北师大版七年级数学上册第2章有理数及其运算

第二章 有理数及其运算 1 有理数 我们学过的数： 正整数 ，如： 1 、 2 、 3…… 零 ， 0 负整数 ，如： -1 、 -2 、 -3 …… 正分数 ，如： 、 、 0.1 、 5.32…… 负分数 ，如： 、-0.5、-150.32…… 整 数 分 数 议一议 生 活中你见过带有“－”号的数吗 ? 你会读温度计吗？ 世界最高峰珠穆朗玛峰比海平面高 8844.43m ，新疆吐鲁番盆地比海平面低 155 m 。 +8844.43m -155m （ ） （ ） 像 10 、 1.2 、 17 、 … ，这样的数叫做正数，它们都比 0 大。 在 正数前面加上“－”号的数叫做负数，例如－ 10 ，－ 3 … 你认为 0 应该放在什么地方？ 0 既不是正数，也不是负数。 正整数、零、负整数统称为 整数 。 正分数、负分数统称为 分数 。 整数 和 分数 统称为 有理数 。 有理数可以怎样分类呢？ 有 理 数 整数 分数 正整数 零 负整数 正分数 负分数 有理数 正有理数 零 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 如果按性质（正数、负数）来分类，又该怎样来分呢？ 把下列各数填入它所属于的集合的圈内 : 15, , -5, , , 0.1 , -5.32 ,-80,123,+ 2.33 正数集合 正分数集合 整数集合 负分数集合 … … … … 在下表适当的空格里画上“√”号 有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数 -9 -2.35 0 +5 第二章 有理数及其运算 2 数轴 2 数轴 1. 通过与温度计的类比认识数轴 , 会用数轴上的点表示有理数 ; 2.借助数轴了解相反数的概念,知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系; 3.利用数轴比较有理数的大小. 学习目标： ℃ ℃ ℃ 5 0 -10 请读出下面温度计所表示的温度 在 一条东西向的马路上 , 有一个汽车站 , 汽车站东 3m 和 7.5m 处分别有一棵柳树和一棵杨树 , 汽车站西 3m 和 4.8m 处分别有一棵槐树和一根电线杆 , 试画图表示这一情境 . 3 7.5 -3 -4.8 东 西 汽车站 柳树 杨树 槐树 电线杆 0 怎 样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系 ( 方向、距离 ) ? 由上述两问题得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗 ? 用射线上的点表示有理数 必须在直线上先确定零点 还需要正方向以及像温度计刻度一样的单位长度 有理数是无限的,应该采用直线 0 1 2 3 - 1 - 2 - 3 (1) 取原点 (origin) (2) 规定正方向 , 通常取向右为正方向 (3) 选取适当的长度为单位长度 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 0 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 -1.5 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 1. 在数轴上表示下列各数 +3 ， -4 ，， -1.5 ， 0 3 -4 0 0 0 0 1 2 3 -1 -2 A D C B 解： 点 A 表示 -2 ； 点 B 表示 2 ； 点 D 表示 -1 。 点 C 表示 0 ； 2. 指出数轴上 A ， B ， C ， D 各点分别表示什么数。 0 1 2 3 解： 3. 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数 ： -5 ， 0 ， 5 ， -4 ， - ， 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 - 4. 2 与 -2 有什么相同点与不相同点？它们在数轴上的位置有什么关系？与， 5 与 -5 呢？ 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的 相反数 ，也称这两个数 互为相反数 。特别地， 0 的相反数是 0 。 在数轴上，表示互为 相反数 的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 观察数轴，回答问题 1. 