江西省鹰潭市2021届高三数学(文)3月第一次模拟试题(Word版附答案)
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江西省鹰潭市2021届高三数学(文)3月第一次模拟试题(Word版附答案)

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资料简介
鹰潭市 2021 届高三第一次模拟考试 数学试题(文科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟 第Ⅰ卷 一、单选题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符 合题目要求的。 1.已知复数 z 满足(1+i)z=i,则 z 的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 M={x|x2-2021x≤0}, ,则集合 M N  A. 1,2 B. 0,1,2 C. 1,0 D. 3.以下说法: ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变; ②设有一个回归方程 ˆ 3 5y x  ,变量 x 增加 1 个单位时, y 平均增加 5 个单位 ③线性回归方程 ˆy bx a  表示的直线必过点 ( ),x y ④设具有相关关系的两个变量 ,x y 的相关系数为 r ,那么| |r 越接近于 0, ,x y 之间的线 性相关程度越高; 其中错误..的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知直线 1 : ( 1) 2 0l mx m y    ,2 :( 1) ( 4) 3 0l m x m y     ,则“ 2m   ”是“ 1 2l l ” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.图①是程阳永济桥又名“风雨桥”,因为行人过往能够躲避风雨而得名。已知程阳永济桥上 的塔从 上往下看,其边界构成的曲线可以看作正六边形结构,如图②所示,且各层的六边形的边 长均为 整数,从内往外依次成等差数列,若这四层六边形的周 长之和为 156,且图②中阴影部分的面积为 33 32 ,则 最外层六边形的周长为 A.30 B.42 C.48 D.54 6.袋子中有四张卡片,分别写有“学、习、强、国” 四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽 取后“学”“习”两个字都取到记为事件 A ,用随机 模拟的方法估计事件 A 发生的概率,利用电脑随 机产生整数 0,1,2,3 四个随机数,分别代表“学、 习、强、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生 了以 下 18 组随机数,由此可以估计事件 A 发生的概率为 A. 2 9 B. 5 18 C. 7 18 D. 1 3 7.如图 1,直线 EF 将矩形 ABCD 分为两个直角梯形 ABFE 和 CDEF, 将梯形 CDEF 沿边 EF 翻折,如图 2,在翻折过程中(平面 ABFE 和平面 CDEF 不重合),下列说法正确的是 A.在翻折过程中,恒有直线 AD||平面 BCF B.存在某一位置,使得 CD||平面 ABFE C.存在某一位置,使得 BF||CD D.存在某一位置,使得 DE⊥平面 ABFE 8.已知  ,P x y 是圆     2 2 21 2 0x y r r     上任意一点,若 3 4 3 4 16x y x y    是定 值,则实数 r 的取值范围是 A. 2r  B.1 2r  C. 1r  D. 0 1r  9.过点 1 ,02M      的直线l 与抛物线 2 2y x 交于 A、B 两点, (2,0)C ,则△ABC 面积的最小 值为 A. 3 4 B. 1 2 C. 3 2 D.2 10.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 A.3 B.4 C.5 D.6 11.已知四棱锥 P-ABCD 的顶点都在球 O 的球面上,底面 ABCD 是矩形,AB=2AD=4,平面 PAD ⊥底面 ABCD,△PAD 为等边三角形,则球面 O 的表面积为 A. 32 3  B. 64 3  C. 32 D. 64 12.已知曲线 ( ) xf x ke 在点 0x  处的切线与直线 2 1 0x y   垂直,若 1 2,x x 是函数 ( ) ( ) lng x f x x  的两个零点,则 A. 1 2 2x x  B. 1 2x x e  C. 1 22 1 1x xe   D. 1 2 1 1x xe   第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知 3 1tan  ,则 2 cos 2 (sin cos )     ________ 14.已知{an}、{bn}均为等比数列,其前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对任意的 *n N ,总有 3 1 4 n n n S T  , 则 3 3 a b  _____. 15.已知向量 1||||   ba ,且 1 2a b   ,若 c xa yb    ,其中 0x  、 0y  且 4x y  ,则 |c|  的 最小值为____. 16.已知 1F , 2F 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左,右焦点,点 P 在双曲线的右支上,如 果   1 2 1,3PF t PF t  ,则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是 __________. 三、解答题 17.(本小题满分 12 分)已知函数    23sin cos 3cos 02f x x x x        的最小正周期 为 . (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 a,b,c 分别为△ABC 的三内角 A,B,C 的对边,角 A 是锐角,f(A)=0,a=1,b+c=2,, 求△ABC 的面积. 18.