北师大版八年级数学上册第五章同步测试题及答案
1认识二元一次方程组
一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1. 下列各式中是二元一次方程的是（ ）
A. 2x+y=6z B. 1x+2=3y C. 3x﹣2y=9 D. x﹣3=4y2
2. 若x=1y=2是关于x、y的二元一次方程ax﹣3y=1的解，则a的值为（ ）
A. ﹣5 B. ﹣1 C. 2 D. 7
3. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A. xy=1x+y=2 B. 5x−2y=31x+y=3 C. 2x+z=03x−y=15 D. x=5x2+y3=7
4. 以x=1y=−1为解的二元一次方程组是（ ）
A. x+y=0x−y=1 B. x+y=0x−y=−1 C. x+y=0x−y=2 D. x+y=0x−y=−2
5. 端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个，其中荷包每个4元，五彩绳每个3元．设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，下面列出的方程组正确的是（ ）
A. x+y=203x+4y=72 B. x+y=204x+3y=72 C. x+y=724x+3y=20 D. x+y=723x−4y=20
6. 二元一次方程组x+2y=10y=2x的解是（ ）
A. x=4y=3 B. x=3y=6 C. x=2y=4 D. x=4y=2
7. 若方程6kx﹣2y=8有一组解x=−3y=2，则k的值等于（ ）
A. ﹣16 B. 16 C. 23 D. ﹣23
8. 已知x=−1y=2是二元一次方程组3x+2y=mnx−y=1的解，则m﹣n的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 四川雅安地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（ ）
A. 4种 B. 11种 C. 6种 D. 9种
二、填空题
10. 请写出一个二元一次方程组______，使它的解是x=2y=−1．
11. 写出方程x+2y=6的正整数解：______．
12.下列四个方程组中，①②③④二元一次方程组有 .
三、解答题
13. 已知x=3y=−1是方程组3x+ky=10mx+y=8的解，求k和m的值．
14. （根据题意列二元一次方程组：
（1）两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完．每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？
（2）某校课外小组的学生准备外出活动；若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人；求这个课外小组分成几组？共有多少人？
15. 已知方程(2m−6)xm−2+(n−2)yn2−3=0是二元一次方程，求m，n的值．
16. 已知关于x，y的二元一次方程组ax+4y=27x−by=−3的解是x=1y=2，求（a+b）2016的值．
17. 小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染3x−2y=□5x+y=Δ，“口”和“△”表示被污染的内容，他着急，翻开书后面的答案，这道题的解是x=2y=−1，你能帮助他补上“口”和“△”的内容吗？说出你的方法．
18. （根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
19. 甲、乙两人共同解方程组ax+5y=15(1)4x−by=−2(2)，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4，试计算a2015+（﹣110b）2016．
答案
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程.A.是二元一次方程；B.是三元一次方程；C.是分式方程；D.y2是二次，故应选A.
考点：二元一次方程的定义
2. 【答案】D
【解析】∵x=1y=2是关于x、y的方程ax-3y=1的解，∴把x＝1,y＝2 代入得：a-6=1，解得：a=7，故选D．
3. 【答案】D
【解析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．A选项中最高次数为2次，则不是；B选项中含有分式，则不是；C选项中含有3个未知数，则不是；故本题选择D．
点睛：本题主要考查的就是二元一次方程组的定义问题，对于二元一次方程组，我们只要满足这两个方程满足有2个未知数即可，例如：x=1y=1这也是一个二元一次方程组，同时这也是一个二元一次方程组的解．在解决定义问题的时候特别要注意不能含有分式，否则就不是二元一次方程组．
4. 【答案】C
【解析】∵x=1y=−1，∴x+y=1+(-1)=0,x-y-1-(-1)=2,∴x=1y=−1是二元一次方程组x+y=0x−y=2 的解，故选C.
5.【答案】B
【解析】设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意， 得方程组x+y=204x+3y=72．故选B．
点睛：根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 此题的等量关系：①荷包的个数+五彩绳的个数=20；②买荷包的钱数+买五彩绳的钱数=72，列出两个方程即可．
6. 【答案】C
【解析】方程组x+2y=10①y=2x② ，把②代入①，得x+4x=10，解得x=2.再将x=2代入①得y=4，所以原方程组的解为：x=2y=4.故选C.
7.【答案】D
【解析】把x=−3y=2代入6kx﹣2y=8得:-18k-4=8,∴k=−23 .故选D.
8.【答案】D
【解析】将x=-1，y=2代入方程组得：−3+4＝m−n−2＝1，解得：m=1，n=-3，则m-n=1-（-3）=1+3=4．故选D.
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
9. 【答案】C
【解析】设搭建的6人帐篷是x个，搭建的4人帐篷是y个，依题意列出方程6x＋4y=60，则3x＋2y=30，即y=；因为x、y是正整数，当x=0时，y=15；当x=2时，y=12；x=4时，9；当x=6时，y=6；当x=8时，y=3；当x=10时，y=0；所以共有六种方案．
二、填空题
10.【答案】此题答案不唯一，如：x+y=1x−y=3
【解析】根据二元一次方程组的解满足方程组，可得一个二元一次方程组：使它的解为x=2y=3，这个方程组可以是x+y=5x−y=−1.
