最新冀教版八年级数学上册第十五章二次根式PPT

第十五章 二次根式 15.1 二次根式（ 第 1 课时 ） 1 . 已知一个正方形的面积为 a , 则正方形的边长是      .  2 . 提问 : 你认为所得的代数式有什么特点 ? 问题思考 学 习 新 知 二次根式的概念 1 . (1)2,18, , 的算术平方根是怎样表示的 ? (2) 非负数 m , p + q , t 2 - 1 的算术平方根又是怎样表示的 ? 解 : (1) ， ， ， . (2) ， ， . 2 . 学校要修建一个占地面积为 S m 2 的圆形喷水池 , 它的半径应为多少米 ? 如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为 a m 2 的环形绿化带 , 那么所成大圆的半径应为多少米 ? 解： ， . 一般地 , 我们把形如 ( a ≥ 0) 的式子叫做二次根式 . 二次根式的定义 [ 知识拓展 ]   (1) 二次根式的被开方数 a 可能为整式 , 也可能为分式 , 因此要分清 a 所代表的式子类型 . (2) 本身作分母时 , 要注意只能大于 0, 不能等于 0 . (3) 要注意 ， 等 , 这时无论 a 取何值都有意义 . 判断下列各式是二次根式吗 ? 是 是 是 【 反思小结 】 从形式上看 , 二次根式必须具备以下两个条件 : (1) 必须有二次根号 ; (2) 被开方数不能小于 0 . 总结 :(1) ( a ≥ 0) 是一个非负数 , 即 具有双重非负性 , 一是被开方数是非负数 , 二是它的结果是非负数 ; (2)( ) 2 = a ( a ≥ 0), 即非负数 a 的算术平方根的平方等于 a. 二次根式的简单性质 ( 教材大家谈谈 ) 小亮和小颖对二次根式“ ( a ≥ 0) ”分别有如下的观点 . 你认同小亮和小颖的观点吗 ? 请举例说明 . 小亮的观点 : 因为 表示的是非负数 a 的算术平方根 , 所以根据算术平方根的意义 , 有 ≥ 0 . 小颖的观点 : 因为 表示的是非负数 a 的算术平方根 , 所以根据算术平方根和被开方数的意义 , 有 ( ) 2 = a. 小亮和小颖的观点都正确 . [ 知识拓展 ]   理解 和 时应注意以下几点 : (1) 从 a 的取值范围理解 : 中的 a 为全体实数 , 而 中的 a 为非负数 . (2) 从所得的结果理解 : = , 而 =a , 也就是说当 a ≥ 0 时 , . =      ; =      ; =      ; =      ; =      .  做一做 0.01 2 0 解： （ 1 ） ；（ 2 ） ； （ 3 ） ； （ 4 ） . 化简： 例题讲解 化简 ： 【 解析 】 解析 :∵ 是二次根式 ,∴ a- 3 ≥ 0, 解得 a ≥ 3 . 故选 D. 解析 : 根据二次根式的定义 , 可知二次根式的被开方数是非负数 , 因为 的被开方数小于零 , 故 B 错误 . 故选 B . 检测反馈 1 . 下列各式中 , 不是二次根式的是 (    ) B 2 . 如果 是二次根式 , 那么 a 应满足 (    ) A. a ≥ 0 B. a ≠ 3 C. a =3 D. a ≥ 3 D 3 . 若 a 为实数 , 则化简 的结果是 (    ) A. -a B. a C. a 2 D.| a | 解析 : ∵ 当 a 2 时 , 是二次根式 . 解 : (1) 由 - 3 x ≥ 0, 得 x ≤ 0, 所以当 x ≤ 0 时 , 是二次根式 . 8 . 当 x 取何值时 , 下列各式为二次根式 ? 解析 : 根据二次根式的被开方数是非负数 , 可得答案 . 解析 : 二次根式要满足两个条件 :(1) 带有二次根号“ ” , 即根指数是 2;(2) 被开方数不小于零 . 9 . 判断下列各式 , 哪些是二次根式 , 哪些不是 , 为什么 ? 15.1 二次根式（ 第 2 课时 ） 一块正方形木板面积为 200 cm 2 , 你能在不用计算器的情况下 , 以最快的速度求出正方形木板的边长吗 ? 问题思考 200 直接开平方不是整数 , 从而无法确定具体数值 . 学 习 新 知 二次根式的性质 探究点 1: 积的算术平方根 问题 1 ： 计算下列各式 , 并观察结果 , 你能发现什么规律 ? (1)(2) 中两式均相等 . 问题 2: 猜想 ： 有什么关系？ 方法一 : 事实上 ， 根据积的乘方法则 ， 有 [ 知识拓展 ]   积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况 . 如 ( a ≥ 0 ,b ≥ 0 ,c ≥ 0 ,d ≥ 0) . 问题 3:   当 a ≥ 0, b ≥ 0 时 , 对 的关系提出你的猜想 , 并说明理由 . 解 : 因为当 a ≥ 0, b ≥ 0 时 , 积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积 , 即 ( a ≥ 0, b ≥ 0) . 探究点 2: 商的算术平方根 两个式子均相等 . 问题 2: 对照刚才得到的结论 , 当 a ≥ 0, b >0 时 , 有什么关系 ? 并说明理由 . 解 : 因为当 a ≥ 0 ， b >0 时 ， 问题 3: 对照积的算术平方根的性质 , 你能总结出商的算术平方根的性质吗 ? 