ EF = FE ,∴ △ BEF ≌ △ CFE (SAS),∴ BF = CE ,∵ AE = DF ,∴ AE + EF = DF + EF , 即 AF = DE ,∴ △ ABF ≌ △ DCE (SSS) . ∴ 全等的三角形共有 3 对 . 故选 C . 2. 如图所示，在△ ABC 和△ DEF 中， AB=DE ，∠ B = ∠ E ，则下列能直接应用“ SAS ”判定△ ABC ≌△ DEF 的条件可以是 ( 　　 ) A D A E C F B A .BF=EC B . ∠ ACB= ∠ DFE C .AC=DF D . ∠ A= ∠ D 解析 : 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS) . 在 △ ABC 中 , 夹∠ B 的两边是 AB , BC , 在 △ DEF 中 , 夹∠ E 的两边是 DE , EF , BC = BF + FC , EF = CE + CF , 要使 BC = EF , 则 BF = EC . 故选 A. 3. 如图所示，已知 AB=AC ， AD=AE ，欲证△ ABD ≌ △ ACE ，需补充的条件可以是 ( 　　 ) C A . ∠ B= ∠ C B . ∠ D= ∠ E C. ∠ 1= ∠ 2 D . ∠ CAD= ∠ DAC A D B E C 2 1 解析 : ∵ AB = AC , AD = AE , ∠ B = ∠ C 不是已知两边的夹角 ,∴A 不可以作为条件 ; ∠ D = ∠ E 不是已知两边的夹角 ,∴B 不可以作为条件 ； 由∠ 1= ∠ 2 得∠ BAD = ∠ CAE ， 符合“ SAS ” , 可以作为补充的条件 ; ∠ CAD = ∠ DAC 不是已知两边的夹角 ， ∴D 不可以作为条件 . 故选 C. 第十三章 全等三角形 13.3　全等三角形的判定（ 第 3 课时 ） 1 . 三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ 温故知新 答： ( 三个角、三个边、两边一角、两角一边 ) 2. 到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？ 思 考 如图所示，小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是什么？你能帮小明出出主意吗？ 1 2 3 4 1. 利用刻度尺、量角器、小刀等工具制作符合如下条件的三角形： (1) △ ABC ，其中∠ A =35 ° ，∠ B =65 ° ， AB =5 cm ； (2) △ DEF ，其中∠ D =70 ° ，∠ E =50 ° ，∠ E 的对边 DF =4 cm. 学 习 新 知 2 . 如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，那么你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗？试试看 . 有两角和夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ ASA ”或“角边角” . 3. 如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，以你所画的△ DEF 为例，你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗？试试看 . 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 , 简写成“角角边”或“ AAS ” . 如图所示，在△ ABC 和△ A′B′C′ 中，已知 AB=A′ B′ ，∠ A= ∠ A′ ，∠ B= ∠ B′ . 求证△ ABC ≌△ A'B'C' . C′ C A′ B B′ A 如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“ ASA ” ( 或角边角 ). 如图所示，已知∠ ABC = ∠ DCB ，∠ A = ∠ D ，求证：△ ABC ≌△ DCB . 做一做 D C B A 如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？ “ AAS ”定理： 如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等 . 简记为“ AAS ” ( 或角角边 ) . 如何证明此定理 ？ 已知：如图所示， AD=BE ，∠ A = ∠ FDE ， BC ∥ EF 。 求证：△ ABC ≌△ DEF . F C E B D A 例题讲解 证明 ： ∵ AD=BE ( 已知 ) ， ∴ AB=DE ( 等式的性质 ). ∵ BC ∥ EF ( 已知 ) ， ∴ ∠ ABC= ∠ E ( 两直线平行，同位角相等 ). 在△ ABC 和△ DEF 中， ∵ ∠ A = ∠ FDE AB = DE ， ∠ ABC = ∠ E. ∴ △ ABC ≌△ DEF (ASA). F C E B D A 课堂小结 “角边角”判定三角形全等 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ ASA ” . “角角边”判定三角形全等 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 ( 简写成“角角边”或“ AAS ” ) . 检测反馈 1. 如图所示，给出下列四组条件 : ① AB=DE ， BC=EF ， AC=DF ； ② AB=DE ，∠ B = ∠ E ， BC = EF ； ③ ∠ B = ∠ E ， BC = EF ，∠ C = ∠ F ； ④ ∠ B= ∠ E ，∠ C= ∠ F ， AC=DE. 其中，能证明△ ABC ≌△ DEF 的条件共有 ( 　　 ) A . 1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 C A C D E F B 解析 : ① 符合“ SSS ” ， ② 符合“ SAS ” ， ③ 符合“ ASA ” , 这 3 组都能证明 △ ABC ≌ △ DEF ； ④ 不符合“ AAS ” , 不能证明 △ ABC ≌ △ DEF ， 故本组不正确 . 所以有 3 组条件能证明 △ ABC ≌ △ DEF. 故选 C. 2. 如图所示，在△ ABC 与△ DEF 中，给出以下六个条件： (1) AB=DE ； (2) BC=EF ； (3) AC=DF ； (4) ∠ A= ∠ D ； (5) ∠ B= ∠ E ； (6) ∠ C= ∠ F . 以其中三个作为已知条件，不能判断△ ABC 与△ DEF 全等的是 ( ) A.(1)(5)(2) B.(1)(2)(3) C.(4)(6)(1) D.(2)(3)(4) D D A E C F B 解析 : A. 正确 , 符合判定方法“ SAS ” ； B. 正确 ， 符合判定方法“ SSS ” ； C. 正确 , 符合判定方法“ AAS ” ； D. 不正确 ， 不符合全等三角形的判定方法 . 故选 D. 3. 如图所示，已知∠ CAE= ∠ DAB , AC=AD . 给出下列条件： ① AB=AE ； ② BC=ED ； ③ ∠ C= ∠ D ； ④ ∠ B= ∠ E . 其中能判定△ ABC ≌△ AED 的条件为 　　　　 .( 注：把你认为正确的答案序号都填上 )  ①③④ A C D E B 解析 : ∵ ∠ CAE = ∠ DAB ， ∴ ∠ CAE + ∠ EAB = ∠ DAB + ∠ EAB ， 即∠ CAB = ∠ DAE. 又 AC = AD ， ∴ 要判定 △ ABC ≌ △ AED ， 可添加的条件为 :① AB = AE (SAS) ； ③ ∠ C = ∠ D (ASA) ； ④ ∠ B = ∠ E (AAS) . 故填 ①③④ . 证明： ∵ AB ∥ DF ， ∴ ∠ B= ∠ CPD ，∠ A= ∠ FDE ， ∵ ∠ E = ∠ CPD ， ∴ ∠ E = ∠ B ， 在△ ABC 和△ DEF 中， ∴ △ ABC ≌△ DEF (ASA). 4. 如图所示，点 E ， C ， D ， A 在同一条直线上， AB ∥ DF ， ED = AB ，∠ E = ∠ CPD . 求证△ ABC ≌△ DEF . F C E B D A P ∠ B = ∠ E ， AB=ED ， ∠ A = ∠ FDE . 