冀教版九年级数学上册第24章一元二次方程

24.1 一元二次方程 第二十四章 一元二次方程 一个长为 10 m 的梯子斜靠墙上，梯子的顶端 A 处到地面的距离为 8 m. 如果梯子的顶端沿墙面下滑 1 m, 那么梯子的底端在地面上滑动的距离也是 1 m 吗？ 你能列方程解决这个问题吗？ 问题思考 解： 设梯子的底端在地面上滑动的距离 x m, 于是得方程 10 2 =(8-1) 2 +(6+ x ) 2 . 整理得 x 2 +12 x － 15=0. 问题：这个方程是不是我们前边学过的方程？ 如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长 22 m ），另外三面用 90 m 长的铁栅栏围起来 . 如果这个存车处的面积为 700 m ² , 求这个长方形存车处的长和宽 . 共同探究一 （ 3 ）如何设未知数，根据题中等量关系怎样列方程？ 思考下列问题： （ 1 ）分析题意，题中的已知条件是什么？ （ 2 ）分析题意，题中的等量关系是什么？ （ 4 ）分析下面小明和小亮列方程的做法，他们的解题思路和所列方程是否正确？ 小明的做法 设长方形存车处的宽（靠墙的一边）为 x m, 则它的长为 m. 根据题意，可得方程 整理，得 小亮的做法 设 长方 形存车处的长（与墙垂直的一边）为 x m ，则它的宽为（ 90-2 x ） m. . 根据题意，可得方程 整理，得 共同探究二 x 2 +12 x － 15=0 ； （ 4 ）你能类比一元一次方程的概念，给出一元二次方程的定义吗？ 请口答下面问题． （ 1 ）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （ 2 ）上面方程中未知数 x 的最高次数是几次？ （ 3 ）方程两边都是整式吗？ 归纳：一元二次方程满足三个条件：（ 1 ）都只含一个未知数 x ；（ 2 ）它们的最高次数都是 2 次；（ 3 ）方程两边都是整式． 定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式方程，叫做一元二次方程 . 下列各式是否为一元二次方程： （ 1 ） 2 x 2 =9 ； （ ） （ 2 ） 2 x 2 -1=3 y ； （ ） （ 3 ） 4 x 2 +3=2 x ； （ ） （ 5 ） 5 x 2 -2 x +3 ；（ ） （ 6 ） 2 x （ x +2)=5 x -2 ；（ ） （ ） 是 不是 是 不是 是 是 共同探究三 思考 1 ：类比一元一次方程的一般形式，你能不能写出一元二次方程的一般形式？ 一元二次方程的一般形式为： ax 2 + bx + c =0 （ a≠ 0 ）． 二次项 一次项 常数项 提示： a 是二次项系数； b 是一次项数． （任何一个一元二次方程都能化成一般形式；当一元二次方程的二次项系数 a =0 ， b ≠0 时，方程为一元一次方程 . ） 思考 2 ： （ 1 ）任何一个一元二次方程是否都可以整理成一般形式？ （ 2 ）一元二次方程的二次项系数为什么不能为 0 ？ 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 . （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 分析：一元二次方程的一般形式是 ax 2 +bx+c =0 （ a ≠0 ），因此，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等法则先将一元二次方程进行整理，再根据有关概念求解 . 解： (1) 原方程可化为： 其中二次项系数为 4 ，一次项系数为 -3 ，常数项为 -12 ． (2) 原方程可化为： 其中二次项系数为 6 ，一次项系数为 -13 ，常数项为 -4 ． (3) 原方程可化为： 其中二次项系数为 2 ，一次项系数为 1 ，常数项为 -48 ． (4) 原方程可化为： 其 中二次项系数为 5 ，一次项系数为 6 ，常数项为 2 ． 共同探究四 将这个数值代入一元二次方程，如果方程左右两边相等，则该数值 是方程的根 ；如果方程左右两边不相等，则该数值 不是方程的根 . 思考： 1. 什么是一元二次方程的解？ 使一元二次方程两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的 解 . 一元二次方程的解也叫做这个方程的 根 . 2. 如何判定一个数值是不是一元二次方程的根？ 做一做：在下列各题中，括号内未知数的值，哪些是它前面方程的根？ （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 【 知识拓展】 1. 判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件： （ 1 ）是整式方程；（ 2 ）只含有一个未知数；（ 3 ）未知数的最高次数是 2. 同时要注意二次项系数不能为 0. 2. 一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为 0 ，左边是关于未知数的二次整式 . 3. 一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的，所以写项或系数时，要先化成一般形式，并且都包括前边的符号 . 4. 判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：将这个数值代入一元二次方程，如果方程左右两边相等，则该数值是方程的根；如果方程左右两边不相等，则该数值不是方程的根 . 5. 如果已知 a 是一元二次方程的根，把 x = a 代入方程，方程左右两边相等，可以求待定系数的值，整体思想是常用的数学思想 . 4. 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根 . 