数轴上的两个点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系？ 2. 正数、负数在数轴的什么位置？判断它们的大小？ 0 1 2 3 - 1 - 2 - 3 数轴上两个点所表示数，右边的总比左边的大。 正数大于 0 ，负数小于 0 ，正数大于负数。 越 来 越 大 发现规律： 巩固提高 1、写出三对非零的相反数，在数轴上将它们表示出来，并比较其中三个负数的大小. 2、在数轴上距原点2个单位长度的点表示什么数？ 基础知识 : 掌握了数轴的画法，会用数轴上的点表示有理数。 了 解互为相反数的两数的特点，及在数轴上的位置关系。 利 用数轴比较有理数的大小 思想方法 ：数形结合思想 这节课有什么收获？ 1 、 (1) 点 A 在数轴上距原点 3 个单位长度，且位于原点左侧，若将 A 向右移动 4 个单位长度，在向左移动 1 个单位长度，此时 A 点所表示的是什么数 ? (2)B 点所表示的数是 A 点开始时所表示数的相反数做同样的移动以后， B 点表示什么数 ? 练习 第二章 有理数及其运算 3 绝对值 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 大象距原点多远? 两只小狗分别距原点多远 ? 例如：大象在数轴上 +4 点，距离原点 4 个单位长度， 即 +4 的绝对值等于 4 。 0 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 B A │ －５ │ ＝５ │ ４ │ ＝４ 数 轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 . 用“ | |” 表示 , 记作 |a| （这里的数 a 可以是正数、负数和 0 ） 绝对值： 两只小狗呢 ? 记作 │ + 3│ ＝ 3 │ － 3│ ＝ 3 如果一个数为 -5 ，则它的绝对值呢 ? 求下列各组相反数的绝对值。 (1)9,-9;(2)0.6,-0.6;(3) 解 : （ 1 ） |9|=9 | -9 |= 9 （ 2 ） |0.6|=0.6 |-0.6|=0.6 | |= | - |= （ 3 ） 例 1. 互为相反数的两个数的绝对值有什么关系 ? 0 -4 -3 -2 -1 3 2 1 原点 -3 到原点的距离是 3 +3 到原点的距离是 3 互为相反数的两个数的绝对值相等 . | － 4|=4 | － 2|=2 |0|=0 |2|=2 |4|=4 观察数轴上的点所对应的数，它们的绝对值分别是多少？一个数的绝对值与它们本身又有什么关系呢？ 0 2 4 － 2 － 4 6 － 6 A B C D E 1. 正数的绝对值是它本身 ; 2. 负数的绝对值是它的相反数 ; 3.0 的绝对值是 0. 性质 因 为正数可用 a ＞ 0 表示，负数可用 a ＜ 0 表示，所以上述三条可表述成： 　 　　　 　　　　　　 (3) 如果 a ＝ 0 ，那么 |a| ＝ ______ (2) 如果 a ＜ 0 ，那么 |a| ＝ ______ (1) 如果 a ＞ 0 ，那么 |a| ＝ ______ a - a 0 (1) 绝对值是 3 的整数有几个？各是什么？ (2) 绝对值是 0 的数有几个？它是什么？ ( 3) 是否存在绝对值是－ 2 的数？若存在，请说出来？ 绝对值小于 3 的整数一共有 5 个，它们分别是－ 2 ，－ 1 ， 0 ， 1 ， 2 。 绝对值是0的数有一个，就是0。 没有绝对值是－2的数。因为 0 a ≥ ∣ ∣ 做一做 (1) 在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小 .  -1.5 ， -3 ， -1 ， -5 ; (2) 求出（ 1 ）中各数的绝对值，并比较绝对值的大小 . (3) 完成 (1)(2) 你发现了什么？ 第二章 有理数及其运算 4 有理数的加法 知识目标 : 了解有理数加法的意义 , 会根据有理数加法法则进行有理数的加法运算 . 教学重点： 了解有理数加法的意义，会根据有理数 加法 法则进行有理数的加法运算。 教学难点： 有理数加法中的异号两数如何进行加法运算。 一 只可爱的小企鹅，在一条东西走向的笔直公路上蹒跚而行。现规定向东为 正 ，向西为 负 。 如 果小企鹅先向 东 行走 3 米，再继续向 东 行走 4 米，则小企鹅两次 一共 向哪个 方向 行走了 多少 米？ 0 3 4 5 6 7 8 -1 1 2 东 答 : 小企鹅两次一共向 东 行走了 7 米 . 规定向东为正 , 写成算式为： （ + 3 ） + （ + 4 ） = + 7 如 果小企鹅先向 西 行走 3 米，再继续向 西 行走 5 米，则小企鹅两次一共向哪个 方向 行走了 多少 米？ -7 -4 -3 -2 -1 0 1 -8 -6 -5 东 答： 小企鹅两次行走一共向 西 行走了 8 米 . 规定向东为正 , 写成算式为： ( - 3 )+( - 5 ) = - 8 你能从上面的两个算式中发现什么？ 同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加. （ + 3 ） + （ + 4 ） = + 7 ( - 3 ) + ( - 5 ) = - 8 加数 加数 和 如 果小企鹅先向 东 行走 2 米，接着向 西 行走 6 米，则小企鹅两次行走一共向 ( ) 走了 ( ) 米 . 西 4 -4 -1 0 1 2 3 4 -5 -3 -2 东 ( +2 )+( - 6 ) = 规定向东为正 , 写成算式为 : - 4 如 果小企鹅先向 西 行走 3 米，接着向 东 行走 5 米，则小企鹅两次行走一共向 ( ) 走了 ( ) 米 . 东 2 -4 -1 0 1 2 3 4 -5 -3 -2 东 规定向东为正 , 写成算式为： ( -3 )+( + 5 ) = + 2 从以上两个算式你能从中发现什么 ? 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ( +2 )+( - 6 )= - 4 ( -3 )+( + 5 )= + 2 加数 和 加数 (2) (+ 2) + (- 2) =___; (1) (- 4 ) + (+ 4)=___; 0 0 (4) ( +4 ) + 0 =___. (3) ( - 3 ) + 0 =____; - 3 +4 由此,你又能发现有理数相加有哪些运算规律吗？ 一个数同零相加，仍得这个数。 互为相反数的两个数相加，和为零. 你能模仿小企鹅的运动方法，完成下列算式吗？ 有理数的加法法则 一、同号两数相加： 二、绝对值不相等的异号两数相加： 三、互为相反数的两个数相加： 四、一个数同零相加： 取相同的符号，并把绝对值相加. 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 得零. 仍得这个数. 通 过有理数加法法则的学习，同学们，你们认为如何进行有理数加法运算呢？ 赶快动脑筋，说说自己的想法？ 有理数加法运算步骤： 1 、先判断类型（同号、异号等）； 2 、再确定和的符号； 3 、最后进行绝对值的加减运算。 发挥你的聪明才智 , 若回答问题正确 , 则可打开一扇门 . 1. 计算 : （ 1 ） (+5)+(+3) (-5)+(-3) (- 11)+(-6) = 8 = -8 = -17 （ 2 ） (+5)+(-3) (-5)+(+3) (- 11)+(+6) = 2 = - 2 = - 5 变换题型了 2 ： 在括号里填上适当的符号，使下列式子成立： （ 1 ）（ __5 ） +( ___5 ）＝ 0 （ 2 ）（ __7 ） + （ - 5 ）＝ -12 _ _ + （ 3 ）（ -10 ） + （ __11 ）＝ 1 　　 （ 4 ）（ __2.5 ） + （ __2.5 ） =-5 _ + _ 打开这一扇门 , 你会有所发现你发财了，你获得了最宝贵的财富 — 知识 。 有理数的加法 口答下列各式 1. ( ＋ 11) ＋ ( ＋ 9)= 2. ( － 8) ＋ ( － 2) ＝ 3. ( － 12) ＋ ( ＋ 4) ＝ 4. ( ＋ 7) ＋ ( － 6) ＝ 5. ( ＋ 100) ＋ ( － 100) ＝ 6. ( － 18) ＋ 0 ＝ 利用有理数加法解决下列实际问 题 1 、一人一个月工资可得 800 元，奖金可得 500 元，这个人一个月收入多少元 ？ 2 、一个人向东走了 200 米，又向西走了 300 米，结果他是向东走还是向西走，向东或向西走了多少米？ 数 扩展到有理数之后 , 下面的结论还成立吗 ? 请说明理由 ( 如果认为结论不成立 , 请举例说明 ) : (1) 若两个数的和是 0, 则这两个数都是 0. (2) 任意的两个数相加 , 和不小于任何一个加数 . 有些语句还正确吗 ? 小结 1 、有理数的加法法则； 2 、一个有理数由符号和绝对值两个部分组成的，在进行同号或异号两个有理数相加，首先判断加法类型，再确定和的符号，最后确定绝对值是和还是差。 第二章 有理数及其运算 5 有理数的减法 新知引入 问题 1 ： 某天当地中午 12 时的气温为 20 ℃ ，傍晚 18 时下降了 8 ℃ ，那么傍晚的气温是多少？如何计算？ 20 - 8 = 12 ℃ 大 小 - 问题 2 ： 某天当地下午 17 时的气温为 3 ℃ ，晚上 22 时下降了 6 ℃ ，那么晚上 22 时的气温是多少？ 