13.3　全等三角形的判定（ 第 4 课时 ） 如图所示，已知∠ ABC = ∠ DEF ， AB=DE ，试说明△ ABC ≌△ DEF . (1) 若以“ SAS ”为依据，还需添加一个条件为 　 　 ； (2) 若以“ ASA ”为依据，还需添加一个条件为 　　 ； (3) 若以“ AAS ”为依据，还需添加一个条件为 　 　   . 温故知新 思 考 F A E B D C 一个图形可以进行哪些变换 ? 你能发现如图所示的两组图形中两个三角形有什么美妙的关系吗？ E F D 甲 A B C D E B C A 乙 各图中的两个三角形全等吗？ 拿一张纸对折后，剪两个全等的三角形，试一试，如果其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到如图所示的各图形 . 学 习 新 知 E D （ 1 ） B C A （ 2 ） C B A D E E F B C A D （ 4 ） E F B C A D （ 5 ） B C A D （ 3 ） （ 6 ） 如图所示，在等边三角形 ABC 中，取各边中点 D ， E ， F ，连接 DE ， EF ， DF . 1. 图形中有哪些三角形是全等的？ 2. 哪个三角形可以看成是另一个三角形经过平移或旋转得到的？ E F B C A D 知识拓展 　 一般来说，两个全等三角形的相互位置关系无论怎样变化，总离不开“转、移、翻”这三种基本形式 . 如图所示，各组图形中的两个三角形都是能够完全重合的两个三角形，它们都是全等三角形 . B C A D 翻折型 A O C D B 旋转型 O C D A B E F B C A D E D B C A 平移型 已知：如图所示，在△ ABC 中， D 是 BC 的中点， DE ∥ AB ，交 AC 于点 E ， DF ∥ AC ，交 AB 于点 F . 求证： △ BDF ≌ △ DCE . F C E B D A 例题讲解 问题 1 ：观察图形 , △ BDF 和△ DCE 有怎样的位置关系？可以怎样变换得到？ 问题 2 ：要证明△ BDF 与△ DCE 全等，题目中已知和未知的元素是什么？要采用哪种判定方法进行证明？ 已知：如图所示，在△ ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， CF ∥ AB ，交 DE 的延长线于点 F . 求证： DE=FE . F C E B D A 问题 1 ：观察图形中哪两个三角形具有特殊的位置关系 . 问题2：要证明DE=FE，需要先证什么？ 在三角形全等证明的过程中，要找到图形中具有平移、旋转这两种位置关系的三角形，找出题目中的条件，然后再进行证明 . 课堂小结 1. 全等三角形是几何图形全等中的一种，根据全等变换，两个全等三角形有时可以看成是一个三角形由另一个三角形经过平移或旋转得到。当两个三角形存在这种位置关系时，这两个三角形就全等 . 2. 三角形全等的证明，要从图形的各种变换中发现图形全等的特征，善于将复杂的图形拆分成简单的图形来识别全等三角形，要结合题目的已知条件和结论选择合适的条件证明两个三角形全等 . 在证明的过程中要做到步步有据，注意步骤的规范 . 1. 如图所示， AB=DB ，∠ 1= ∠ 2 ，添加一个适当的条件，可使△ ABC ≌ △ DBE ，则添加下面条件不能判断△ ABC ≌ △ DBE 的是 ( 　 ) A .BC=BE B .AC=DE C . ∠ A= ∠ D D . ∠ ACB= ∠ DEB B A C D E 2 B 1 解析 : A. 添加 BC = BE ， 可根据“ SAS ”判定 △ ABC ≌ △ DBE ， 故 A 正确 ； B. 添加 AC = DE , “ SSA ”不能判定 △ ABC ≌ △ DBE, 故 B 错误 ;C. 添加∠ A = ∠ D ， 可根据“ ASA ”判定 △ ABC ≌ △ DBE ， 故 C 正确 ； D. 添加∠ ACB = ∠ DEB ， 可根据“ AAS ”判定 △ ABC ≌ △ DBE ， 故 D 正确 . 故选 B. 2. 