课堂小结 1. 一元二次方程概念需要满足三个条件： （ 1 ）是整式方程；（ 2 ）只含有一个未知数； （ 3 ）未知数的最高次数是 2. 2. 一元二次方程的一般形式是 ax 2 + bx + c =0 （ a ≠0 ），易错点是忽略强调 a ≠0. 3. 确定一元二次方程的项与系数时一定先化成一般形式，书写时应注意包括前边的符号 . 检测反馈 1. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） ① 2 x 2 +5=0 ； ② ax 2 +bx+c =0 ； ③（ x -1 ） （ x +2 ） = x 2 -1 ； ④ ⑤ A. 2 个 B.3 个 C. 4 个 D. 5 个 解析 ：一元二次方程必须满足三个条件 ：（ 1 ）含有一个未知数；（ 2 ）未知数的最高次数是 2 ；（ 3 ）是整式方程，同时注意二次项系数不为 0. ①④ ⑤ 满足这四个条件，②中二次项系数可能为 0 ，③化简后不含有二次项，不符合定义，故选 B. B 2. 一元二次方程 7 x 2 -2 x =0 的二次项、一次项、常数项依次是（ ） A.7 x 2 ， 2 x ， 0 B.7 x 2 ， -2 x ，无常数项 C.7 x 2 ， 0 ， 2 x D.7 x 2 ， -2 x ， 0 解析：一元二次方程 ax 2 +bx+c= 0 （ a ≠ 0 ）中 ax 2 是二次项， bx 是一次项， c 是常数项．所以该方程中二次项、一次项、常数项依次是 7 x 2 ， -2 x ， 0 ，故选 D. D 3. 已知 x =2 是一元二次方程 x 2 + mx +2=0 的一个解，则 m 的值是（ ） A.-3 B.3 C.0 D.0 或 3 解析：把 x =2 代入方程，得 4+2 m +2=0 ，解得 m =-3 ，故选 A. A 4. 若 是一元二次方程，则 m = . 解析：根据一元二次方程概念 知 未知数 x 的最高指数是 2 ，且二次项系数不为 0 ，得 m 2 -2=2 ， m -2 ≠ 0 ，解得 m=- 2 ，故填 -2. -2 5. 根据题意填空 . （ 1 ）如果两个连续奇数的积是 323 ，求这两个数，如果设其中较小的一个奇数为 x ，你能列出求解 x 的方程吗？ __________ ， 一般形式 为 . (2) 如图，在宽为 20 m ，长 30 m 的矩形场地上，修 筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要 使耕地的面积为 500 m 2 ，若设路宽为 x m ，则可列 方程为 ___________________ ，一般形式为 . x ( x +2)=323 x 2 +2 x -323=0 (20- x )(30- x )=500 x 2 -50 x +100=0 解析：（ 1 ）根据题意中两个奇数的积是 323 ，列方程，得 x ( x +2)=323, 化简，得 x 2 +2 x -323=0. 故填 x ( x +2)=323 ， x 2 +2 x -323=0. （ 2 ）将两条道路平移到矩形的边处，矩形的长为（ 30- x ） m, 宽为 (20- x )m ，根据余下的耕地面积为 500 m 2 ，列方程，得（ 20- x )(30- x )=500, 化简，得 x 2 -50 x +100=0. 故填 (20- x )(30- x )=500, x 2 -50 x +100=0. 24.2 解一元二次方程（ 1 ） 第二十四章 一元二次方程 一桶油漆可刷的面积为 1500 dm 2 , 张明用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设其中一个盒子的棱长为 x dm ，则一个正方体的表面积为 6 x 2 dm 2 . 根据题意，得 10×6 x 2 =1500 ， 整理，得 x 2 =25. 根据平方根的意义，得 x =±5. 即 x 1 =5 ， x 2 =-5.( 不合题意，舍去 ) 答：其中一个盒子的棱长为 5 dm. 1. 根据平方根的意义，解下列方程： (1) (2) 解：（ 1 ）根据平方根的意义得 x = ， ∴ x 1 =2 ， x 2 =-2. （ 2 ）根据平方根的意义得 x +1= ， ∴ x +1=2 或 x +1=-2 ， ∴ x 1 =1 ， x 2 =-3. 思考： 方程的左右两边满足什么形式时，利用平方根的意义，可以直接开平方解一元二次方程？ 2. 解下列方程： （ 1 ） （ 2 ） 思考下列问题并回答： (1) 方程（ 2 ）与方程（ 1 ）的区别是什么？ 方程 (1) 左边可以化简成完全平方式，方程（ 2 ）左边不是完全平方式 . (2) 把常数项移项，如何把方程（ 2 ）的左边化成与方程（ 1 ）的左边相同？ 移项，得 x 2 ＋ 2 x ＝ 3 ，根据等式的性质，方程两边同时加 1 可以化成与（ 1 ）的左边相同 .  （ 3 ）能不能配方后解方程？ 配方后用直接开平方法可以求解 . ∴ x 1 =1 ， x 2 =-3. 解 ： （ 1 ）原方程可化为（ x +1) 2 =4, ∴ x +1= ， ∴ x +1=2 或 x +1=-2 ， （ 2 ）原方程可化为 ， 即 ∴ x +1= ， ∴ x +1=2 或 x +1=-2 ， ∴ x 1 =1 ， x 2 =-3. 做一做 先把下列方程化为 的形式，再求出方程的根 . （ 1 ） （ 3 ） （ 2 ） （ 4 ） 根据完全平方公式填空： (1) x 2 +2 x +(  ) 2 =( x + __ ) 2 ； （ 2 ） x 2 -4 x +(  ) 2 =( x - _ ) 2 ； （ 3 ） x 2 -6 x +(  ) 2 =( ) 2 ； (4) x 2 + x +(  ) 2 =(  ) 2 . 