天津市和平区2021届高三数学下学期一模试题（Word版附答案）

和平区 2021 届高三下学期第一次质量调查（一模） 数学试题 一､选择题 1. 已知集合  0,1,2A  ，  2B x x  ，  2, 1,0C    ，则 A B C I U （ ） A.  0 B.  0,1,2 C.  2, 1,0,1  D.  2, 1,0,1,2  2. 设 a R ，则“ 2 3a  ”是“ 2 5 6 0a a   ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某校高三年级的全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：  20,40 ， 40,60 ， 60,80 ， 80,100 .若低于 60 分的人数是 90，则该校高三年级的学生 人数是（ ） A. 270 B. 300 C. 330 D. 360 4. 函数 2 tan 1 xy x   在 ,  的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设 1 28a  ， 3log 2b  ， 2log 3c  ，则 a ，b ， c 的大小关系为（ ） A. a b c  B. b a c  C. b c a  D. c a b  6. 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，则三棱锥 1 1A B CD 的体积为（ ） A. 4 3 B. 8 3 C. 4 D. 6 7. 已知抛物线 2 8y x 的准线经过双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的一个焦点，且双曲线的 两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（ ） A. 2 2 12 x y  B. 2 2 12 yx   C. 2 2 14 4 x y  D. 2 2 12 2 x y  8. 设函数   sin 2 cos 2f x x x  ，给出下列结论： ①  f x 的最小正周期为 ； ②  f x 在区间 ,8 8      内单调递增； ③将函数  y f x 的图象向左平移 4  个单位长度，可得到函数 cos2y x 的图象. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 已知 a R ，设函数   2 2 2 , 1 ln 1, 1 x ax a xf x x x        ，若关于 x 的方程   1 4f x x a   恰有 两个互异的实数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A.  ,0 B. 5 2 6 ,8       C.   5 2 6,0 ,8        D. 5 2 6 5, ,8 4              二､填空题 10. 设 i 是虚数单位，复数 1 2 i i   的虚部等于_________. 11. 在 5 2 3x x     的展开式中， 2x 的系数是___________. 12. 已知直线 : 2 0  l x y 与圆  2 2: 1 1C x y   相交于 A ， B 两点，则线段 AB 的长度 为___________. 13. 甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为 3 4 ，乙同学一次投篮命 中的概率为 2 3 ，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中 的概率是___________. 14. 已知 0a  ， 0b  ，则 2 2 3 2 a b a b    的最小值为___________ . 15. 如图，四边形 ABCD 中， / /AB CD ， 5AB  ， 2CD  ， 13BC  ， 0AC BD   ，M ， N 分别是线段 AB ，AD 上的点，且 2AM AN     ，则 AM AN  的最大值为___________. 三､解答题 16. 在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ， 2 7b  ， 2c  ， 3B  . （1）求 a 的值； （2）求 sin A ； （3）求  sin 2B A 的值. 17. 如图，在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，已知侧棱 1AA  底面 ABCD ，侧面 1 1ABB A 是正 方形， 1AB 与 1A B 交于点O ， AB BC ， / /AB CD ， 2AB  ， 1BC CD  . （1）求证： //AD 平面 1COC ； （2）求直线 1OC 与平面 1AB C 所成角的正弦值； （3）若点 P 在线段 1 1A D 上，且 1 1 1 2 3A P A D ，求二面角 1C AB P  的正弦值. 18. 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的右焦点为  1,0F ，离心率为 2 2 . （1）求椭圆C 的方程； （2）设经过点 F 的直线l 不与坐标轴垂直，直线 l 与椭圆C 相交于点 A ， B ，且线段 AB 的 中点为 M ，经过坐标原点O 作射线OM 与椭圆C 交于点 N ，若四边形OANB 为平行四边形， 求直线l 的方程. 19. 已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ， nb 是等差数列， 2 0S  ， 1 1 1b a  ， 3 2 5b a  ， 5 4 22 3b b b  . （1）求 na 和 nb 的通项公式； （2）设 nb 的前 n 项和为 nT ，  2 1 n n n n ac T  ， *n N . ①当 n 是奇数时，求 1n nc c  的最大值； ②求证： 2 1 1 n i i c   . 20. 已知函数   lnf x ax x ， a R . （1）当 1a  时，直线l 与  y f x 相切于点 2 2 3 3,e f e          ， ①求  f x 的极值，并写出直线l 的方程； ②若对任意的 x e 都有   m xmf x ex ≥ ， 0m  ，求 m 的最大值； （2）若函数     2g x f x x  有且只有两个不同的零点 1x ， 2x ，求证： 2 1 2x x e . 和平区 2021 届高三下学期第一次质量调查（一模） 数学试题 答案版 一､选择题 1. 已知集合  0,1,2A  ，  2B x x  ，  2, 1,0C    ，则 A B C I U （ ） A.  0 B.  0,1,2 C.  2, 1,0,1  D.  2, 1,0,1,2  【答案】C 2. 