考点：1.开放型；2.二元一次方程组的解．
11.【答案】x=4y=1，x=2y=2.
【解析】当x=1时，1+2y=6，y=2.5，不合题意； 当x=2时，2+2y=6，y=2，符合题意； 当x=3时，3+2y=6，y=1.5，不合题意；当x=4时，4+2y=6，y=1，符合题意；当x=5时，5+2y=6，y=0.5，不合题意；当x=6时，6+2y=6，y=0，不合题意；当x=7时，7+2y=6，y=-0.5，不合题意；所以正整数解为x=4y=1，x=2y=2.
12.【答案】1
【解析】①是二元二次方程组，不符合题意；②是二元二次方程组，不符合题意；③是分式方程组，不符合题意；④是二元一次方程组，符合题意.故答案为：1
三、解答题
13.【答案】k=-1，m=3
【解析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．把x、y的值代入原方程组可转化成关于k、m的二元一次方程组，解方程组即可求出k、m的值．
把x=3y=-1代入方程组3x+ky=10mx+y=8，
得3×3+−1×k=103m−1=8 ，
解得k=−1m=3 .
14. 【答案】（1）每节火车皮、每辆汽车分别装60吨、5吨；（2）有8组，共有59人
【解析】本题的等量关系有：（1）用5节火车皮和12辆汽车正好装360吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装500吨；（2）每组7人×组数+3人=总人数，每组8人×（组数-1）+3人=总人数．
解：(1)设每节火车皮、每辆汽车分别装x吨、y吨,
由题意，得；
解得，
答：每节火车皮、每辆汽车分别装60吨、5吨；
(2)设分成x组,共有y人,
由题意，得.
解得：，
答：有8组，共有59人。
15.【答案】m=1 n=0
【解析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得2m-6≠0，|m-2|=1；n-2≠0，n2=0，再解即可．
由题意得：2m−6≠0，|m−2|=1，解得：m=1，
n−2≠0,n2=0，解得：n=0.
故答案为：m=1 n=0
16.【答案】1
【解析】把方程组的解代入方程组，得出关于a、b的方程组，求出方程组的解，再代入求出即可．
解：把x=1,y=2代入方程组ax+4y=27x-by=-3得：，
解得：a=−6，b=5，
所以(a+b)2016=(−6+5)2016=1.
17.【答案】8和9．
【解析】本题考查了二元一次方程组的解，把方程组的解代入两方程即可帮助他补上方框的内容．
解：把x=2，y=-1代入两方程，
得3×2-2×（-1）=8，5×2-1=9．
∴被污染的内容是8和9．
18. 【答案】（1）x+y=130.8x+2y=20；（2）4y+1=x5(y−1)=x．
【解析】（1）等量关系为：0.8元邮票的枚数+2元的邮票枚数=13；0.8×0.8元邮票的枚数+2×2元的邮票枚数=20；（2）等量关系为：4×鸡笼数+1=鸡数；5×（鸡笼数-1）=鸡数．
解：（1）设0.8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意得x+y=130.8x+2y=20；
（2）设有x只鸡，y个笼，根据题意得4y+1=x5(y-1)=x．
19.【答案】0
【解析】（1）根据题意把 x=-3y=-1代入②得-3×4+b=-2，可求得b=10，把 x=5y=4代入①得5a+5×4=15，可求得a=1，然后把a、b的值代入所给的代数式中，利用乘方的意义进行计算； （2）把a=1，b=10代入方程得到得 ax+5y=15(1)4x-by=-2(2)，先化简②得到2x-5y=-1③，再利用①+③得到x，然后利用代入法可求出y．
解：甲看错了①式中x的系数a，解得方程组的解为x=-3y=-1，但满足②式的解，所以﹣12+b=﹣2，解得b=10;
同理乙看错了②式中y的系数b，得到方程组的解为x=5y=4，满足①式的解，所以5a+20=15，解得a=﹣1.
把a=﹣1，b=10代入a2015+（﹣110b）2016=-1+1=0.
故a2015+（﹣110b）2016的值为0.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．把得到的解代入到没看错的方程即可求出正确的a、b的值，然后代入到代数式中求值.
2 求解二元一次方程组
1. 用代入法解方程组x+y=2，①2x−y=7，②正确的解法是（ ）
A. 先将①变形为x=2+y，再代入② B. 先将①变形为x=2−y，再代入②
C. 先将②变形为y=7−2x，再代入① D. 先将②变形为x=7−y2，再代入①
2. 将方程2x+3y−5=0中的y用含x的代数式表示为______________
3. 已知方程mx+ny=6的两个解是x=1y=1，x=2y=−1，则m=_________，n=_________
4. 用代入消元法解下列方程
（1）x−2y=0x=3y+1 （2） y=x−3y−2x=5 （3）2x−y=5x+y=1 （4）x−3y=52x+y=5 （5）y=x−32x+3y=6 （6）2p−3q=13−p+5=4q
5. 解方程组x+3y=5，①2x+3y=7，②，错误的解法是（ ）
A. 先将①变形为x=5+3y，再代入② B. 先将①变形为x=5−3y，再代入②
C. 将②−①，消去y D. 将①×2−②，消去x
6. 已知方程mx+ny=8的两个解是x=3y=2，x=1y=−2，则m=___________，n=___________
7.二元一次方程组的解和二元一次方程5x+3y=14的解相同，则a= .