1 1 2 2 3 x -3 x + 解：（ 1 ）原方程可化为 , 即 ∴ x +1=±7 ， ∴ x +1=7 或 x +1=-7 ， ∴ x 1 =6 ， x 2 =-8. （ 2 ）原方程可化为 即 ∴ x -2= ， ∴ x -2=4 或 x -2=-4 ， ∴ x 1 =6 ， x 2 =-2. （ 3 ） 原方程可化为 ，即 ∴ x -3= ， ∴ x -3=2 或 x -3=-2 ， ∴ x 1 =5 ， x 2 =1. （ 4 ） 原方程可化为 即 归纳总结： 通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边是常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做 配方法 . （ 4 ）解出方程的根 . 配方法解一元二次方程的步骤： （ 1 ）移项（常数项移到方程右边）； （ 2 ） 配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）； （ 3 ）开平方； 例 1 用配方法解下列方程： （ 1 ） （ 2 ） 解：⑴移项，得 配方，得 即 两边开平方，得 所以 (2) 移项，得 配方，得 即 两边开平方，得 所以 做一做 用配方法解方程： （ 1 ）该方程能不能按上边的方法先移项，然后直接配方？ 观察方程移项后，二次项系数不为 1 ，所以不能直接配方 . （ 2 ）观察该方程和上边方程有什么区别？ 二次项系数不为 1. （ 3 ）如何把二次项系数化为 1 ？ 根据等式的基本性质，方程两边同时除以二次项系数可得 . （ 4 ）根据上边的分析，尝试完成解方程 . 解：移项，得 2 x 2 +4 x ＝－ 1 ， 二次项系数化为 1 ，得 x 2 +2 x ＝－ ， 配方，得 x 2 +2 x +1 ＝－ +1 ， （ x +1 ） 2 = ， ∴ x +1= ± ， ∴ x 1 =-1+ ， x 2 =-1- . 例 2 用配方法解方程： . 解：移项，并将二次项系数化为 1 ，得 配方，得 , 即 两边开平方，得 所以 知识拓展 1. 直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，主要解形如（ ax ＋ b ） 2 = c （ c ≥0 ）的一元二次方程，解方程的理论依据是平方根的定义 . 2. 利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果 . 3. 方程（ ax ＋ b ） 2 = c 中，当 c ＜ 0 时，方程没有实数根 . 5. 用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化成直接开平方法所需要的形式 . 配方为了降次，利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解 . 4 ．配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方（二次项系数必须为 1 ） . 3 ．解一元二次方程的基本思路：降次 —— 把一元二次方程化为 （ x + h ） 2 = k （ k ≥0 ）的形式后两边开平方，使原方程变为两个一元一次方程 . 课堂小结 1. 依据平方根的概念可解形如（ ax ＋ b ） 2 = c （ c ≥0 ）的一元二次方程 . 2. 通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边是常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法 . （ 5 ）求解（解一元一次方程） . 4. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： （ 1 ）移项（把常数项移到方程的右边）； （ 2 ）把二次项系数化为 1 （方程两边同时除以二次项系数 a ）； （ 3 ）配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）； （ 4 ）开平方（根据平方根意义，方程两边开平方）； A.3 B. 检测反馈 如果代数式 2 x 2 -6 的值为 12 ，则 x 的值 为（ ） C.±3 D.- 解析：由题意可得 2 x 2 -6=12 ，移项，得 2 x 2 =18 ，系数化为 1 ，得 x 2 =9 ，直接开平方，得 x =±3 ，故选 C. C A.-1,3 B.1,-3 C.1- ， 1+ D. -1 ， +1 2. 方程（ 1- x ） 2 =2 的根是（ ） 解析：直接开平方，得 1- x = ± ， 即 1- x = 或 1- x =- ， 解得 x 1 =1- ， x 2 =1+ ， 故选 C. C 3. 已知 x 2 -8 x +15=0 ，左边化成含有 x 的完全平方形式，其中正确的是（ ） A ． x 2 -8 x + （ -4 ） 2 =31 B ． x 2 -8 x + （ -4 ） 2 =1 C ． x 2 +8 x +4 2 =1 D ． x 2 -4 x +4=-11 解析：移项，得 x 2 -8 x =-15 ，两边同时加一次项系数一半的平方，得 x 2 -8 x + （ -4 ） 2 =1 ，故选 B. B 解析：二次项系数为 1 时，完全平方式中常数项是一次项系数一半的平方，故填 9 ， 3 ， 9 3 5. x 2 ＋ 2 x － 5 ＝ 0 配方后的方程为 ________ ． 解析： 移项，得 x 2 ＋ 2 x ＝ 5 ，两边同时加 1 ，得 x 2 ＋ 2 x +1 ＝ 6 ，配方得（ x +1 ） 2 ＝ 6 ，故填（ x +1 ） 2 ＝ 6. （ x +1 ） 2 ＝ 6 6. 用配方法解方程． （ 1 ） x 2 -4 x +4=5 ； （ 2 ） 3( x -1) 2 -6=0 ； （ 3 ） x 2 + 2 x - 3=0 ； （ 4 ） 9 y 2 -18 y -4=0. 