3 – 6 = ? 小 – 大 = ? 问题 3 ： 据襄樊市气象台预报： 2012 年 2 月 7 日，我市最高气温 ,4 ℃ ， 最低气温 –3 ℃ ， 请问这天的温差是多少？你是怎样算的？ 4 – (– 3) = ? 正数 – 负数 = ? 问题 2 ： 某天当地下午 17 时的气温为 3 ℃ ，晚上 22 时下降了 6 ℃ ，那么晚上 22 时的气温是多少？ 0 ℃ 3 ℃ -3 ℃ 下降 6 ℃ 3 - 6 = - 3 3 +(-6) = - 3 ① ② 3- 6 = 3 + ( -6 ) 由①②得： ③ 4 –(– 3) = 7(℃) 0 ℃ 4 ℃ -3 ℃ 温差为 7 4 + 3 = 7(℃) ④ 由③④得： 4 –(– 3) = 4 + 3 ⑤ ⑥ 问题 3 ： 据襄樊市气象台预报： 2012 年 2 月 7 日，我市最高气温 ,4 ℃ ， 最低气温 –3 ℃ ，请问这天的温差是多少？你是怎样算的？ 3 - 6 = 3 + ( - 6 ) ③ 由③⑥可知： 有 理数的减法可以转化为加法来计算 。 4 –(– 3) = 4 + 3 ⑥ 总结归纳 有理数的减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 a – b = a + ( - b ) 注意： 有理数减法在运算时有 2 个要素要发生变化。 1 . 减法 加法 2 . 减数 相反 数 例 1 ：计算下列各题： （ 1 ） (-3) - （ -5 ） (2) 7.2-(-4.8) （ 3 ） 0–7 （ 2 ）原式 = （ 7.2)-(-4.8 ） =-3.4 解 : （ 1 ）原式 = (-3) + 5=-2 减去 -4.8 等于加上 -4.8 的相反数。 （ 3 ）原式 =0+ （ -7 ） =-7 减去（ -5 ）等于加上 -5 的相反数。 一个数同 0 相加，仍得这个数。 练习：计算： （ 1 ） 18 － ( － 3) 　 （ 2 ） ( － 3) － 18 （ 3 ） ( － 18) － ( － 3) （ 4 ） ( － 1.3) － ( － 2.1) 　　 =18+(+3) =18+3 =21 =(-3)+(-18) = -(18+3) = -21 =(-18)+(3) = -15 =(-1.3)+(2.1) =0.8 第二章 有理数及其运算 6 有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤 （１）把算式中的减法都转化为加法； （２）进行运算（尽可能利用运算律简化计算）． 最高水位记作 :+2 米 平均水位记作 :-3.1 米 最低水位记作 :-6.2 米 下 关 段水 位 最高水位 10.5 米 警戒水位 8.5 米 平均水位 5.4 米 最低水位 2.3 米 如果取下关段的警戒水位作为 0 点 , 那么图中的其他数据可以分别记作什么 ? 并说明你的思路 . 住在江边的小明同学记录了今年梅雨季节下关段一周的水位变化情况 :(上周日的水位达到了警戒水位) 善于研究生活中的数学问题 － 0.01 日 － 0.36 ＋ 0.28 ＋ 0.03 － 0.35 ＋ 0.81 ＋ 0.20 水位变化（米） 六 五 四 三 二 一 星 期 注 : 正号表示水位比前一天上升 , 负号表示水位比前一天下降 . 9.10 9.11 9.47 9.19 9.16 9.51 8.7 实际水位 ( 米 ) -0.01 -0.36 +0.28 +0.03 -0.35 +0.81 +0.2 水位变化 ( 米 ) 日 六 五 四 三 二 一 星期 通过计算每天的实际水位进行比较 (1)本周哪一天河流的水位最高?哪一天最低?它们位于警戒水位之上还是之下?与警戒水位的距离分别为多少米? (2)与上周日相比,本周日河流的水位是上升了还是下降了?为什么? +0.2 + (+0.81) + (-0.35) + (+0.03) + (+0.28) + (- 0.36) + (- 0.01) = 0.60( 米 ) 对水位变化的数据求和 三 : 根据变化数据画折线图 某一中学初一(2)班学生的平均身高是160厘米。 (1)下表给出了该班6名同学的身高情况(单位:厘 米),试完成下表. 姓名 小明 小彬 小丽 小亮 小颖 小山 身高 159 154 165 身高与平均身高的差值 -1 +2 0 +3 (2) 谁最高 ? 谁最矮 ? (3) 最高与最矮的学生身高相差多少 ? 162 160 -6 +5 163 11 厘米 小山最高 , 小亮最矮 南京出租车司机小李某一时段全是在中山东路上来回行驶 , 你能否知道在他将最后一位乘客送到目的地时 , 他距离出车的出发点有多远 ? 