8. 用加减消元法解下列方程
（1）3m−2n=54m+2n=9； （2）5x+2y=73x+2y=5； （3）x+4y=−2−x−y=−1；
（4）6x+5y=16x−4y=10； （5） 2x−y=1−4x+3y=−3； （6） 3x−5y=74x+2y=5.
答案
1. 【答案】B
【解析】根据解二元一次方程的代入法，将①变形为x=2-y后可知，变形后A是错误的，B是正确的；将②变形为x=7+y2或y=2x-7可知，变形后C和D都是错误的.故选B.
2.【答案】y=5−2x3
【解析】移项，得：3y=5－2x，系数化为1，得 ：y=5-2x3.故答案为：y=5-2x3.
3.【答案】 4 2
【解析】把x=1y=1，x=2y=-1分别代入mx+ny=6，得m+n=6①2m-n=6② ①+②，得3m=12，m=4，把m=4代入②，得8-n=6，解得n=2.所以m=4，n=2.
4. 【答案】（1）x=−2y=−1（2）x=−8y=−11（3）x=2y=−1（4）x=207y=−57（5）x=3y=0（6）x=6711y=−311
【解析】 (1) 把②代入①即可求出y，把y的值代入②即可求出x；(2)把①代入②即可求出x, 把x的值代入①即可求出y.（3）把①变形得到y=2x-5，再代入②得到x的值，再把x的值代入y=2x-5求得y的值. (4)把①变形得到x=5+3y，再代入②得到y的值，再把y的值代入x=5+3y求得x的值.(5)把①代入②即可求出x, 把x的值代入①即可求出y.(6)把②变形得到p=5-4q，再代入①得到q的值，再把q的值代入p=5-4q求得p的值.
解:(1) x-2y=0①x=3y+1②
把②代入①得：3y+1−2y=0，
解得：y=−1，
把y=−1代入②得：x+2=0，x=−2，
即方程组的解为x=−2y=−1.
（2）y=x-3①y-2x=5②
将①代入②，(x−3)−2x=5，x=−8，
把x=−8代入①，y=−11，
∴方程组的解为x=−8y=−11.
（3）2x-y=5①x+y=1②
由①得，y=2x-5 ③
把③代入②得x+2x-5=1,解得x=2
把x=2代入①得2×2-y=5,解得y=-1
∴方程组的解为x=2y=-1.
(4) x-3y=5①2x+y=5②
由①得，x=5+3y，③
把③代入②得2(5+3y)+y=5,解得y=−57，
代入①得,x−3×(−57)=5，解得x=207.
故原方程组的解为x=207y=-57.
(5)y=x-3①2x+3y=6②
把①代入②得：2x+3(x-3)=6，解得：x=3，
把x=3代入①得：y=0，
即方程组的解为x=3y=0.
（6）2p-3q=13①-p+5=4q②
由②得，p=5-4q，③
把③代入①得2(5-4q)-3q=13,解得q=-311，
代入③得,p=5-4×(-311)，解得p=6711.
故原方程组的解为p=6711q=-311.
5. 【答案】A
【解析】将①变形为x=5-3y，再代入②，故A错，B正确；故选A.
6.【答案】 4 -2
【解析】把x=3y=2，x=1y=-2代入mx+ny=8得3m+2n=8m-2n=8解得m=4n=−2，故答案为4，-2.
7.【答案】2
【解析】x+y=ax-y=3a,两式相加得:2x=4ax=2a把x=2a代入x+y=a得y=-a把x=2ay=-a代入5x+3y=14得
5×2a+3×（-a）=14解得a=2故答案为：2.
8. 【答案】（1）m=2n=12（2）x=1y=1（3）x=2y=−1（4）x=1y=−1（5）x=0y=−1（6）x=32y=−12
【解析】（1）①和②相加即可得到m的值，再把m的值代入①即可求出n的值.(2) ①和②相减即可得到x的值，再把x的值代入①即可求出y的值.(3) ①和②相加即可得到y的值，再把y的值代入①即可求出x的值.(4) ①和②相减即可得到y的值，再把y的值代入①即可求出x的值.(5) ①×2减去②即可得到y的值，再把y的值代入①即可求出x的值.(6) ①×2＋②×5即可得到x的值，再把x的值代入①可求出y的值.
解：（1）3m-2n=5①4m+2n=9②
①＋②得,7m=14,解得m=2
把m=2代入①得3×2-2n=5,解得n=12
所以方程组的解是m=2n=12.
（2）5x+2y=7①3x+2y=5②
①-②得2x=2,解得x=1
把x=1代入①得5×1+2y=7,解得y=1
所以方程组的解是x=1y=1.
（3）x+4y=-2①-x-y=-1②
①＋②得,3y=-3,解得y=-1
把y=-1代入①得x+4×(-1)=-2,解得x=2
所以方程组的解是x=2y=-1.
