鹰潭市 2021 届高三第一次模拟考试
数学试题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120 分钟
第Ⅰ卷
一、单选题：本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符
合题目要求的。
1．已知复数 z 满足(1+i)z=i，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合 M={x|x2-2021x≤0}, ,则集合 M N
A． 1,2 B． 0,1,2 C． 1,0 D．
3．以下说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程 ˆ 3 5y x ，变量 x 增加 1 个单位时， y 平均增加 5 个单位
③线性回归方程 ˆy bx a 表示的直线必过点 ( ),x y
④设具有相关关系的两个变量 ,x y 的相关系数为 r ，那么| |r 越接近于 0， ,x y 之间的线
性相关程度越高；
其中错误．．的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知直线 1 : ( 1) 2 0l mx m y ，2 :( 1) ( 4) 3 0l m x m y ，则“ 2m ”是“ 1 2l l ”
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．图①是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名。已知程阳永济桥上
的塔从
上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边
长均为
整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周
长之和为 156，且图②中阴影部分的面积为 33 32
，则
最外层六边形的周长为
A．30 B．42 C．48 D．54
6．袋子中有四张卡片，分别写有“学、习、强、国”
四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽
取后“学”“习”两个字都取到记为事件 A ，用随机
模拟的方法估计事件 A 发生的概率，利用电脑随
机产生整数 0，1，2，3 四个随机数，分别代表“学、
习、强、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生
了以
下 18 组随机数,由此可以估计事件 A 发生的概率为
A． 2
9 B． 5
18 C． 7
18 D． 1
3
7．如图 1，直线 EF 将矩形 ABCD 分为两个直角梯形 ABFE 和 CDEF，
将梯形 CDEF 沿边 EF 翻折，如图 2，在翻折过程中（平面 ABFE
和平面 CDEF 不重合），下列说法正确的是
A．在翻折过程中，恒有直线 AD||平面 BCF
B．存在某一位置，使得 CD||平面 ABFE
C．存在某一位置，使得 BF||CD
D．存在某一位置，使得 DE⊥平面 ABFE
8．已知 ,P x y 是圆 2 2 21 2 0x y r r 上任意一点，若 3 4 3 4 16x y x y
是定
值，则实数 r 的取值范围是
A． 2r B．1 2r C． 1r D． 0 1r
9．过点 1 ,02M
的直线l 与抛物线 2 2y x 交于 A、B 两点， (2,0)C ，则△ABC 面积的最小
值为
A． 3
4 B． 1
2 C． 3
2 D．2
10．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是
A．3 B．4 C．5 D．6
11．已知四棱锥 P-ABCD 的顶点都在球 O 的球面上，底面 ABCD 是矩形，AB=2AD=4，平面
PAD
⊥底面 ABCD，△PAD 为等边三角形，则球面 O 的表面积为
A． 32
3
B． 64
3
C． 32 D． 64
12．已知曲线 ( ) xf x ke 在点 0x 处的切线与直线 2 1 0x y 垂直，若 1 2,x x 是函数
( ) ( ) lng x f x x 的两个零点，则
A． 1 2 2x x B． 1 2x x e C． 1 22
1 1x xe
D． 1 2
1 1x xe
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．已知
3
1tan ,则 2
cos 2
(sin cos )
________
14．已知{an}、{bn}均为等比数列，其前 n 项和分别为 Sn,Tn，若对任意的 *n N ，总有
3 1
4
n
n
n
S
T
，
则 3
3
a
b
_____．
15．已知向量 1||||
ba ，且 1
2a b ，若 c xa yb ,其中 0x 、 0y 且 4x y ，则 |c|
的
最小值为____.
16．已知 1F ， 2F 是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左，右焦点，点 P 在双曲线的右支上，如
果
1 2 1,3PF t PF t ，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是
__________．
三、解答题
17．（本小题满分 12 分）已知函数 23sin cos 3cos 02f x x x x 的最小正周期
为 .
（1）求 f(x)的单调递增区间；
（2）若 a,b,c 分别为△ABC 的三内角 A,B,C 的对边，角 A 是锐角，f(A)=0,a=1,b+c=2,，
求△ABC
的面积.
18．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD||BC，BC⊥平面 PAB，
PA=PB=AB=BC=2AD=2，点 E 为线段 PB 的中点.
（1）求证：平面 DAE⊥平面 PBC；
（2）求三棱锥 D-ACE 的体积.