解：（ 1 ）化简得（ x -2 ） 2 =5 ，直接开平方得 x -2= ± ， 所以 x -2= 或 x -2=- ， 解得 （ 2 ）移项得 3 （ x -1 ） 2 =6 ，系数化为 1 ，得（ x -1 ） 2 =2 ，直接开平方得 x -1= ， 即 x -1= 或 x -1= ， 所以 （ 3 ）移项，得 x 2 +2 x =3 ，两边同时加 1 ，得 x 2 +2 x +1=4 ，配方得（ x +1 ） 2 =4 ，∴ x +1=2 或 x +1=-2 ，∴ x 1 =1, x 2 =-3. （ 4 ）移项，得 9 y 2 -18 y =4 ，两边同时除以 9 ，得 y 2 -2 y = ， 两边同时加 1 ，得 y 2 -2 y +1= +1 ， 配方得（ y -1 ） 2 = ， ∴ y -1= 或 y -1=- ∴ y 1 =1+ ， ， y 2 =1- . 24.2 解一元二次方程（ 2 ） 第二十四章 一元二次方程 学 习 新 知 韦达是 16 世纪法国最伟大的数学家之一，当比利时数学家提出一个一元 45 次的方程的求解问题向各国数学家挑战，法国国王把这个问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出 22 解，答案公布，震惊世界 . 像这种高次方程，有没有一个通法，也就是说：对于每个次数的一元方程能否找出一公式来求解，一直是各国数学家都想解决的一个问题 . 问题思考 探究一 如果这个一元二次方程是一般形式 ax 2 + bx + c =0 （ a ≠0 ），你能否用配方法的步骤求出它们的两根 ? 解：移项，得 ax 2 + bx =- c ，方程中的二次项系数化为 1 ，得 配方，得 即 探究二 问题 1: 一元二次方程（ x + m ） 2 = n 一定有根吗？ 问题 2 ：一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 （ a ≠ 0 ）配方后的方程 一定有根吗？ ∵ 4 a 2 ＞ 0, ∴ (1) 当 b 2 -4 ac ＞ 0 时 ， ＞ 0 ， 方程有两个不相等的实数根： （ 2 ） 当 ＝ 0 时， ＝ 0 ， =0. 方程有两个相等的实数根： （ 3 ） 当 ＜ 0 时， ＜ 0 ，而 方程没有实数根 . ≥ 0 ， 对于一元二次方程 ⑴当 ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根； ⑵当 ＝ 0 时，方程有两个相等的实数根； ⑶当 ＜ 0 时，方程没有实数根 . 当 b ² -4 ac ≥0 时，一元二次方程 ax ² + bx + c =0 的两 实数根可以用 我们把 叫做一元二次方程 根的判别式 . 求出 . 这个式子叫做一元二次方程的求根公式 . 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 . （ 3 ）用公式法解一元二次方程时，先将方程化成一般形式，确定 a ， b ， c 的值，然后代入公式求解 . 强调： （ 1 ）用一元二次方程根的判别式可以判定一元二次方程根的情况； （ 2 ）一元二次方程的根由系数 a ， b ， c 决定； 例 1 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) ; (2) ; (3) . 解：⑴这里 , , . ∵ = , ∴原方程有两个不相等的实数根 . ⑵这里 , , ∵ = ∴原方程有两个相等的实数根 . ⑶这里 ， ， ∵ = ＜ 0 ， ∴原方程没有实数根 . 例 2 用公式法解下列方程： ⑴ ； ⑵ 解：⑴这里 ， ， . ∵ = ＞ 0 ， ∴ 即 ， （ 2 ）这里 ∴ 即 , . 公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让 a >0； 2）找出系数 a , b , c ,注意各项的系数包括符号； 3）计算 b 2 -4 ac ，若结果为负数，方程无解； 4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果. 检测反馈 1 . 对于一元二次方程 ax 2 +bx+c= 0( a ≠ 0), 下列叙述正确的是 ( 　　 ) A. 方程总有两个实数根 B. 只有当 b 2 - 4 ac ≥ 0 时 , 方程才有两个实数根 解析 : 一元二次方程根的情况由根的判别式 b 2 - 4 ac 决定 , 当 b 2 - 4 ac> 0 时 , 方程有两个不相等的实数根 ; 当 b 2 - 4 ac= 0 时 , 方程有两个相等的实数根 ; 当 b 2 - 4 ac< 0 时 , 方程无实数根 . 故选 B. C. 当 b 2 - 4 ac< 0 时 , 方程只有一个实数根 D. 当 b 2 - 4 ac= 0 时 , 方程无实数根 B 2 . 一元二次方程 x 2 - 4 x+ 5 = 0 的根的情况是 ( 　　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 解析 : 方程中 a =1, b = - 4, c =5, 代入根的判别式计算得 b 2 - 4 ac =( - 4) 2 - 4×1×5= - 4 0, ∴ 即 x 1 = , x 2 = . ∵ b 2 -4 ac =(-3) 2 -4×4×1=-7 ＜ 0, (2) a =4, b =-3, c =1 ， ∴ 方程无实数根 . ∵ b 2 -4 ac =(-5) 2 -4×3×(-2)=49>0 ， （ 3 ）原方程可化为 3 x 2 -5 x -2=0 ， a =3, b =-5, c =-2 ， ∴ 即 x 1 = 2, x 2 = . 