(4)6x+5y=1①6x-4y=10②
①-②得,9y=-9,解得y=-1
把y=-1代入①得6x+5×(-1)=1,解得x=1
所以方程组的解是x=1y=-1.
（5） 2x-y=1①-4x+3y=-3②
①×2得4x-2y=2 ③
②＋③得y=-1
把y=-1代入①得2x-(-1)=1,解得x=0
所以方程组的解是x=0y=-1.
（6） 3x-5y=7①4x+2y=5②
①×2得6x-10y=14 ③
②×5得20x+10y=25 ④
③＋④得26x=39,解得x=32
把x=32代入①得3×32-5y=7
解得y=-12
所以方程组的解是x=32y=-12.
点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法是解答此题的关键．
3应用二元一次方程组——鸡兔同笼
一、选择题
1. 一张试卷有25道题，做对一题得4分，做错一题扣1分，小明做了全部试题得70分，则他做对的题数是（ ）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
2. 某校150名学生参加数学考试，平均分55分，其中及格学生平均77分，不及格学生平均47分，则不及格的学生人数为（ ）
A. 49 B. 101 C. 110 D. 40
二、填空题
3. 现有面值总和为570元的人民币50元和20元的共15张， 设50元人民币有x张，20元人民币有y张，根据题意，列出方程组：________________
4. 六一儿童节，某动物园的成人门票8元，儿童门票半价（即每张4元 ），全天共售出门票
3000张，共收入15600元，设这天售出成人票x张，儿童票y张，根据题意，列出方程组：________________
三、解答题
5. 21枚1角与5角的硬币，共是5元3角，其中1角与5角的硬币各是多少？
6. 小兰在玩具厂劳动，做4只小狗、7辆小汽车用去3小时42分，做5只小狗、6辆小汽车用去3
小时37分.平均做1只小狗与1辆小汽车各用多少时间？
7. 某中学某班买了35张电影票，共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，甲、乙两种票各买多少张？
答案
一、选择题
1. 【答案】D
【解析】设他做对的题数为x道，做错的题数为y道，根据题意可得x+y=254x−y=70，解得x=19y=6，则他做对的题数是19道.故选D.
2.【答案】C
【解析】本题考查的是方程组的应用.根据等量关系为：总人数150人，及格学生数×77+不及格学生数×47=150×55，即可列出方程组.设不及格的人数为人，及格的人数为人，由题意得，解得，则不及格学生的人数为人，故选D。
二、填空题
3.【答案】x+y=1550x+20y=570
【解析】因为人民币50元和20元的共15张,所以x+y=15,又因为面值总和为570元,所以50x+20y=570,所以可列方程组x+y=1550x+20y=570,故答案为:x+y=1550x+20y=570.
点睛:本题考查二元一次方程组解决实际问题,解决本题对的关键是从题目中正确找出等量关系,根据等量关系列出方程.
4.【答案】x+y=90008x+4y=15600
【解析】因为全天售出门票共3000张,所以x+y=3000,又因为成人票和儿童票共收入15600元,所以8x+4y=15600,所以可列方程组:x+y=30008x+4y=15600,故答案为:x+y=30008x+4y=15600.
点睛:本题考查二元一次方程组解决实际问题,解决本题对的关键是从题目中正确找出等量关系,根据等量关系列出方程.
三、解答题
5.【答案】13枚,8枚
【解析】先设1角的硬币有x枚,5角的硬币有y枚,根据硬币一共有21枚,可得: x+y=21,硬币面值共计5元3角,可得x+5y=53,然后将两个方程联立成方程组,利用加减消元法解方程组即可求解.
解:设1角的硬币有x枚,5角的硬币有y枚,
依题意得:x+y=21x+5y=53,
解得:x=13y=8,
答:1角的硬币有13枚,5角的硬币有8枚.
点睛:本题考查二元一次方程组解决实际问题,解决本题对的关键是从题目中正确找出等量关系,根据等量关系列出方程,并能够熟练利用加减消元法解方程组.
6. 【答案】做一只小狗19分钟，做一辆小汽车22分钟
【解析】先设做一只小狗x分钟,做一辆小汽车y分钟,因为做4只小狗,7辆小汽车用去3小时42分,所以可得:4x+7y=222,又因为做5只小狗,6辆小汽车用去3小时37分,所以可得:5x+6y=217,然后联立方程组,再利用加减消元法解方程组即可求解.
解:设做一只小狗x分钟,做一辆小汽车y分钟,
依题意得:4x+7y=2225x+6y=217,解得:x=19y=22,
答:做一只小狗19分钟,做一辆小汽车22分钟.
点睛: 本题考查二元一次方程组解决实际问题,解决本题对的关键是从题目中正确找出等量关系,根据等量关系列出方程,并能够熟练利用加减消元法解方程组.
7. 【答案】甲种票20张，乙种票15张
【解析】先设买甲种票x张，乙种票y张.因为共买35张电影票，所以可得x+y=35.又因为共用了250元，所以可得8x+6y=250，然后联立方程组，再利用加减消元法解方程组即可求解.