解 : 该出租车离出发点的距离为 : 15+(-2)+5+(-1)+(-10)+( -3)+( -2)+12+4 + ( -5)=13( 千米 ) 答：他距离出车的出发点 13 千 米 . 如果规定向东为正,向西为负,我行车里程(单位:千米)为: 15, -2, 5, -1, -10, -3, -2, 12, 4, -5, 很多实际问题可以转化为有理数的加减混合运算来解决 , 根据需要可以“人为”地规定零点 . 我们可以借助表格和折线统计图形象直观的反映事物的变化情况 。 ［例 1 ］某股民上周五天进某公司股票 2000 股，每股 14.8 元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况 ( 单位：元 ) 星 期 一 二 三 四 五 每股涨跌 ＋ 1 ＋ 1.2 － 1 ＋ 2 － 1 已知该股民买进股票时付了成交额 1.5‰ 的手续费，卖出时付成交额 1.5‰ 的手续费和 1‰ 的交易税．如果他在星期五收盘前将全部股票卖出，计算一下他的收益情况． 拓展延伸探究 一 口井 , 水面比井口低 3 米 , 一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬 , 第一次往上爬了 0.5 米后又往后滑了 0.1 米 ; 第二次往上爬了 0.42 米 , 却又下滑了 0.15 米 ; 第三次往上爬了 0.7 米 , 却下滑了 0.15 米 ; 第四次往上爬了 0.75 米 , 却下滑了 0.1 米 ; 第五次往上爬了 0.55 米 , 没有下滑 ; 第六次往上爬了 0.48 米 . 问蜗牛有没有爬出井口 ? 把往上爬的距离用正数表示 , 下滑的距离用负数表示 . 根据题意 , 得 0.5 +(-0.1)+0.42+(-0.15)+0.7+(- 0.15)+ 0.75 + (- 0.1)+ 0.55+0.48= 2.9 < 3 。 第二章 有理数及其运算 2.7 有理数的乘法 学习目标： 1 . 经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察 、归 纳、猜想、验证能力； 2 . 学会进行有理数的乘法运算，掌握确定多个不等于零的有理数相乘的积的符号方法以及有一个数为零积是零的情况。 1 ．甲水库的水位每天升高 3 厘米，乙水库的水位每天下降 3 厘米， 4 天后甲、乙水库水位的总变化量各是多少？ 如果用 正号 表示水位 上升 ，用 负号 表示水位 下降 ，那么 4 天后甲水库的水位变化量为： 3 ＋ 3 ＋ 3 ＋ 3 同理： 乙水库的水位变化量为： （ -3 ）＋（ -3 ）＋（ -3 ）＋（ -3 ） 甲水库 乙水库 ＝ 3×4 ＝ 12 （厘米） ＝ （ -3 ） ×4 ＝？ （ 1 ）（ +2 ） × （ +3 ） （ +2 ）：看作向 右 运动 2 米； × （ +3 ）：看作沿 原方向 运动 3 次 结果：向右运动 6 米。（ +2 ） × （ +3 ） = +6 2 0 2 6 4 6 我们把向右运动记为正，向左运动记为负。 右 -6 -4 0 -2 2 -6 (2) （ -2 ） × （ +3 ） （ -2 ）：看作向 左 运动 2 米； × （ +3 ）：看作沿 原方向 运动 3 次 ; 结果：向左运动 6 米。（ -2 ） × （ +3 ）＝ -6 右 -6 (3) （ +2 ） × （ -3 ） （ +2 ）：看作向 右 运动 2 米； × （ -3 ）：看作沿 反方向 运动 3 次。 结果：向左运动 6 米。（ +2 ） × （ -3 ） = - 6 -6 -4 0 -2 2 右 2 (4) （ -2 ） × （ -3 ） （ -2 ）：看作向 左 运动 2 米； × （ -3 ）：看作沿 反方向 运动 3 次。 结果：向右运动 6 米。（ -2 ） × （ -3 ） =+6 2 6 0 2 6 4 -2 右 （ 5 ） 0 × 5 = 0 在原地运动 5 次 （ -5 ） × 0 = 0 向左方运动 0 次 结果： 被乘数是 0 或者乘数是 0 ，结果仍为 0 。 0 × 0 = 0 （ 1 ） 2×3=6 （ 2 ）（ -2 ） × （ -3 ） =6 （ 3 ）（ -2 ） ×3= -6 （ 4 ） 2× （ -3 ） = -6 （ 5 ）被 乘数或乘数为 0 时，结果是 0 综合如下： 同号相乘 积为正数 异号相乘 积为负数 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同 0 相乘，都得 0 。 