24.2 解一元二次方程（ 3 ） 第二十四章 一元二次方程 一个正方形蔬菜园需修整并用篱笆围住 , 修整蔬菜园的费用是 30 元 / 平方米 , 而购买篱笆材料的费用是 15 元 / 米 , 这两项支出正好相等 , 求此正方形蔬菜园的边长 . 问题思考 解 : 设这个正方形蔬菜园的边长为 x 米 , 根据题意可得 30 x 2 =15×4 x , 化简可得 x 2 - 2 x =0 . 除了可以用配方法或公式法求解 , 还可以怎样求解呢 ? 观察和分析小亮的解法 , 你认为有没有道理 ? 小亮的思考及解法： 解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程 , 因此可将方程的左边分解因式 . 方程 x 2 - 2 x= 0 的两个根为 x 1 = 0, x 2 = 2 . 于是得 x ( x- 2) = 0 . 所以 x= 0 或 x- 2 = 0 . 3 . 什么样的方程适合用这种方法求解 ? 【思考】 1 . 上述解方程的方法第一步是如何变形的 ? 2 . 上述解法中如何达到降次的目的 ? 把一元二次方程的一边化为 0, 另一边分解成两个一次因式的乘积 , 进而转化为两个一元一次方程 , 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 . (4) 解一元一次方程 , 得原方程的解 . 因式分解法解一元二次方程的步骤 : (1) 将方程的右边化为 0; (2) 将方程的左边进行因式分解 ; (3) 令每一个因式为 0, 转化为两个一元一次方程 ; 用因式分解法解下列方程 : (1)2 x 2 - 5 x= 0; (2)4 x 2 - 15 x= 0; (3) x 2 - (2 x+ 1) 2 = 0 . 做一做 例题 用因式分解法解下列方程 : (1)3( x- 1) 2 = 2( x- 1); (2)( x+ 5) 2 = 49 . 分析 :(1) 方程两边都含有因式 ( x- 1), 所以移项后方程左边提公因式法分解因式 , 转化为两个一元一次方程求解 ; (2) 移项后方程左边是两项的平方差 , 利用平方差公式分解因式 , 转化为两个一元一次方程求解 . 得 x- 1 = 0 或 3 x- 5 = 0 . 解 :(1) 原方程可化为 3( x - 1) 2 - 2( x - 1) = 0, ( x - 1)(3 x - 5) = 0 . x 1 = 1, x 2 = x 1 =- 12, x 2 = 2 . (2) 原方程可化为 ( x + 5) 2 - 7 2 = 0, ( x+ 12)( x- 2) = 0 . 得 x + 12 = 0 或 x - 2 = 0 . 解一元二次方程的方法有哪几种？根据你的学习体会，谈谈解方程时如何选择适当的解法 . 用恰当的方法解下列方程 : (1) x 2 + 2 x- 4 = 0; (2)3 x 2 - 4 x- 1 = 0; (3)4 x 2 - 20 x+ 25 = 7; (4)(3 x- 1)( x- 2) = (4 x+ 1)( x- 2) . 大家谈谈 【 解析 】(1) 二次项系数为 1, 一次项系数为偶数 , 可以用配方法解方程 ;(2) 方程系数没特点 , 用公式法解方程 ;(3) 先将方程化简 , 用公式法解方程 ;(4) 移项后提公因式 , 用因式分解法解方程 . 2 . 解一元二次方程时 , 四种解法的使用顺序是 : 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法 , 一般先考虑用因式分解法 , 如果是特殊形式 ( x+a ) 2 =b ( b ≥0), 用直接开平方法 , 最一般的方法是公式法 , 配方法在题目没有特殊要求时一般不用 . 1 . 当方程的左边能分解因式 , 方程的右边为 0 时 , 常常用因式分解法解一元二次方程 , 因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法 , 要会灵活运用 . 知识拓展 1 . 方程 x ( x+ 2) = 0 的根是 ( 　　 ) 　 A. x= 2 B. x= 0 C. x 1 = 0, x 2 =- 2 D. x 1 = 0, x 2 = 2 解析 : 由题意可得 x= 0 或 x+ 2 = 0, 解得 x 1 = 0, x 2 =- 2 . 故选 C. C 检测反馈 2 . 方程 ( x- 3)( x- 6) = ( x- 3) 的解是 ( 　　 ) A. x= 3 B. x= 3 或 x= 6 C. x= 7 D. x= 3 或 x= 7 解析 : 移项得 ( x- 3)( x- 6) - ( x- 3) = 0, 方程左边提公因式得 ( x- 3)( x- 6 - 1) = 0, 即 x- 3 = 0 或 x- 7 = 0, 解得 x 1 = 3, x 2 = 7 . 故选 D. D 3 . 三角形的两边长分别为 3 和 6, 第三边的长是方程 ( x- 2)( x- 4) = 0 的一个根 , 则这个三角形的周长是 　　　　 .  解析 : 解方程 ( x- 2)( x- 4)=0 可得 x =2 或 x =4,∵3+2 0, 解 :(1) 这里 a= 1, b=- 3, c=- 8, 所以 x 1 +x 2 = , x 1 · x 2 (2) 这里 a= 3, b= 4, c=- 7, 且 b 2 - 4 ac= 4 2 - 4×3×( - 7) = 100 > 0, ∴ x 1 +x 2 = x 1 · x 2 = [ 知识拓展 ] 　 1 . 根与系数之间的关系在方程 ax 2 +bx+c= 0( a ≠0) 有根的前提下 ( b 2 - 4 ac ≥0) 才能够成立 , 运用根与系数的关系解题时首先要检验 b 2 - 4 ac 是否非负 . 2. 利用根与系数之间的关系可以不解方程而求出与根有关的一组代数式的值 . 1 . 