解:设买甲种票x张,乙种票y张,
依题意得:x+y=358x+6y=250, 解得:x=20y=15,
答：买甲种票20张,乙种票15张.
本题考查二元一次方程组解决实际问题,解决本题对的关键是从题目中正确找出等量关系,根据等量关系列出方程,并能够熟练利用加减消元法解方程组.
4 应用二元一次方程组——增收节支
一、选择题
1. 某种商品进价为a元，商店将价格提高30%作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折（即售价的80%）的价格开展促销活动.这时一件商品的售价为（ ）
A. a元 B. 0.8a元 C. 1.04a元 D. 0.92a元
二、填空题
2. 为了拓展销路，商店对某种照相机的售价了调整，按原价的8折出售，此时的利润率为14%，若此种照相机的进价为1200元，则该照相机的原售价为___________元.
3. 已知乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的13调入甲组，则甲组比乙组多15人，设甲组人数为x人，乙组人数为y人，根据题意，列出方程组：________________
三、解答题
4. 某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口？
5. 某汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则可超额生产20辆.试求预定期限是多少天？计划生产多少辆汽车？
6. 某人以两种形式储蓄了800元，一种储蓄的年利率为10%，另一种储蓄的年利率为11%，一年到期时去提取，他共得到利息85元5角，问两种储蓄他共存了多少钱？
答案
一、选择题
1.【答案】C
【解析】根据题意列出等量关系，商品的售价=原售价的80%．直接列代数式求值即可．依题意可得：a（1+30%）×0.8=1.04a元．故选C．
考点：列代数式．
二、填空题
2.【答案】1710
【解析】设该照相机原售价为每台x元，由题意可得：0.8x−1200=1200×14%，解得：x=1710.该照相机的原售价为每台1710元.
点睛：（1）销售商品的利润率=（商品售价-商品进价）÷商品进价×100%；（2）商品打几折销售就是指按原价的百分之几十销售，如打7折销售就是指按原价的70%销售.
3.【答案】y=12xx+13y=23y+15
【解析】设甲组人数为x人，乙组人数为y人，根据题意，列出方程组：y=12xx+13y=23y+15 .
三、解答题
4.【答案】这个市现在的城镇人口14万人，农村人口28万人
【解析】设该市现在有城镇人口x万人，农村人口y万人，则一年后新增城镇人口0.8%x万人，新增农村人口1.1%y万人，新增总人口42×1%万人，根据题中等量关系：（1）现该市城镇人口和农村人口之和为42万人；（2）一年后新增城镇人口与新增农村人口之和为42×1%万人；由此可列出方程组求解.
解：设这个市现在的城镇人口x万人，农村人口y万人，
依题意得：x+y=420.8%x+1.1%y=42×1% 解得：x=14y=28
答：这个市现在的城镇人口14万人，农村人口28万人.
5.【答案】预定期限是6天，计划生产220辆汽车。
【解析】设预定期限为x天，计划生产y辆汽车，则按第一种生产方式，可生产汽车35x辆，比计划少了10辆；按第二种方式生产，可生产汽车40x辆，比计划多了20辆，由此可列出方程组，解方程组即可.
解：设预定期限是x天，计划生产y辆汽车，
依题意得：35x+10=y40x-20=y ,解得：x=6y=220
答：预定期限是6天，计划生产220辆汽车。
6.【答案】一种储蓄他存了250元，另一种储蓄他存了550元.
【解析】设两种储蓄各存了x元，y元.根据等量关系：储蓄了800元，共得到利息85元5角，即可列出方程组求解.
解：设两种储蓄各存了x元、y元，由题意得
，解得
答：两种储蓄各存了250元，550元.
考点：本题考查了二元一次方程组的应用
点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
1. 小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数.小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9.”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9.”
那么，你能回答以下问题吗？
（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
（2）第一次，他们拼出的两位数是多少？
（3）第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
2. 如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，那么这样的两位数的个数是（ ）
A. 3 B. 6 C. 5 D. 4
3. 已知有含盐20%与含盐5%的盐水，若配制含盐14%的盐水200千克，设需含盐20%的盐水x千克，含盐5%的盐水y千克，则下列方程组中正确的是（ ）
A. x+y=20020%x+5%y=14% B. x+y=20020%x+5%y=200
C. x+y=20020%x+5%y=200×14% D. x+y=2005%x+20%y=200×14%
4. 甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D. 18(x−y)=36024(x+y)=360
5. 松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，问这几天中有几天晴天，几天是雨天？
6.
有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数.
答案
1.【答案】他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5，第一次他们拼成的两位数为45，第二次拼成的两位数是54.
【解析】（1）设他们取出的两个数字分别为x，y．根据等量关系：①十位数字与个位数字之和恰好是9；②对调后的两位数恰好也比原来的两位数大9，列方程组求解；（2）、（3）根据（1）中求得的答案即可回答．
解：（1）设小明和小华取出的两个数字分别为x，y.
第一次拼成的两位数为10x+y,第二次拼成的两位数为10y+x.