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD||BC,BC⊥平面 PAB, PA=PB=AB=BC=2AD=2,点 E 为线段 PB 的中点. (1)求证:平面 DAE⊥平面 PBC; (2)求三棱锥 D-ACE 的体积. 19.(本小题满分 12 分)2019 年 12 月份至今,新冠肺炎的爆发引起全球关注.新冠肺炎的感 染病原 体为新型冠状病毒,其传染性强,可通过呼吸道飞沫进行传播,传染后容易引起发热、干 咳、乏 力、呼吸困难等表现新冠肺炎具有一定的潜伏期,为研究潜伏期与患者年龄的关系,一研 究团队 统计了某地区 200 名患者的相关信息, 得到如下列联表: (1)根据列联表判断是否有 95%的把 握认为潜伏期与患者的年龄有关? (2)佩戴口罩可以有效预防新冠肺炎, N95、R95、P95 是三种不同材质的 口罩,已知某药店现有 N95、R05、P95 口罩的个数分别为 54 个,36 个,18 个,某质检部 门按 分层抽样的方法随机抽取 6 个进行质量检查,再从这 6 个口罩中随机抽取 2 个进行检验结 果对比, 求这 2 个口罩中至少一个是 N95 口罩的概率. 附: 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    . 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的两个焦点均在以原点为圆心, 短半 轴长为半径的圆上,且该圆截直线 x+y-2=0 所得的弦长为. 22 (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)已知直线 y=k(x-1)与椭圆 C 的两个交点为 A、B,点 D 的坐标为 )0,4 11( .问:AD BD  的值 是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 21( ) e 12 xf x x ax   (其中 a  R ,e为自然对数的底 数). (1)若函数 ( )f x 无极值,求实数 a 的取值范围; (2)当 0x  时,证明: 2(e 1)ln( 1)x x x   . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)(选修 4-4:极坐标与参数方程) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 (1,0) ,倾斜角为 ,以坐标原点为极点, x 轴的 正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 2 8cos=1 cos   . (1)写出直线 l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)若 4   ,设直线 l 与曲线 C 交于 ,A B 两点,求 AOB 的面积.. 23.(本小题满分 10 分)(选修 4-5:不等式选讲)已知函数 1( ) | | | |f x x x aa     ,其中 0a  . (1)若 (2) 1f a  ,求正实数 a 的取值范围; (2)若对任意的 (0, )a  , ( )f x m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 鹰潭市 2021 届高三第一次模拟考试数学试题(文科)参考答案 一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C A C D A D C A B C 二、填空题 13.2; 14.9; 15. ; 16. 0, 3 ; 三、解答题 17.(Ⅰ)  5 12 12k k k Z        , ;(Ⅱ) 3 4 . 解析:(Ⅰ)   23sin cos 3cos2f x x x x      1 3 1 cos2sin2 3 sin 22 2 2 3 xx x            …………2 分 ∴ 2 2T    ,从而得到 1  ∴   sin 2 3f x x      .………4 分 由  2 2 22 3 2k x k k Z         可得:  5 12 12k x k k Z       , 所以  f x 的单调递增区间为  5 12 12k k k Z        , .………………6 分 (Ⅱ)∵   0f A  ,∴ sin 2 03A      ,又角 A 是锐角,∴ 423 3 3A     , ∴ 2 3A    ,即 3A  .………………………8 分 又 1 2a b c  , ,所以  22 2 2 2 cos 3a b c bc A b c bc       , ∴1 4 3bc  ,∴ 1bc  .……………………10 分 ∴ 1 3sin2 4ABCS bc A △ .…………………12 分 18.(1)证明见解析;(2) 3 6 . (1)由己知, BC ⊥平面 PAB , AE  平面 PAB ,所以 AE BC ; 由 PA PB AB  ,点 E 为线段 PB 的中点,所以 AE PB ; 又 PB BC B  , PB  平面 PBC , BC 平面 PBC ,所以 AE ⊥ 平面 PBC ; 又 AE  平面 DAE ,所以平面 DAE  平面 PBC ;……6 分 (2)因为 //AD BC , BC 平面 DAE , AD 平面 DAE ,所以 //BC 平面 DAE ; 所以点C 到平面 DAE 的距离等于点 B 到平面 DAE 的距离, 由己知 BC ⊥平面 PAB , //AD BC ,所以 AD  平面 PAB , 由 2PA PB AB   , 1AD  ,所以 3AE  ,……9 分 因此 1 1 3 313 3 2 6D ACE C DAE B DAE D AEB AEBV V V V S AD           △ , 即三棱锥 D ACE 的体积为 3 6 .……12 分 19.