若 x 1 , x 2 是一元二次方程 x 2 - 4 x+ 1 = 0 的两个根 , 则 x 1 · x 2 的值是 ( 　 ) A. - 4 B. - 1 C.1 D.4 解析 : 考查根与系数之间的关系 , x 1 , x 2 是一元二次方程 x 2 - 4 x +1 = 0 的两个根 , 则 x 1 · x 2 = 1 . 故选 C. C 2 . 一元二次方程 x 2 +x- 2 = 0 的两根之和是 ( ) A. - 1 B. - 2 C.1 D.2 解析 : 根据根与系数之间的关系可得 x 1 + x 2 =-1. 故选 A. A 检测反馈 3 . 已知方程 x 2 - 5 x+ 2 = 0 的两个解分别为 x 1 , x 2 , 则 x 1 +x 2 -x 1 · x 2 的值为 ( 　　 ) A. - 7 B. - 3 C.7 D.3 解析 : 根据根与系数之间的关系可得 x 1 +x 2 x 1 x 2 所以 x 1 +x 2 -x 1 x 2 = 5 - 2 = 3 . 故选 D. D 4 . 方程 x 2 = 2 x- 1 的两根之和等于 　　　　 .  解析 : 将方程化简可得 x 2 - 2 x+ 1 = 0, 根据根与系数之间的关系可得 x 1 +x 2 = = 2 . 故填 2 . 2 5 . 已知方程 x 2 - 6 x+m 2 - 2 m+ 5 = 0 的一个根为 2, 求另一个根及 m 的值 . 解 : 根据根与系数之间的关系可得 x 1 +x 2 = = 6, x 1 x 2 = =m 2 - 2 m+ 5, ∵ 方程的一个根为 2,∴ 方程的另一个根为 4. ∴ m 2 - 2 m+ 5=8 ，解得 m =3 或 -1. 解 : 由方程根与系数之间的关系得 x 1 + x 2 = =- 2, x 1 x 2 = - = 6 . 已知关于 x 的一元二次方程 2x 2 + 4x - 3 = 0 的两个解为 x 1 和 x 2 . （ 1 ）求 的值； （ 2 ）求 的值 . （ 1 ） = （ -2 ） 2 -2× （ - ） =4+3=7. = = = （ 2 ） 24.4 一元二次方程的应用（ 1 ） 第二十四章 一元二次方程 你能求解本章前言中的问题吗？ 一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上 , 梯子的顶端 A 处到地面的距离为 8 m . 如果梯子的顶端沿墙面下滑 1 m, 那么梯子的底端 B 在地面上滑动的距离也是 1 m 吗 ? 你能列方程解决这个问题吗 ? 学 习 新 知 例题 已知一本数学书的长为 26 cm, 宽为 18 . 5 cm, 厚为 1 cm . 一张长方形包书纸如图所示 , 它的面积为 1260 cm 2 , 虚线表示的是折痕 . 由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形 . 求正方形的边长 . 思考下列问题 , 小组交流 : (1) 本题中有哪些数量关系 ? 包书纸的长 × 宽 = 1260. (2) 包装纸的长和宽如何用正方形的边长 x 表示 ? 包装纸的长 = 书宽 + 厚 1 cm+2 x ，包装纸的宽 = 书长 +2 x . 解这个方程 , 得 x 1 = 2, x 2 =- 34( 不合题意 , 舍去 ) . 答 : 正方形的边长是 2 cm . 解 : 设正方形的边长为 x cm, 根据题意 , 得 (26 + 2 x )(18 . 5×2 + 1 + 2 x ) = 1260 . 整理 , 得 x 2 + 32 x - 68 = 0 . 做一做 已知一个直角三角形两直角边的和是 12, 斜边的长是 10, 求这个直角三角形两直角边的长 . 【思考】 1 . 题目中有几个未知量 ? 未知量之间有什么数量关系 ? 两个未知量 , 两直角边的和是 12. 2 . 设一个未知量为 x , 则另一个未知量怎样用未知数表示 ? 设一条直角边长为 x , 则另一条直角边长为（ 12 -x ） . 3 . 直角三角形中直角边和斜边之间的数量关系是什么 ? 勾股定理 1. 用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框 , 使它的面积为 6 平方米 . 若设它的一条边长为 x 米 , 则根据题意可列出关于 x 的方程为 ( 　　 ) A. x (5 +x ) = 6 B. x (5 -x ) = 6 C. x (10 -x ) = 6 D. x (10 - 2 x ) = 6 解析 : 设它的一条边长为 x 米 , 则邻边长为 (5 -x ) 米 , 题目中等量关系为长 × 宽 = 矩形的面积 , 所以可列方程 x (5 -x ) = 6 . 故选 B. B 检测反馈 2 . 在一幅长 60 cm, 宽 40 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边 , 制成一幅矩形挂图 , 如图所示 . 如果要使整个挂图的面积是 2816 cm 2 , 设金色纸边的宽为 x cm, 那么 x 满足的方程是 ( ) A.(60 + 2 x )(40 + 2 x ) = 2816 B.(60 +x )(40 +x ) = 2816 C.(60 + 2 x )(40 +x ) = 2816 D.(60 +x )(40 + 2 x ) = 2816 解析 : 挂图长为 (60+2 x )cm, 宽为 (40+2 x )cm, 所以根据矩形的面积公式可得 (60+2 x )(40+2 x ) = 2816 . 故选 A. A 解析 : 设花边的宽为 x 米 . (6+2 x )(3+2 x )=40,2 x 2 +9 x -11=0, 解得 x 1 = 1, x 2 =- 5 . 5( 不合题意 , 舍去 ), 所以花边的宽度为 1 米 . 故填 1 . 3 . 在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边 , 地毯中央的矩形图案长 6 米 , 宽 3 米 , 整个地毯的面积是 40 平方米 , 则花边的宽为 　　 米 .  