根据题意得：
由②得：y－x=1 ③
①+③得：y=5，则x=4
所以他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5；
（2）根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，
所以第一次他们拼成的两位数为45；
（3）根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是，
所以第二次拼成的两位数是54．
考点：本题考查了二元一次方程组的应用
点评：此题中要注意数的正确表示方法：个位上的数字是a，十位上的数字是b，则两位数是10b+a．
2.【答案】C
【解析】可以设两位数的个位数为x，十位为y，根据两数之和为6，且xy为整数，分别讨论两未知数的取值即可．注意不要漏解．设两位数的个位数为x，十位为y，根据题意得：x+y=6，∵xy都是整数，∴当x=0时，y=6，两位数为60；当x=1时，y=5，两位数为51；当x=2时，y=4，两位数为42；当x=3时，y=3，两位数为33；当x=4时，y=2，两位数为24；当x=5时，y=1，两位数为15；则此两位数可以为：60、51、42、33、24、15，共6个，故选B．
考点：本题考查了二元一次方程的应用
点评：解题的关键在于根据未知数的整数性质讨论未知数的具体值，注意不要漏掉两位数的个位数可以为0的情况．
3.【答案】C
【解析】根据含盐20%的盐水质量+含盐5%的盐水质量=200可得x+y=200；含盐20%的盐水x千克中含盐20%x，含盐5%的盐水y千克中含盐5%y，含盐14%的盐水200千克中含盐200×14%，根据含盐20%的盐水中的纯盐质量+含盐5%的盐水中的纯盐质量=含盐14%的盐水中的纯盐质量可得：20%x+5%y=200×14%，
故所列方程组为：x+y=20020%x+5%y=200×14%．故选C．
点睛：本题考查列二元一次方程组问题，得到溶液总质量和纯盐总质量的等量关系是解决本题的关键．
4.【答案】A
【解析】根据题意可得，顺水速度=x+y，逆水速度=x-y，根据顺水时间×顺水速度=360；逆水时间×逆水速度=360，可列方程组为18x+y＝36024x−y＝360，故选A．
5.【答案】这几天中共有2天晴天，6天雨天.
【解析】可以设这几天中有x天晴，y天有雨，根据晴天采的松子总数+雨天采的松子总数=112和晴天天数+雨天天数=松子总数÷平均每天采的松子数可得到两个关于x、y的方程，求方程组的解即可．
解：设这几天中有x天晴，y天有雨
根据题意得20x+12y=112x+y=11214解得x=2y=6
答：这几天中共有2天晴天，6天雨天.
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
6.【答案】56.
【解析】设这个两位数为x，这个一位数为y，根据等量关系：如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，即可列方程组求解.
解：设这个两位数为x，这个一位数为y，由题意得
,解得
答：这个两位数为56.
考点：本题考查了二元一次方程组的应用
点评：此题中要注意数的正确表示方法：个位上的数字是a，十位上的数字是b，则两位数是10b+a．
6 二元一次方程与一次函数
一、填空题
1. 已知直线l1：y=k1x+b1和直线l2：y=k2x+b2
（1）当__________时，l1与l2相交于一点；
（2）当__________时，l1∥l2，此时方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解的情况是________；
（3）当__________时，l1与l2重合，此时方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解的情况是________；
2. 无论m取何实数，直线y=x+3m与y=−x+1的交点不可能在第__________象限；
3. 一次函数的图象过点A（5，3）且平行于直线y=3x−12，则这个函数的解析式为________；
4. 在一次函数y=5−2x 的图象上任取一点，它的坐标________方程2x+y=5（此空填“适合”或“不一定适合”）.
5. 以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数________的图象相同.
6. 一次函数y=7−4x 和y=1−x 的图象的交点坐标为_______，则方程组4x+y=7x+y=1的解为_______.
二、解答题
7. 已知两直线y1=2x−3，y2=6−x
（1）在同一坐标系中作出它们的图象
（2）求它们的交点A的坐标
（3）根据图象指出x为何值时，y1>y2？x为何值时，y13时，y1＞y2 ；当x3时，y1＞y2 ；当x k2x+b2不等式，构造函数y1= k1x+b1,y2= k2x+b2.如果y1> y2，找出y1比 y2低的部分对应的x的值，y1=y2，找出他们的交点；形如k1x+b1>c不等式，则y1= k1x+b1,y2=c是常函数，是一条平行于x轴的直线（y=0是x轴）.如果y1> y2，找出y1比 y2高的部分对应的x的值；y1< y2，找出y1比 y2低的部分对应的x的值，y1=y2，找出他们的交点.
8.【答案】（1）图形见解析（2）A（-3，0），B（4，3）,212
【解析】（1）
（2）y=35x+95，令y=0,知，x=-3, A（-3，0），
y=-32x+6, y=0,, x=4, B（4，0），联立方程组
y=35x+95y=-32x+6,解得x=2y=3,
所以△PAB面积是12×4+3×3=212.
7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
一、解答题
1. 已知一次函数的图象过点M（3，2 ），N（－1，－6 ）两点，求一次函数的表达式.
2. 如图一次函数y=kx+b的图象经过点A和点B，求一次函数的表达式.
3. 在弹性限度内，弹簧的长度y（cm ）是所挂物体质量x（kg）的一次函数.当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm；当所挂物体的质量为4kg时，弹簧长度为16.5cm.求y与x之间的函数关系式.