如图所示，平面上有△ ACD 与△ BCE ，其中 AD 与 BE 相交于 P 点，若 AC=BC ， AD=BE ， CD=CE ， ∠ ACE =55 ° ，∠ BCD =155 ° ，则∠ BPD 的度数为 ( 　　 ) A.110 ° B.125 ° C.130 ° D.155 ° C D A E C B P 解析 : 在 △ ACD 和 △ BCE 中 ， ∴ △ ACD ≌ △ BCE(SSS)∴ ∠ A= ∠ B, ∠ BCE= ∠ ACD,∴ ∠ BCA= ∠ ECD,∵ ∠ ACE=55°, ∠ BCD=155°,∴ ∠ BCA+ ∠ ECD=100°,∴ ∠ BCA= ∠ ECD=50°,∴ ∠ ACD=105°,∴ ∠ A+ ∠ D=75°,∴ ∠ B+ ∠ D=75°,∵ ∠ BCD=155°,∴ ∠ BPD=360°-75°-155°=130°. 故选 C. 3. 如图所示，点 B ， E ， C ， F 在同一直线上， AC=DF ， BE=CF ，只要再找出边 　 　　 = 边 　 ，或∠ 　 　 = ∠ 　 　 ，或 　 ∥ 就可以证得△ ABC ≌△ DEF .  A E B D C F AB ED ACB DF F 解析 : ∵ AC = DF , BE = CF ,∴ 只要再找出 AB = ED , 或∠ ACB = ∠ F , 或 AC ∥ DF , 就可以证得 △ ABC ≌ △ DEF. AC 4. 如图所示，四边形 ABCD 中， E 点在 AD 上，其中∠ BAE = ∠ BCE = ∠ ACD =90 ° ，且 BC=CE ，求证△ ABC 与△ DEC 全等。 A E D B C 证明： ∵ ∠ BCE = ∠ ACD =90 ° ， ∴ ∠ 3+ ∠ 4= ∠ 4+ ∠ 5 ， ∴ ∠ 3= ∠ 5 ， 在△ ACD 中，∠ ACD =90 ° ， ∴ ∠ 2+ ∠ D =90 ° ， ∵ ∠ BAE = ∠ 1+ ∠ 2=90 ° ， ∴ ∠ 1= ∠ D ， 在△ ABC 和△ DEC 中， ∠ 1= ∠ D ， BC=CE ， ∠ 3= ∠ 5 ， ∴ △ ABC ≌△ DEC (AAS). A E D B C 2 1 6 7 4 3 5 第十三章 全等三角形 13.4　三角形的尺规作图 豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，你能帮他在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形吗？ 如何作一个三角形与已有的三角形一样呢？ 情境思考 思 考 只用直尺 ( 没有刻度 ) 和圆规也可以画出一些图形。这种方法被称为尺规作图 . 用直尺 ( 没有刻度 ) 和圆规作图，是一种具有特殊要求的作图方法，这种作图方法不必用具体数据，只是按给定图形进行作图，这也是它与画图的区别所在 . 学 习 新 知 画图一般不限定工具，既可以用直尺和圆规，也可以用其他辅助工具，比如量角器、三角板、刻度尺等。在尺规作图中，直尺的作用只能用来连接两点之间的线段或过两点画直线和射线 . 已知三角形的三条边，求作这个三角形。 如图所示，已知线段 a ， b ， c ，求作△ ABC ，使 AB=c ， AC=b ， BC=a. b a c 作法： (1) 作一条线段 AB=c ； (2) 分别以 A ， B 为圆心，以 b ， a 为半径画弧，两弧交于 C 点； (3) 连接 AC ， BC 。 如图所示的△ ABC 就是所求作的三角形。 b a c C A B 已知三角形的两角和一边，求作三角形 (1) 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形 如图所示，已知∠ α ，∠ β ，线段 c ， 求作△ ABC ，使∠ A = ∠ α ，∠ B= ∠ β ， AB=c . α β 作法： (1) 作∠ DAF = ∠ α ； (2) 在射线 AF 上截取线段 AB=c ； (3) 以 B 为顶点，以 BA 为一边，作∠ ABE = ∠ β ， BE 交 AD 于点 C . 则△ ABC 就是所求作的三角形 . (2) 已知两角和一角的对边，求作三角形 如图所示，已知∠ α ，∠ β ，线段 c ， 求作△ ABC ，使∠ A= ∠ α ，∠ B= ∠ β ， AC=c . β c α 先作出一个角等于∠ α + ∠ β ，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角∠ γ 。由此转换成已知∠ α 和∠ γ 及其这两角的夹边 c ，求作这个三角形 . 