1 解析 : 原菜地的长为 x m, 则宽为 ( x- 2)m, 根据题意得 x ( x- 2) = 120, 解得 x= 12 或 x=- 10( 舍去 ) . ∴ 原菜地的长是 12 m . 故填 12 . 4 . 一块矩形菜地的面积是 120 m 2 , 如果它的长减少 2 m, 那么菜地就变成正方形 , 则原菜地的长是 　　　　 m .  12 5 . 某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 46000 平方米 , 施工队在绿化了 22000 平方米后 , 将每天的工作量变为原来的 1 . 5 倍 , 结果提前 4 天完成了该项绿化工程 . (1) 该项绿化工程原计划每天完成多少平方米 ? (2) 该项绿化工程中有一块长为 20 米 , 宽为 8 米的矩形空地 , 计划在其中修建两块相同的矩形绿地 , 它们的面积之和为 56 平方米 , 两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道 ( 如图所示 ), 则人行通道的宽度是多少米 ? 解 : (1) 设该项绿化工程原计划每天完成 x 平方米 , 根据题意得 解得 x =2000 ， 经检验， x =2000 是原方程的解， 答：该绿化项目原计划每天完成 2000 平方米； （ 2 ）设人行道的宽度为 x 米，根据题意得（ 20-3 x ）（ 8-2 x ） =56 ，解得 x =2 或 x = （不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为 2 米．    24.4 一元二次方程的应用（ 2 ） 第二十四章 一元二次方程 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本 , 其中可变成本逐年增长 , 已知该养殖户第一年的可变成本为 2 . 6 万元 , 第二年的可变成本为 2 . 86 万元 , 则可变成本每年的增长率是多少 ? 问题思考 学 习 新 知 一元二次方程解增长率问题 随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高 , 汽车已越来越多地进入普通家庭 . 据某市交通部门统计 ,2010 年底 , 该市汽车保有量为 15 万辆 , 截至 2012 年底 , 汽车保有量已达 21 . 6 万辆 . 若该市这两年汽车保有量增长率相同 , 求这个增长率 . 设年增长率为 x , 请你思考并解决下面的问题 : (1)2011 年底比 2010 年底增加了 　　　 万辆汽车 , 达到了 　　　 万辆 .  (2)2012 年底比 2011 年底增加了 　　　 万辆汽车 , 达到了 　　　 万辆 .  (3) 根据题意 , 列出的方程是 　　　　 .  (4) 解方程 , 回答原问题 , 并与同学交流解题的思路和过程 . 答 : 这个增长率为 20% . 解 : 设年增长率为 x , 根据题意得 : 15(1 +x ) 2 = 21 . 6, 解方程得 x 1 = 0 . 2, x 2 =- 2 . 2( 不合题意，舍去 ) . 做一做： 某工厂工业废气年排放量为 300 万立方米 . 为改善城市环境质量 , 决定在两年内使废气年排放量减少到 144 万立方米 . 如果第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的 2 倍 , 那么每年废气减少的百分率各是多少 ? 【思考】 (1) 题目中的已知量和未知量分别是什么 ? ( 工业废气年排放量为 300 万立方米和两年内使废气年排放量减少到 144 万立方米 ; 每年废气减少的百分率 ) (300(1 -x )(1 - 2 x ) = 144) (2) 未知量之间的数量关系是什么 ? ( 第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的 2 倍 ) (3) 如何设未知数 ? ( 设第一年废气减少的百分率为 x , 则第二年废气减少的百分率为 2 x ) (4) 题目中的等量关系是什么 ? ( 工业废气年排放量 300 万立方米减少两次 = 144 万立方米 ) (5) 如何根据等量关系列出方程 ? 例题 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径 . 经过市场调查发现 : 搭建一个面积为 x ( 公顷 ) 的大棚 , 所需建设费用 ( 万元 ) 与 x + 2 成正比例 , 比例系数为 0 . 6; 内部设备费用 ( 万元 ) 与 x 2 成正比例 , 比例系数为 2 . 某农户新建了一个大棚 , 投入的总费用为 4 . 8 万元 . 请计算该农户新建的这个大棚的面积 . ( 总费用 = 建设费用 + 内部设备费用 ) (1) 建设费用与 x + 2 成正比例 , 比例系数为 0 . 6, 则建设费用可表示成 　　　　 ;  (2) 内部设备费用与 x 2 成正比例 , 比例系数为 2, 则内部设备费用可表示成 　　　　 ;  (3) 题目中的等量关系是 　　　　 ;  (4) 根据题意列方程得 　　　　 .  思路引导 答 : 该农户新建的这个大棚的面积为 1 . 2 公顷 . 解 : 依题意 , 得 0 . 6( x + 2) + 2 x 2 = 4 . 8 . 整理 , 得 10 x 2 + 3 x - 18 = 0 . 解方程 , 得 x 1 = 1 . 2, x 2 =- 1 . 5( 不合题意 , 舍去 ) . 2 . 平均增长率或降低率问题 : 若平均增长 ( 或降低 ) 率为 x , 增长 ( 或降低 ) 前的基数是 a , 增长 ( 或降低 ) n 次后的量是 b , 则有 : a (1± x ) n =b ( 常见 n= 2)( 增长取 +, 降低取 - ) . 