练习 1 ：先确定下列积的号，然后试计算结果： （１） 5× （ -3 ）　 （２）（ -4 ） ×6 （３）（ -7 ） × （ -9 ） （４） 0.5×0.7 积的符号为负 积的符号为负 积的符号为正 积的符号为正 进行两个有理数的运算时， 先 确定积的符号， 再 把绝对值相乘。 =-15 =-24 =63 =0.35 例 1 ： （ -7 ） × （ - 4 ） （同号两数乘） 解：（ -7 ） × （ - 4 ） = （同号得正） = + 28 （把绝对值相乘） 例 2 ：（ -4 ） ×5 × （ -0.25 ） （从左向右依次运算） 解：原式 = 〔（ -4 ） ×5 〕 × （ -0.25 ） 异号得负 绝对值相乘 同号得正 绝对值相乘 =+ （ 20×0.25 ） （ 7×4 ） + = 〔 - （ 4×5 ）〕 × （ -0.25 ） = （ -20 ） × （ -0.25 ） = 5 结论：乘积是 1 的两个数互为倒数。 -3 -3 练习：确定下列积的号并计算： （ 1 ）（ -3 ） ×8×2.5 　　 （ 2 ）（ -3 ） × （ -8 ） ×2.5 （ 3 ）（ -3 ） × （ -8 ） × （ 2.5 ） （４）（ -3 ） × ０ × （ -8 ） × （ 2.5 ） 几个有理数相乘，因数都不为 0 时，积的符号怎样确定？有一个因数为 0 时，积是多少？ 几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定： 负因数的个数为 偶数 个，则积为 正数 负因数的个数为 奇数 个，则积为 负数 当有一个因数为零时，积为零。 第二章 有理数及其运算 8 有理数的除法 正 负 绝对值相乘 1.小学时计算两个正数相除是怎样进行的？ 2.两个有理数相乘，同号得 ，异 号得 ,并把 .任何数与0相乘都得0. 如： 12 ÷4= 3 用乘法法则. 除以一个不为0的数等于乘以 这个数的倒数. 8×9= (-4)×3= 2×(-3)= 　　　 72 -12 - 6 72÷9= (-12)÷(-4)= (-6)÷2= 　　　 8 3 -3 观察：两数相除，商的符号如何定，商的绝对值如何定？ 通过以上的观察，你能说说怎样进行有理数的除法运算吗？ 有理数的除法法则 法则1: 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 例1、计算 : ( 1) (-36)÷9 (2) 法则2： 除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数. 符号语言： （ b ≠0 ） 例2、计算: 思考： 通 过刚刚的学习，你认为有理数除法的两条法则该如何使用？什么时候用法则1，什么时候用法则2？ 练习：计算: 思考：有理数的除法与小学学过的除法有什么 区别和联系？ 转化的思想： 先定号 ，然 后转化为小学的除法. 1. 通过这节课的学习，你的收获是： 法则1: 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 法则2：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数. 转化的思想：先定号，然后转化为小学的除法. 2.你的疑惑是...... 计算: 第二章 有理数及其运算 9 有理数的乘方 2 ×2 × … ×2×2 10 个 2 记作 2 10 a × a × … × a × a n 个 a 求 n 个 相同因数 a 的 积的运算 叫做乘方。 记作 a n 个相同的因数 相乘，即 我们把它记作 。 n 个 a 相乘 这种求 个相同因数的积的运算，叫做 乘方 。乘方的结果叫做 幂 。 读作 的 次方，也可以读作 的 次幂。 在 中， 叫做 底数 ， 叫做 指数 。 幂 指数 因数的个数 底数 因数 1 ） 5 1 的底数是 ，指数是 ，可读作 ； 2 ） 看成幂的话，底数是 ，指数是 ，可读作 ； 幂 指数 底数 5 1 5 的一次方 1 a 的一次方 1 a a 把下列 乘方 写成 乘法 的形式： 思考：用乘方式子怎么表示 的相反数？ 判断下列各题是否正确： （ ） ① ； （ ） ② ； （ ） ③ ； （ ） ④ . 对 错 错 错 例 : 计算： 解： 如果幂的底数正数，那么这个幂有可能是负数吗？ 不可能！正数的任何次幂是都是正数。 从例 1 ，你发现负数的幂的正负有什么规律？ 当指数是 数时，负数的幂是 数； 当指数是 数时，负数的幂是 数。 幂的性质： 负 数的奇次幂是负数， 负数的偶次幂是正数； 正数的任何次幂都是正数； 0 的任何正整数次幂是 0 。 