4. 已知直线l与直线y=2x+1的交点的横坐标为2，与直线y=−x+8的交点的纵坐标为7，求直线的解析式.
5. 如图，表示小王骑自行车和小李骑摩托车者沿相同的路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象，两地相距80千米，请根据图象解决下列问题：
⑴l1是 车行驶过程的函数图象，l2是 车行驶过程的函数图象．
⑵哪一个人出发早？早多长时间？哪一个人早到达目的地？早多长时间？
⑶求出两个人在途中行驶的速度是多少？
⑷分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式，并求出自变量x的取值范围.
答案
一、解答题
1.【答案】y=2x−4
【解析】设一次函数的解析式为y=kx+b，将点的坐标代入求出k和b的值，即可求出函数解析式.
解:设一次函数表达式为y=kx+b，
依题意得：2=3k+b-6=-k+b解得：k=2b=-4
答：一次函数表达式为y=2x-4
2.【答案】y=−2x+1
【解析】可直接写出点A与点B的坐标，然后把它们代入y＝kx＋b得到关于k、b的方程组，再解方程组即可.
解:依题意得：3=-k+b-3=2k+b，解得：k=-2b=1
答：一次函数表达式为y=-2x+1
3.【答案】y=0.5x+14.5
【解析】根据题意可知，弹簧总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系，可设y＝kx＋b,代入求解．
解:设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
依题意得：16=3k+b16.5=4k+b，解得：k=0.5b=14.5
答：y与x之间的函数关系式为y=0.5x+14.5
4.【答案】y=−2x+9
【解析】求出两交点的坐标，再根据待定系数法就可求出函数解析式.
解:设直线l的解析式为y=kx+b
∵y=2x+1，当x=2时，y=5
∴y=-x+8，当y=7时，x=1
依题意得：5=2k+b7=k+b，解得：k=-2b=9
答：直线l的解析式为。
5.【答案】（1）自行，摩托 （2）小王早出发，早3小时，小李早到目的地，早3小时（3）小王：10 km/h，小李40 km/h（4）自行车：y=10x（0≤x≤8）摩托车：y=40x−120（3≤x≤5）
【解析】（1）根据图象可知l1是小王行驶过程的函数图象，l2是小李行驶过程的函数图象，（2）根据图象可知小王出发早，小李早到达目的地，早8−5小时，（3）根据图象分别求出小王和小李在途中行驶的时间，再根据速度公式计算即可．
解:（1）自行，摩托
（2）小王早出发，早3小时，小李早到目的地，早3小时
（3）小王：10 km/h，小李40 km/h
（4）自行车：y=10x（0≤x≤8），摩托车：y=40x-120（3≤x≤5）
点睛: 此题考查了函数的图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
*8三元一次方程组
一、选择题
1. 一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时订这三种客房共8间，且每个客房都住满，那么订房方案有( )
A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种
2. 如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一个数，把这个正方形每条边的两顶点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB边上的数是3，BC边上的数是7，CD边上的数是12，则AD边上的数是( )
A. 2 B. 7 C. 8 D. 15
二、填空题
3. 若x+y=1,y+z=2,x+z=3.则x＋y＋z＝__________________．
4. 方程组x+y=7,x+y+z=5,x−y−z=1的解是________________．
5. 判断x=5,y=10,z=−15是否是三元一次方程组x+y+z=0,2x−y+z=−15,x+2y−z=40的解______．
6.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成。如果每人每天能够缝制衣袖10个活衣身15个或衣领12个，那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.
7. 若x＋y＋z≠0且2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，则k＝_________．
三、解答题
8. 解方程组：x:y=5:3x:z=7:2x−2y+3z=4
9. 解方程组4x−9z=173x+y+15z=18,x+2y+3z=2,并求出使等式ax+y+3z=0成立的a的值．
10. 已知3x+y+2z=2,2x+y+3z=−11,x−y−4z=−10,试解关于m、n的方程组x+m=y+n,z+2n=y+m.
11. 有三个数，第一个数的3倍比第二个数的5倍小90，而第一个数的4倍与第二个数的6倍之差等于第三个数的20倍的相反数，同时，第三个数比4大1．求这三个数．
12. 某次篮球联赛的前12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表：
问每队胜一场，平一场，负一场各得多少分？
13. 一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，这对夫妇两年前的年龄和是其子女两年前年龄和的10倍，6年后，这对夫妇的年龄和是其子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？
答案
一、选择题
1.【答案】B
【解析】设订二人间x间，三人间y间，四人间z间根据题意得:2x+3y+4z=24(1)x+y+z=8(2) ，由(2)×4-(1)得：y+2x=8．
∵x，y，z都是正整数，（1）当x=1时，y=6，z=1；（2）当x=2时，y=4，z=2；（3）当x=3时，y=2，z=3；（4）当x=4时，y=0，z=4（不符合题意，舍去）．∴订房方案有3种．故选B.
点睛：（1）所列方程组中有三个未知数，但只有两个方程，该方程组的解有无数个；（2）结合本题题意可知要求的是该方程组的正整数解.两者结合可解得本题答案.