商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商 , 即 观察与思考——探究最简二次根式的概念 化简 ： 观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化 , 请思考 : (1) 化简前 , 被开方数是怎样的数 ? (2) 化简后 , 被开方数是怎样的数 ? 它们还含有能开得尽方的因数吗 ? 归纳 :① 被开方数的因数是整数 , 因式是整式 ; ② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 , 我们把这样的二次根式叫做最简二次根式 . 说明 : 二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程 . “做一做” ( 教材第 94 页做一做 ) 化简 . 课堂小结 2 . 能使等式 成立的 x 的取值范围是 (    ) A. x ≠ 2 B. x ≥ 0 C. x >2 D. x ≥ 2 检测反馈 1 . 下列二次根式中是最简二次根式的是 (    ) A 解析 : 本题需注意的是 , 被开方数为非负数 , 且分式的分母不能为 0, 列不等式组 解得 x >2 . 故选 C. C 解析 :A. 符合最简二次根式的定义 , 故本选项正确 ;B. 原式 ;C. 原式 ;D. 被开方数含分母 , 不是最简二次根式 , 故本选项错误 . 故选 A. 3 . 下列计算正确的是 (    ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 :① 和 ② 根号下不能为负数 , 故 ①② 错误 ;③ 利用平方差公式进行因式分 解， 故 ③ 正确 ; 由 ③ 可知 ④ 错误 . 故正确的只有 1 个 . 故选 A. A 4 . =2, 这个计算过程正确吗 ? 如果不正确 , 请改正 . 解析 : 首先根据除法法则约掉负号 , 然后再计算开方即可 . 解 : 计算过程错误 , (2) , 被开方数中含有分母 , 因此不是最简二次根式 .   解 :(1) , 含有能开得尽方的因数 , 因此不是最简二次根式 .   8 . 在下列各式中 , 哪些是最简二次根式 ? 哪些不是 ? 对不是最简二次根式的进行化简 . 解析 : 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法 , 就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足 , 同时满足的就是最简二次根式 , 否则就不是 . (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) . (3) 的被开方数为整数 , 被开方数不含能开得尽方的因数或因式 , 因此是最简二次根式 .   (4) , 在二次根式的被开方数中 , 含有小数 , 不是最简二次根式 .   (5) , 被开方数中含有分母 , 因此不是最简二次根式 . 9 . 把下列二次根式化成最简二次根式 . (1) ； (2) ； (3) ； (4) 第十五章 二次根式 15.2 二次根式的乘除运算   电视塔越高 , 从塔顶发射出的电磁波传播得越远 , 从而收看到电视节目的区域就越广 . 如果电视塔高 h km , 电磁波的传播半径为 r km , 那么它们之间存在近似关系 , 其中 R 是地球的半径 , 如果两个电视塔的高分别为 h 1 , h 2 , 那么它们传播的半径的比为 , 你能将这个式子化简吗 ? 学了本节后 , 就很容易解决了 . 问题思考 学 习 新 知 二次根式的乘除法法则 问题 1 : 请同学们回忆二次根式的性质是如何得到的 ? 问题 2 : 计算 : 由计算结果 , 发现了什么规律 ? = = = = 对于下列各题 , 是否也有上面的规律呢 ? 请你猜想并利用计算器进行验证 . 通过刚才的观察、类比、计算 , 你能用字母表示二次根式的乘除法法则吗 ? [ 知识拓展 ]   如没有特殊说明 , 本章中的所有的字母都表示正数 . 理解二次根式的除法法则应注意两点 :(1) 二次根式的除法法则中的被开方数的分母 b 不等于 0;(2) 运算时约分要彻底 . 例题讲解 例 1. 计算下列各式 . (1) ； (2) ；（ 3 ） . 【 解析 】 直接利用二次根式乘法法则进行计算即可 . 例 2. 计算下列各式 . 分母有理化 观察 的 特点 , 有什么发现 ? 分母都含有二次根式 将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子 , 像这样 , 把分母中的二次根式化去 , 叫做 分母有理化 . 对应练习： 把下列各式分母有理化 : ( 教材大家谈谈 ) 请就小明和大刚分别计算 的做法给予评价 , 并谈谈你的想法 . 小明的做法 ( 先运算后化简 ) 大刚的做法 ( 先化简后运算 ) 课堂小结 1 . 计算 的结果是 (    ) A. B.4 C. D.2 检测反馈 解析 : =4 . 故选 B. B 2 . 化简 的结果是 (    ) 故选 A. A 解析 :∵ m = ， 5 . 2 2 =27 . 04 ， 5 . 3 2 =28 . 09 ， ∴ 5 . 2< m