计算 : 1 、 = ； 2 、 = ； 3 、 = ； 4 、 = ； 5 、 = ； 6 、 = ； 7 、 = ； 8 、 = . 1 － 1 25 -0.001 1 -27 -1 解决下列问题，你能从中发现什么？ （ 1 ） 3 2 与 2 3 有什么区别？各等于什么？ （ 2 ） -3 4 和 (-3) 4 有什么区别？各等于什么？ （ 3 ） 2 × 3 2 和 (2 × 3) 2 有什么区别？ （ 4 ） 有 什么区别？各等于什么？ 细胞分裂示意图 1 个细胞 30 分钟后分裂成 2 个，经过 5 小时，这种细胞由 1 个能分裂成多少个？ 珠 穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海 拔约是 8 844 米 。 把 一张足够大的厚度为 0.1 毫米的纸，连续对折 30 次的厚度能超过珠穆朗玛峰 ? 若对折30次，算式中有几个2相乘？ 对折 2 次可裁成 4 张，即 2×2=2 2 张； 对折 3 次可裁成 8 张，即 2×2×2=2 3 张； 问题： 若对折10次可裁成几张？请用一个算式表示（不用算出结果） 解： 对折30次后的厚度为: 折叠 30 次后的厚度超过珠穆朗玛峰。 让大家与你分享快乐！ 同 学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？ 第二章 有理数及其运算 10 科 学 记 数 法 学习目标： 1 . 会用科学记数法来表示一些较大的数 . 2. 会根据科学记数法表示的数写出它的原数 . 天上的星星知多少？ 2003 年 7 月 22 日在悉尼举行的国际天文学联合会大会上，天文学家指出整个可见宇宙空间大约有 700 万亿亿颗恒星，这个数字比地球上所有沙漠和海滩上的沙砾总和数量还要多。 如 果想在字面上表示出这一数字，需要在“ 7 ”后面加上 22 个“ 0 ”。即约为“ 70 000 000 000 000 000 000 000 ” 颗。 在现实中，我们还常会遇到一些比较大的数。 例如： 太阳的半径约为 696 000 千米， 光的速度约为 300 000 000 米 / 秒， 目前世界人口约为 6 100 000 000 人。 这 些大数的读、写都有一定困难。那么可以用怎样的方法来表示这些大数，使它易读、易记、易判断大小还便于计算呢？ 太阳的半径约为 696 000 千米， 光的速度约为 300 000 000 米 / 秒， 目前世界人口约为 6 100 000 000 人。 整 个可见宇宙空间恒星大 约有 70 000 000 000 000 000 000 000 颗。 1 、北京故宫的占地面积约为 7.2×10 5 米 2 . 2 、据科学家估计，地球储水总量为 1.42×10 18 米 3 . 你能看懂上面的数据吗？你能写出它们的原数吗？ 你觉得材料中表示的大数在结构上有什么特点？你觉得材料中表示大数的方法有什么优点？请与同伴交流。 7.2×10 5 =7.2×100 000=720 000 1.42×10 18 = 1.42×1 000 000 000 000 000 000 = 1 420 000 000 000 000 000 10 的乘方有如下的特点： 一 般地， 10 的 n 次幂等于 10… 0 （在 1 的后面有 n 个 0 ），所以就可以用 10 的乘方表示一些大数。 例如： 91 000 = 9.1×10 000 = 9.1× 用科学记数法，书写简短，便于读数。 读作： 9.1 乘 10 的 4 次方（幂） 22 600 000 000 = 2.26×10 000 000 000 = 2.26× 把 一个大于 10 的数表示成 a × 的形式（其中 1≤ a ＜ 10 ， n 是整数。）叫 科学记数法 。 例 1 ：用科学记数法表示下列各 数 : 1 000 000 57 000 000 123 000 000 000 解： 1 000 000 = 57 000 000 = 5.7× 123 000 000 000 = 1.23× 报导： 台风给福建省造成直接经济损失约 18 100 000 000 元。 报导： 给福建省造成直接经济损失约 1.81× 元。 10 10 太阳的半径约为： 696 000 000 米 ＝ 6.96 × 米 10 8 用科学记数法表示下列各数。 ①32 000 ②384 000 000 ③ -810 000 ④9 410 000 ⑤510 600 ⑥ 10 000 000 ⑦32 100 000 ⑧ -223 000 思考：等号左边整数的位数与右边 10 的 指数有什么关系？用科学记数法表示一个 n 位整数，其中 10 的指数是 _____ 。 