19．（本小题满分 12 分）2019 年 12 月份至今，新冠肺炎的爆发引起全球关注．新冠肺炎的感
染病原
体为新型冠状病毒，其传染性强，可通过呼吸道飞沫进行传播，传染后容易引起发热、干
咳、乏
力、呼吸困难等表现新冠肺炎具有一定的潜伏期，为研究潜伏期与患者年龄的关系，一研
究团队
统计了某地区 200 名患者的相关信息，
得到如下列联表：
（1）根据列联表判断是否有 95%的把
握认为潜伏期与患者的年龄有关？
（2）佩戴口罩可以有效预防新冠肺炎，
N95、R95、P95 是三种不同材质的
口罩，已知某药店现有 N95、R05、P95 口罩的个数分别为 54 个，36 个，18 个，某质检部
门按
分层抽样的方法随机抽取 6 个进行质量检查，再从这 6 个口罩中随机抽取 2 个进行检验结
果对比，
求这 2 个口罩中至少一个是 N95 口罩的概率．
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中
n a b c d ．
20．（本小题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的两个焦点均在以原点为圆心，
短半
轴长为半径的圆上，且该圆截直线 x+y-2=0 所得的弦长为. 22
（1）求椭圆 C 的标准方程.
（2）已知直线 y=k(x-1)与椭圆 C 的两个交点为 A、B，点 D 的坐标为 )0,4
11( .问：AD BD
的值
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
21．（本小题满分 12 分）已知函数 21( ) e 12
xf x x ax （其中 a R ，e为自然对数的底
数）．
（1）若函数 ( )f x 无极值，求实数 a 的取值范围；
（2）当 0x 时，证明： 2(e 1)ln( 1)x x x ．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分 10 分）（选修 4-4：极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 (1,0) ，倾斜角为 ，以坐标原点为极点， x 轴的
正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 2
8cos=1 cos
.
（1）写出直线 l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若
4
，设直线 l 与曲线 C 交于 ,A B 两点，求 AOB 的面积..
23．（本小题满分 10 分）（选修 4-5：不等式选讲）已知函数 1( ) | | | |f x x x aa
，其中 0a ．
（1）若 (2) 1f a ，求正实数 a 的取值范围；
（2）若对任意的 (0, )a ， ( )f x m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
鹰潭市 2021 届高三第一次模拟考试数学试题(文科)参考答案
一、选择题
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B C A C D A D C A B C
二、填空题
13．2; 14．9; 15． ; 16． 0, 3 ;
三、解答题
17．（Ⅰ） 5 12 12k k k Z
， ；（Ⅱ） 3
4
.
解析：（Ⅰ） 23sin cos 3cos2f x x x x
1 3 1 cos2sin2 3 sin 22 2 2 3
xx x
…………2 分
∴ 2
2T ，从而得到 1 ∴ sin 2 3f x x
.………4 分
由 2 2 22 3 2k x k k Z 可得： 5
12 12k x k k Z ，
所以 f x 的单调递增区间为 5 12 12k k k Z
， .………………6 分
（Ⅱ）∵ 0f A ，∴ sin 2 03A
，又角 A 是锐角，∴ 423 3 3A ，
∴ 2 3A ，即
3A .………………………8 分
又 1 2a b c ， ，所以 22 2 2 2 cos 3a b c bc A b c bc ，
∴1 4 3bc ，∴ 1bc .……………………10 分
∴ 1 3sin2 4ABCS bc A △ .…………………12 分
18．（1）证明见解析；（2） 3
6
.
（1）由己知， BC ⊥平面 PAB ， AE 平面 PAB ，所以 AE BC ；
由 PA PB AB ，点 E 为线段 PB 的中点，所以 AE PB ；
又 PB BC B ， PB 平面 PBC ， BC 平面 PBC ，所以 AE ⊥ 平面 PBC ；
又 AE 平面 DAE ，所以平面 DAE 平面 PBC ；……6 分
（2）因为 //AD BC ， BC 平面 DAE ， AD 平面 DAE ，所以 //BC 平面 DAE ；
所以点C 到平面 DAE 的距离等于点 B 到平面 DAE 的距离，
由己知 BC ⊥平面 PAB ， //AD BC ，所以 AD 平面 PAB ，
由 2PA PB AB ， 1AD ，所以 3AE ，……9 分
因此 1 1 3 313 3 2 6D ACE C DAE B DAE D AEB AEBV V V V S AD △ ，
即三棱锥 D ACE 的体积为 3
6
.……12 分
19．（1）
2
2 200 (65 45 55 35) 25 2.083 3.841100 100 120 80 12
K
故没有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．
（2）由题意，N95、R95、P95 口罩分别抽取的个数分别为 3 个、2 个、1 个，
记 3 个 N95 口罩为 1 2 3, ,a a a ，2 个 R95 口罩为 1 2,b b ，1 个 P95 口罩为 1c ，
抽取的全部结果为： 1 2,a a ， 1 3,a a ， 1 1,a b ， 1 2,a b ， 1 1,a c ， 2 3,a a ， 2 1,a b ，
2 2,a b ， 2 1,a c ， 3 1,a b 3 2,a b ， 3 1,a c ， 1 2,b b ， 1 1,b c ， 2 1,b c 共 15 种
至少一个是 N95 口罩的有 1 2,a a ， 1 3,a a ， 1 1,a b ， 1 2,a b ， 1 1,a c ，
2 3,a a ， 2 1,a b ， 2 2,a b ， 2 1,a c ， 3 1,a b ， 3 2,a b ， 3 1,a c ，共 12 种
所以至少一个是 N95 口罩的概率为 12 4
15 5p
20．（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为 2 2 2x y b .