设 a R ，则“ 2 3a  ”是“ 2 5 6 0a a   ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 3. 某校高三年级的全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：  20,40 ， 40,60 ， 60,80 ， 80,100 .若低于 60 分的人数是 90，则该校高三年级的学生 人数是（ ） A. 270 B. 300 C. 330 D. 360 【答案】B 4. 函数 2 tan 1 xy x   在 ,  的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 5. 设 1 28a  ， 3log 2b  ， 2log 3c  ，则 a ，b ， c 的大小关系为（ ） A. a b c  B. b a c  C. b c a  D. c a b  【答案】C 6. 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，则三棱锥 1 1A B CD 的体积为（ ） A. 4 3 B. 8 3 C. 4 D. 6 【答案】B 7. 已知抛物线 2 8y x 的准线经过双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的一个焦点，且双曲线的 两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（ ） A. 2 2 12 x y  B. 2 2 12 yx   C. 2 2 14 4 x y  D. 2 2 12 2 x y  【答案】D 8. 设函数   sin 2 cos 2f x x x  ，给出下列结论： ①  f x 的最小正周期为 ； ②  f x 在区间 ,8 8      内单调递增； ③将函数  y f x 的图象向左平移 4  个单位长度，可得到函数 cos2y x 的图象. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 9. 已知 a R ，设函数   2 2 2 , 1 ln 1, 1 x ax a xf x x x        ，若关于 x 的方程   1 4f x x a   恰有 两个互异的实数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A.  ,0 B. 5 2 6 ,8       C.   5 2 6,0 ,8        D. 5 2 6 5, ,8 4              【答案】D 二､填空题 10. 设 i 是虚数单位，复数 1 2 i i   的虚部等于_________. 【答案】 3 5  11. 在 5 2 3x x     的展开式中， 2x 的系数是___________. 【答案】-15 12. 已知直线 : 2 0  l x y 与圆  2 2: 1 1C x y   相交于 A ， B 两点，则线段 AB 的长度 为___________. 【答案】 2 13. 甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为 3 4 ，乙同学一次投篮命 中的概率为 2 3 ，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中 的概率是___________. 【答案】 11 12 14. 已知 0a  ， 0b  ，则 2 2 3 2 a b a b    的最小值为___________ . 【答案】2 15. 如图，四边形 ABCD 中， / /AB CD ， 5AB  ， 2CD  ， 13BC  ， 0AC BD   ，M ， N 分别是线段 AB ，AD 上的点，且 2AM AN     ，则 AM AN  的最大值为___________. 【答案】 1 2 三､解答题 16. 在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ， 2 7b  ， 2c  ， 3B  . （1）求 a 的值； （2）求 sin A ； （3）求  sin 2B A 的值. 【答案】（1） 6；（2） 3 21 14 ；（3） 4 3 7  . 17. 如图，在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，已知侧棱 1AA  底面 ABCD ，侧面 1 1ABB A 是正 方形， 1AB 与 1A B 交于点O ， AB BC ， / /AB CD ， 2AB  ， 1BC CD  . （1）求证： //AD 平面 1COC ； （2）求直线 1OC 与平面 1AB C 所成角的正弦值； （3）若点 P 在线段 1 1A D 上，且 1 1 1 2 3A P A D ，求二面角 1C AB P  的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 3 ；（3） 2 2 3 . 18. 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的右焦点为  1,0F ，离心率为 2 2 . （1）求椭圆C 的方程； （2）设经过点 F 的直线l 不与坐标轴垂直，直线 l 与椭圆C 相交于点 A ， B ，且线段 AB 的 中点为 M ，经过坐标原点O 作射线OM 与椭圆C 交于点 N ，若四边形OANB 为平行四边形， 求直线l 的方程. 【答案】（1） 2 2 12 x y  ；（2） 2 2 2 2y x  或 2 2 2 2y x   . 19. 已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ， nb 是等差数列， 2 0S  ， 1 1 1b a  ， 3 2 5b a  ， 5 4 22 3b b b  . （1）求 na 和 nb 的通项公式； （2）设 nb 的前 n 项和为 nT ，  2 1 n n n n ac T  ， *n N . ①当 n 是奇数时，求 1n nc c  的最大值； ②求证： 2 1 1 n i i c   . 【答案】（1） na 的通项公式为   11 n na   ， nb 的通项公式为 2nb n ；（2）①最大值为 2 3 ；②证明见解析. 20. 已知函数   lnf x ax x ， a R . （1）当 1a  时，直线l 与  y f x 相切于点 2 2 3 3,e f e          ， ①求  f x 的极值，并写出直线l 的方程； ②若对任意的 x e 都有   m xmf x ex ≥ ， 0m  ，求 m 的最大值； （2）若函数     2g x f x x  有且只有两个不同的零点 1x ， 2x ，求证： 2 1 2x x e . 【答案】（1）①极小值为 1 e  ，没有极大值，线l 的方程为 2 35 3 3 0x y e   ；②最大值为 e ； （2）证明见解析.