n -1 练一练 例 2 ：下列科学记数法表示的数的原数是什么？ 1 ） 3.4× 2 ） － 6× 解： 1 ） 3.4× = 34 000 2 ） － 6× = － 6 000 整数的位数与 10 的次数 n 有什么关系？ 这节课学习目标你达到了吗？ 1 . 会用科学记数法来表示一些较大的数 . 2. 会根据科学记数法表示的数写出它的原数 . 第二章 有理数及其运算 11 有理数的混合运算 学习目标： 1. 经历实验、操作、探索、等数学活动过程，发展合作交流的意识，提高有条理地、清晰地阐述自己观念的能力； 2. 掌握有理数混合运算法则，能熟练进行四步以内有理数的混合运算，并能合理使用运算律进行简便运算 . 回忆已学过的有理数的运算有哪些？ 学过哪些运算律？ 复习回顾 ⑴1/2 － 1/2 ＋ 4/5; ⑵ （－ 5/6 ＋ 3/8 ） × （－ 24 ） ; ⑶8 ÷ （－ 4/9 ） ÷18/5; ⑷ －（－ 2/3 ） 3 . 做一做 ⑴18 － 6÷ （－ 2 ） × （－ 1/3 ） ; ⑵3 ＋ 2 2 × （－ 1/5 ） ; ⑶ （－ 3 ） 2 ［－ 2/3 ＋（－ 5/9 ）］ . 牛刀小试 有 理数的混合运算的顺序 运 算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，必须先算括号里面的。 例 1 　计算： 例2 . 计算: 24÷3+2 2 ×(-1/4) 1.⑴18 － 6÷ （－ 2 ） × （－ 1/3 ） ; ⑵3 ＋ 2 2 × （－ 1/5 ） ; ⑶ （－ 3 ） 2 ［－ 2/3 ＋（－ 5/9 ）］ . 随堂练习 2. 计算： ⑴ 8 ＋（－ 3 ） 2 × （－ 2 ）； ⑵100÷ （－ 2 ） 2 －（－ 2 ） ÷ （－ 2/3 ） . 24 点游戏规则 “ 从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取 4 张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为 24 或－ 24. 其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数， J 、 Q 、 K 分别代表 11 、 12 、 13”. 黑桃 7 黑桃 3 梅花 7 梅花 3 黑桃 7 黑桃 3 梅花 7 红桃 3 黑桃 7 黑桃 3 红桃 7 红桃 3 牛刀小试 第二章 有理数及其运算 12 用计算器进行运算 随着时代的发展，科学技术日新月异，为了把人们从繁杂的运算中解放出来，科学家发明了计算器，计算机 . 现在，我们就来学习运用计算器进行计算 . 1 ．会用计算器进行有理数的加减、乘除、乘方运算 . 2 ．通过解决问题过程的反思，获得解决问题的经验 . 3 ．在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，能从交流中获益 . 学习目标 活动一： 阅读教材内容，了解计算器的使用方法 . 功能键 :（1）开ON　　（2）关OFF （3）清除 DEL （4）第二功能键：先按组合键 shift 计算器的使用方法 【展示点评】 1.实践发现常用键的功能：ON、SHIFT、AC、DEL、OFF、＝、+、（－）、（ ）、 x2 、 xy…… 2.显示器因计算器的种类不同而不同，有单行显示的，也有双行显示的. 【小组讨论1】 使用计算器进行简单运算的一般步骤有哪些？ 【反思小结】 (1)按开机键 ；(2)按照算式的书写顺序输入数据，看显示器上是否正确；(3)按 键 执行运算，显示器上显示计算的结果. 阅读教材内容，并用计算器计算下列各式的值： (1)( － 3.625) ＋ ( － 28.7) ； (2)21.73×( － 2.7) ； (3) － 35÷9× . 用计算器进行有理数的混合运算 【 展示点评 】 只要按照计算器的操作程序输入数据计算即得答案 . (1) 按键顺序 结 果为－ 32.325 . ( 2) 按键顺序 结 果为－ 58.671 . 结果为－ 13.5. (3) 按键顺序 【小组讨论2】 和同伴说说你的计算器操作心得. 【反思小结】 输入数据时，按键的顺序应与书写顺序完全一样.计算器的简单使用：①每一次新的运算前要按一下清零键 ；②当发现刚刚输入的一个数据有误，需要清除时，可按一下局部清除键 ，消除刚刚输入的这个数据；③停止使用计算器时，按 键 关闭计算器. 1. 使用某种电子计算器进行计算，则按键的结 果为 ( 　　 ) A.16 B.33 C.37 D.36 B 2. 用计算器计算－ 2×( － 5) 4 时，按键的顺序 为 ( 　　 ) C