2.【答案】C
【解析】设正方形ABCD的四个顶点上的数分别是a，b，c，d，根据题意，得a+b=3,①b+c=7,②c+d=12,③，由②-①得：c-a=4，即c=a+4，将其代入③，得a+4+d=12，∴a+d=8，故AD边上的数是8．故选C.
二、填空题
3.【答案】3
【解析】在 x+y=1,(1)y+z=2,(2)x+z=3.(3)中，由①+②+③得：2x+2y+2z=6，∴x+y+z=3.
4.【答案】x=3,y=4,z=−2.
【解析】②＋③得x＝3，把x＝3代入①，得y＝4，把x＝3，y＝4代入②，得z＝－2．
5.【答案】是
【解析】∵把x=5,y=10,z=-15 代入：x+y+z=0(1)2x-y+z=-15(2)x+2y-z=40(3) 得：方程①左边=5+10+（-15）=0=右边；方程②左边=2×5-10+（-15）=-15=右边；方程③左边=5+2×10-（-15）=40=右边；∴x=5,y=10,z=-15是方程组：x+y+z=0(1)2x-y+z=-15(2)x+2y-z=40(3) 的解.
6.【答案】120
【解析】根据题意可设x缝制衣袖，y人缝制衣身，z人缝制衣领，则x+y+z=210，10x2=15y=12z，解由它们构成的方程组可求得x=120人.
考点：三元一次方程组的应用
7.【答案】3
【解析】∵2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，∴2y+z=kx，2x+y=kz，2z+x=ky，∴2y+z+2x+y+2z+x=kx+ky+kz，即3(x+y+z)=k(x+y+z).又∵x+y+z≠0，∴k=3.
三、解答题
8.【答案】x=14023,y=8423,z=4023.
【解析】在原方程中，把方程①、②变形，分别用含“x”的代数式表示“y”和“z”，再把结果代入方程③即可求得“x”的值，再求y”和“z”的值即可.
解：在方程组：x:y=5:3(1)x:z=7:2(2)x-2y+3z=4(3) 中，由方程①可得：y=35x；由方程②可得：z=27x；
把y=35x和z=27x代入方程③得：x−2×35x+3×27x=4，解得：x=14023，
∴y=35×14023=8423，z=27×14023=4023，
∴原方程组的解为：x=14023y=8423z=4023. .
9.【答案】a=15．
【解析】先解方程组，求得方程组的解，再代入等式得到关于“a”的方程，解方程即可求得“a”的值.
解：解方程组4x-9z=17(1)3x+y+15z=18(2)x+2y+3z=2(3) ，
由②×2-③得：5x+27z=34 ④，
由①、④组成方程组得：4x-9z=175x+27z=34 ，解此方程组得：x=5z=13 ，把x=5z=13 代入方程③可得：y=-2.
∴原方程组的解为：得x=5y=-2z=13 ，
把原方程组的解代入等式ax+y+3z=0中，得5a-2+1=0，解得a=15．
10.【答案】m=403,n=273.
【解析】先解方程组：3x+y+2z=2,2x+y+3z=−11,x−y−4z=−10,再把所得的解代入方程组x+m=y+n,z+2n=y+m.可得关于m,n的新方程组，解新方程组即可.
解：解方程组3x+y+2z=2,2x+y+3z=-11,x-y-4z=-10,得x=-17,y=113,z=-30.
代入关于m、n的方程组x+m=y+n,z+2n=y+m中，有-17+m=113+n,-30+2n=113+m,解得m=403,n=273.
11.【答案】这三个数依次是20，30，5．
【解析】分别设第一个数、第二个数、第三个数为：x、y、z，由题中所给数量关系可列三元一次方程组，解方程组可求得这三个数.
解：设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，由题意得：
3x-5y=-90,4x-6y=-20z,z-4=1,解得x=20,y=30,z=5.
答：这三个数依次是20，30，5．
12.【答案】每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
【解析】设每队胜一场得x分、平一场得y分、负一场得z分，由表中所给数量关系可列三元一次方程组，解方程组可求得每队胜一场，平一场，负一场各得多少分.
解：设每队胜一场得x分，平一场得y分，负一场得z分，
根据题意，得8x+2y+2z=26,6x+5y+z=23,5x+7y=22,解得x=3,y=1,z=0.
答：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
13.【答案】这对夫妇共有3个子女．
【解析】设这对夫妇的年龄的和为x，子女现在的年龄和为y，这对夫妇共有z个子女；根据本题中的三个等量关系为：此夫妇现在的年龄和=6×其子女现在的年龄和；此夫妇两年前的年龄和=10×其子女两年前的年龄和；此夫妇6年后的年龄和=3×其子女6年后的年龄和．可列出方程组，解方程组即可.
解：设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子女，则x=6y,x-2×2=10y-2z,x+2×6=3y+6z,解得x=84,y=14,z=3.
答：这对夫妇共有3个子女．
点睛：在年龄问题中，在同一时间段内，每个人年龄的变化值是相等的.如在本题中，夫妇2人在6年后每人年龄增加6岁，子女3人在6年后每人年龄也都增加6岁.
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