课堂小结 1 . 列一元二次方程解应用题的步骤 : 一审、二设、三找、四列、五解、六答 . 最后要检验根是否符合实际意义 . 1 . 某超市一月份的营业额为 36 万元 , 三月份的营业额为 49 万元 , 设每月的平均增长率为 x , 则可列方程为 ( 　　 ) A.49(1 +x ) 2 = 36 B.36(1 -x ) 2 = 49 C.36(1 +x ) 2 = 49 D.49(1 -x ) 2 = 36 解析 : 本题为增长率问题 , 等量关系为 : 三月份的营业额 = 一月份的营业额 × (1+ 增长率 ) 2 , ∴ 可列方程为 36(1+ x ) 2 = 49 . 故选 C. C 检测反馈 2 . 为解决群众看病贵的问题 , 有关部门决定降低药价 , 对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降价后为 256 元 , 设平均每次降价的百分率为 x , 则下面所列方程正确的是 ( 　　 ) A.289(1 -x ) 2 = 256 B.256(1 -x ) 2 = 289 C.289(1 - 2 x ) = 256 D.256(1 - 2 x ) = 289 解析 : 设平均每次降价的百分率为 x , 则第一次降价后售价为 289(1 -x ), 第二次降价后售价为 289(1 -x ) 2 , 由题意得 289(1 -x ) 2 = 256 . 故选 A. A 3 . 学校去年年底的绿化面积为 5000 平方米 , 预计到明年年底增加到 7200 平方米 , 则这两年的年平均增长率为 　　　　 .  解析 : 设这两年的年平均增长率为 x , 根据题意得 5000(1+ x ) 2 = 7200, 即 (1+ x ) 2 = 1 . 44, 开方得 1+ x= 1 . 2 或 x+ 1 = - 1 . 2, 解得 x= 0 . 2 = 20% 或 x=- 2 . 2( 舍去 ) . ∴ 这两年的年平均增长率为 20% . 故填 20% . 20% 4 . 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本 , 其中固定成本每年均为 4 万元 , 可变成本逐年增长 , 已知该养殖户第 1 年的可变成本为 2 . 6 万元 , 设可变成本平均每年增长的百分率为 x. (1) 用含 x 的代数式表示第 3 年的可变成本为 　　 万元 .  (2) 如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7 . 146 万元 , 求可变成本平均每年增长的百分率 x. ( (2) 由题意 , 得 4+2 . 6(1+ x ) 2 = 7 . 146, 解得 x 1 = 0 . 1, x 2 =- 2 . 1( 不合题意 , 舍去 ) . 答 : 可变成本平均每年增长的百分率为 10% . 解 :(1)2 . 6(1+ x ) 2 . 5 . 某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行 , 到期后支取 1000 元用于购物 , 剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行 , 若存款的利率不变 , 到期后本金和利息共 1320 元 , 求这种存款方式的年利率 . 解 : 设这种存款方式的年利率为 x , 由题意 , 得 [2000(1+ x ) - 1000](1+ x ) = 1320, 解得 x 1 =- 1 . 6( 不符合题意 , 舍去 ), x 2 = 0 . 1, 答 : 这种存款方式的年利率为 10% . 24.4 一元二次方程的应用（ 3 ） 第二十四章 一元二次方程 1 . 列一元一次方程解应用题都有哪些步骤 ? ① 审题 ;② 设未知数 ;③ 找相等关系 ; ④ 列方程 ;⑤ 解方程 ;⑥ 答 回顾复习 2 . 列方程解应用题的关键是什么 ? 找到题目中的等量关系 分析：设应邀请 x 支球队参加比赛 . (1) 根据“每两个足球队之间都要比赛一场” , 每支足球队要比赛 　　　　 场 .  (2) 用含 x 的代数式表示比赛的总场数为 　　　　 . 于是可得方程 　　　　 .  (3) 解这个方程并检验结果 . 问题探究 　 某少年宫组织一次足球赛 , 采取单循环的比赛形式 , 即每两个足球队之间都要比赛一场 , 计划安排 28 场比赛 . 可邀请多少支球队参加比赛呢 ? 解 : 设应邀请 x 支球队参加比赛 , 则每支球队要与其他 ( x - 1) 支球队各赛一场 . 根据题意可得 x ( x - 1)=28, 化简得 x 2 - x =56, 解得 x 1 =8, x 2 = - 7( 不合题意 , 舍去 ), 答 : 应邀请 8 支球队参加比赛 例题： ( 教材 51 页例 4) 某商场经销的太阳能路灯 , 标价为 4000 元 / 个 , 优惠办法是 : 一次购买数量不超过 80 个 , 按标价收费 ; 一次购买数量超过 80 个 , 每多买 1 个 , 所购路灯每个可降价 8 元 , 但单价最低不能低于 3200 元 / 个 . 若一顾客一次性购买这样的路灯用去 516000 元 , 则该顾客实际购买了多少个路灯 ? (1) 若顾客实际购买的路灯数量是 80 个 , 则所需费用为 　　 元 .  (2) 若顾客一次性购买路灯用去 516000 元 , 则所买路灯 数量 　　 80 个 .  (3) 设该顾客购买这种路灯 x ( x >80) 个 , 路灯数超出 80 个的数量是 　　　　 个 , 每个路灯可降价 　　　　 元 , 则每个路灯的单价是 　　 元 .  (4) 题目中的等量关系是 　　　　 .  (5) 根据等量关系可列方程 　　　　 .  (6) 解方程 , 并检验根是否都符合题意 . 思路一： 解 : 因为 4000×80=320000