∵圆 2 2 2x y b 过椭圆 C 的两焦点，∴ b c .……1 分
（由圆过椭圆 C 的焦点知点 ,0c ， ,0c 在该圆上，代入圆的方程即得b c ）
∵圆 2 2 2x y b 截直线 2 0x y 所得的弦长为 2 2 ，
圆心到直线的距离与弦长一半的平方和等于半径的平方，
∴
2
2 10 0 212 2 2
2
b
，解得 2b .∴ 2 2 2 22 8a b c b .……3 分
∴椭圆C 的标准方程为
2 2
18 4
x y .……4 分
（2）设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，联立椭圆C 和直线方程得
2 2
18 4
1
x y
y k x
消去 y ，得 2 2 2 22 1 4 2 8 0k x k x k ， ，……6 分
由根与系数的关系得
2
1 2 2
4
2 1
kx x k+ = +
，
2
1 2 2
2 8
2 1
kx x k
.
因为 11,04D
，所以 1 1
11 ,4AD x y
， 2 2
11 ,4BD x y
，……8 分
∴ 1 2 1 2
11 11
4 4AD BD x x y y
2
1 2 1 2 1 2
11 121 1 14 16x x x x k x x
2 2 2
1 2 1 2
11 1211 4 16k x x k x x k
2 2
2 2 2
2 2
2 8 11 4 1211 2 1 4 2 1 16
k kk k kk k
2
2
16 8 121 7
2 1 16 16
k
k
.
∴ AD BD 的值为定值 7
16
.……12 分
21．（1）函数 f x 无极值， f x 在 R 上单调递增或单调递减.
即 0f x 或 ) 0f x （ 在 xR 时恒成立；
又 xf x e x a ，令 xg x e x a ，则 1xg x e ；……2 分
所以 g x 在 - 0， 上单调递减，在 0 ， 上单调递增； min 0 1g x g a ，
当 0f x 时， min min 1 0f x g x a ，即 1a ，
当 ) 0f x （ 时，显然不成立；所以实数 a 的取值范围是 ,1 . ……6 分
（2）由（1）可知，当 1a 时，当 0x 时， 0 0f x f ，即
2
1 2
x xe x .
欲证 1 ln 1xe x 2x ，只需证 2ln 1 2
xx x
即可.……8 分
构造函数 h x = ln 1x - 2
2
x
x
（ 0x ），
则
2
2 2
1 4 01 2 1 2
xh x x x x x
恒成立，故 h x 在 0, 单调递增，
从而 0 0h x h .即 2ln 1 02
xx x
，……10 分
亦即 2ln 1 2
xx x
.得证 21 ln 1xe x x .……12 分
22．(1)由题意可得直线l 的参数方程为： 1 , ( .x tcos ty tsin
为参数）
2
8cos
sin
， 2sin 8cos , 2 2sin 8 cos , ……2 分
将 2 2 2 , cosx y x 代入上式，可得 2 8y x ，
∴曲线C 的直角坐标方程为 2 8y x ． ……5 分
（2）当
4
时，直线l 的参数方程为
21 ,2 ( ,
2
2
x t
t
y t
为参数）代入 2 8y x 可得
2 8 2 16 0,t t
1 2A B t ,t ,设 、 两点对应的参数分别为 则 1 1 8 2,t t 1 2· 16t t ……7 分
2
1 2 1 2 1 24 · 8 3.AB t t t t t t ……8 分
2O AB 1 sin ,4 2d 又点 到直线 的距离 9 分
1 1 28 3 2 6.2 2 2AOBS AB d .……10 分
23．（1）由题可得 1(2) | 2 | | 2 |f aa
，所以 12 2 1| |a aa
，
即
2
12 2 1
a
a aa
或
2
12 2 1
a
a aa
，
解得 2a 或 3 17 24 a ，故正实数 a 的取值范围为 3 17( , )4
．……5 分
（2）由题可得 1 1 1( ) | | | | | |f x x x a x x a aa a a
，
因为 0a ，所以 1 12 2a aa a
，当且仅当 1a 时取等号，
因为对任意的 (0, )a ， ( )f x m 恒成立，
所以 2m ，故实数 m 的取值范围为 ( ,2] ．……10 分
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