(1) 2 2 200 (65 45 55 35) 25 2.083 3.841100 100 120 80 12         K 故没有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关. (2)由题意,N95、R95、P95 口罩分别抽取的个数分别为 3 个、2 个、1 个, 记 3 个 N95 口罩为 1 2 3, ,a a a ,2 个 R95 口罩为 1 2,b b ,1 个 P95 口罩为 1c , 抽取的全部结果为: 1 2,a a , 1 3,a a , 1 1,a b , 1 2,a b , 1 1,a c , 2 3,a a , 2 1,a b ,  2 2,a b , 2 1,a c , 3 1,a b  3 2,a b , 3 1,a c ,  1 2,b b , 1 1,b c , 2 1,b c 共 15 种 至少一个是 N95 口罩的有 1 2,a a , 1 3,a a , 1 1,a b , 1 2,a b , 1 1,a c ,  2 3,a a , 2 1,a b ,  2 2,a b , 2 1,a c , 3 1,a b , 3 2,a b ,  3 1,a c ,共 12 种 所以至少一个是 N95 口罩的概率为 12 4 15 5p   20.(1)以原点为圆心,短半轴长为半径的圆的方程为 2 2 2x y b  . ∵圆 2 2 2x y b  过椭圆 C 的两焦点,∴ b c .……1 分 (由圆过椭圆 C 的焦点知点 ,0c ,  ,0c 在该圆上,代入圆的方程即得b c ) ∵圆 2 2 2x y b  截直线 2 0x y   所得的弦长为 2 2 , 圆心到直线的距离与弦长一半的平方和等于半径的平方, ∴ 2 2 10 0 212 2 2 2 b       ,解得 2b  .∴ 2 2 2 22 8a b c b    .……3 分 ∴椭圆C 的标准方程为 2 2 18 4 x y  .……4 分 (2)设  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,联立椭圆C 和直线方程得   2 2 18 4 1 x y y k x       消去 y ,得 2 2 2 22 1 4 2 8 0k x k x k     ,   ,……6 分 由根与系数的关系得 2 1 2 2 4 2 1 kx x k+ = + , 2 1 2 2 2 8 2 1 kx x k   . 因为 11,04D     ,所以 1 1 11 ,4AD x y       , 2 2 11 ,4BD x y       ,……8 分 ∴ 1 2 1 2 11 11 4 4AD BD x x y y                     2 1 2 1 2 1 2 11 121 1 14 16x x x x k x x          2 2 2 1 2 1 2 11 1211 4 16k x x k x x k            2 2 2 2 2 2 2 2 8 11 4 1211 2 1 4 2 1 16 k kk k kk k              2 2 16 8 121 7 2 1 16 16 k k      . ∴ AD BD  的值为定值 7 16  .……12 分 21.(1)函数  f x 无极值,  f x 在 R 上单调递增或单调递减. 即   0f x  或 ) 0f x ( 在 xR 时恒成立; 又   xf x e x a    ,令   xg x e x a   ,则   1xg x e   ;……2 分 所以  g x 在 - 0, 上单调递减,在  0  , 上单调递增;    min 0 1g x g a   , 当   0f x  时,    min min 1 0f x g x a    ,即 1a  , 当 ) 0f x ( 时,显然不成立;所以实数 a 的取值范围是 ,1 . ……6 分 (2)由(1)可知,当 1a  时,当 0x  时,    0 0f x f  ,即 2 1 2 x xe x   . 欲证    1 ln 1xe x   2x ,只需证   2ln 1 2 xx x    即可.……8 分 构造函数  h x =  ln 1x  - 2 2 x x  ( 0x  ), 则        2 2 2 1 4 01 2 1 2 xh x x x x x         恒成立,故  h x 在 0,  单调递增, 从而    0 0h x h  .即   2ln 1 02 xx x    ,……10 分 亦即   2ln 1 2 xx x    .得证    21 ln 1xe x x   .……12 分 22.(1)由题意可得直线l 的参数方程为: 1 , ( .x tcos ty tsin       为参数) 2 8cos sin   , 2sin 8cos ,    2 2sin 8 cos ,     ……2 分 将 2 2 2 , cosx y x     代入上式,可得 2 8y x , ∴曲线C 的直角坐标方程为 2 8y x . ……5 分 (2)当 4   时,直线l 的参数方程为 21 ,2 ( , 2 2 x t t y t      为参数)代入 2 8y x 可得 2 8 2 16 0,t t   1 2A B t ,t ,设 、 两点对应的参数分别为 则 1 1 8 2,t t  1 2· 16t t   ……7 分  2 1 2 1 2 1 24 · 8 3.AB t t t t t t       ……8 分 2O AB 1 sin ,4 2d   又点 到直线 的距离 9 分 1 1 28 3 2 6.2 2 2AOBS AB d       .……10 分 23.(1)由题可得 1(2) | 2 | | 2 |f aa     ,所以 12 2 1| |a aa     , 即 2 12 2 1 a a aa       或 2 12 2 1 a a aa       , 解得 2a  或 3 17 24 a   ,故正实数 a 的取值范围为 3 17( , )4   .……5 分 (2)由题可得 1 1 1( ) | | | | | |f x x x a x x a aa a a           , 因为 0a  ,所以 1 12 2a aa a     ,当且仅当 1a  时取等号, 因为对任意的 (0, )a  , ( )f x m 恒成立, 所以 2m  ,故实数 m 的取值范围为 ( ,2] .……10 分

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