已知三角形的两边和一角，求作三角形 已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形 如图所示，已知线段 a ， b ，∠ α ， 求作：△ ABC ，使 BC=a ， AB=b ，∠ ABC= ∠ α . 作法： (1) 作∠ DBE= ∠ α ， (2) 在射线 BD ， BE 上分别截取 BA=b ， BC=a ， (3) 连接 AC ，△ ABC 就是所求作的三角形 . 【 规律方法小结 】 要掌握尺规作图的具体操作方法，按作图要求写作法时，要注意语言的规范性 . (1) 用直尺作图时的规范性语言： ① 过点✕作直线✕✕，作线段✕✕，以点✕为端点作射线✕✕。 ② 连接✕✕，以点✕为端点作线段✕✕，延长线段✕✕到点✕，使✕✕ = ✕✕ . (2) 用圆规作图时的规范性语言： ① 以点✕为圆心，✕✕为半径作弧。 ② 以点✕为圆心，✕✕为半径作弧，交✕✕于点✕ . 课堂小结 1. 作三角形的方法 作一个三角形与已知三角形全等，根据的就是三角形全等的条件。因此，作三角形时，所给的条件可以是三条边或两条边及夹角或两角及夹边或两角及一角的对边 . 2. 作三角形的步骤 在寻找作法的时候，一定要根据已知画出草图，确定作图步骤 . 3. 尺规作图的基本要求 ① 画图形； ② 写作法； ③ 保留痕迹 . 有些作图题，只要求保留痕迹，不用写作法 . 检测反馈 1 . 尺规作图的画图工具是 ( 　　 ) A . 刻度尺、量角器 　 B . 三角板、量角器 C . 直尺、量角器 　 D . 没有刻度的直尺和圆规 D 解析 : 尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规 . 故选 D. 2. 利用尺规作图，在下列条件中不能作出唯一直角三角形的 是 ( 　　 ) A. 已知两个锐角 B. 已知一直角边和这边的对角 C. 已知两条直角边 D. 已知一个锐角和斜边 A 解析 : A. 因为已知两个锐角 , 而边长不确定 , 所以这样的三角形可作很多 , 而不是唯一的 ;B. 符合全等三角形的判定“ AAS ” , 能作出唯一直角三角形 ;C. 符合全等三角形的判定“ SAS ” , 能作出唯一直角三角形 ;D. 符合全等三角形的判定“ AAS ” , 能作出唯一直角三角形 . 故选 A. 3. 如图所示，△ ABC 是不等边三角形， DE=BC ，以 D ， E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ ABC 全等，这样的三角形最多可以作出 ( 　　 ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 B A C B D E 解析 : 可以作 4 个 , 分别是以 D 为圆心 , AB 长为半径作圆 , 以 E 为圆心 , AC 长为半径作圆 . 两圆相交于两点 ( DE 上、下各一个 ), 经过连接后可得到 2 个 . 然后以 D 为圆心 , AC 长为半径作圆 , 以 E 为圆心 , AB 长为半径作圆 . 两圆相交于两点 ( DE 上、下各 1 个 ), 经过连接后可得到 2 个 . 故选 B . 4. 如图所示，已知线段 a ，用尺规作出△ ABC ，使 AB=a ， BC=AC=2a . 作法： (1) 先作一条线段等于 2a ， (2) 再作一条线段 AB = 　　　　 ；   (3) 分别以 　　　　 、 　　　　 为圆心，以 为半径画弧，两弧交于 C 点；   (4) 连接 　　　　 ， 　　　　 , 则△ ABC 就是所求作的三角形 . a A B BC AC 2 a a 解析 : 可先作出长 2 a 的线段 , 再作出底边 , 进而作出两腰的交点 , 连接交点和底边的端点即可 . 5. 如图所示，已知∠ α ，∠ β 和线段 a ，求作△ ABC ，使 BC=a ，∠ B 与∠ α 的补角相等，∠ C = ∠ β . 解： 第一步，作直线 MN ，并在上面取点 B . 如图 (1) 所示 . α β a B N M (1) 第二步，作∠ MBP = ∠ α . 如图 (2) 所示 . B N M (2) P α 第三步，在 BN 上截取线段 BC=a. 如图 (3) 所示 . C a B N M (3) P α 第四步，作∠ BCQ = ∠ β ，射线 CQ ， BP 相交于点 A ，得到△ ABC ，如图 (4) 所示 . C B N M (4) P α Q A β