北师大版九年级数学上册第二章教学课件

第二章 一元二次方程 2.1认识一元二次方程 2.1.1 一元二次方程 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式. （重点） 3.了解一元二次方程的根的概念. （重点） 4.能根据实际问题列一元二次方程. （重点、难点） 学习目标 新课导入 知识回顾 判断下列式子是否是一元一次方程： 2 0.3 5x =+ 9 6.5 2 x =+ 11 2 x =+ - 一元一次方程 （1）只有一个未知数 （2）未知数的指数是一次 （3）方程的两边都是整式 新课导入 情境导入 在设计人体雕像时， 使雕像的上部 (腰以上)与下部(腰以下) 的高度比， 等于下部与全部(全身)的高度比， 可以增加视觉美 感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高? 解：如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有关 系： AC∶ BC＝BC∶ 2，即BC2＝2AC. 设雕像下部高 x m，可得方程x2＝2(2－x). 整理，得x2＋2x－4＝0. A C B 新课导入 x2＋2x－4＝0 这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的 最高次数是2. 思考 （1）如何解这类方程? （2）如何用这类方程解决一些实际问题? 新课讲解 知识点1 一元二次方程的定义 合作探究 问题一：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm， 宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然 后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方 盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2， 那么铁皮各角应切去多大的正方形? 新课讲解 设切去的正方形的边长是 x cm，则盒底 的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm. 根据方盒的底面积为3 600cm2，得 (100－2x)(50－2x)＝3 600. 整理，得 4x2－300x＋1 400=0. 化简，得 x2－75x＋350=0. 解上面方程即可得出所切正方形的具体尺寸. x cm (100-2x) cm (50-2x) cm 化简后的方程中未 知数的个数和最高 次数各是多少？ 分析： 新课讲解 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一 场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， 比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 全部比赛场数为 4×7=28. 设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他 (x－1) 个队各赛一场， 因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所 以全部比赛共 场. 列方程 .整理，得 . 解上面方程即可得出参赛队数. ( )x x1 1 2 - ( )x x1 1 28 2 - = x x2 56- = 分析： （2）方程中只含有 未知数，未知数的最高次数是 ． （1）这些方程的两边都是 ．整式 2 观察由上面的问题得到的方程有什么特点？ 新课讲解 讨论 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知 数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程． 结论 x2−x=56 x2−75x+350=0 x2+2x−4=0 一个 新课讲解 例 1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2；③x2－x－2＝0； ④x2－2＋5x3－6x＝0； ⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二 次方程的有 个. 1 x 1 ①含有两个未知数. ②不是整式方程. ④未知数的最高次数不是2. ⑤整理后未知数的最高次数不是2. ③符合一元二次方程的“三要素”. 分析： × √× × × 典例分析 新课讲解 练一练 如果方程(m－3)xm2－7－x ＋3＝0是关于x一元二次方程， 那么m的值为(  ) A．±3  B．3 C．－3  D．以上都不对 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是(  ) A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0 C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0 1 x D C 1 2 新课讲解 知识点2 一元二次方程的一般形式 为什么要限制 a ≠0， b， c 可以为0吗？ 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经 过整理，都能化成如下形式： ax²+bx+c=0 (a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 . 新课讲解 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 二次项 一次项 常数项指出方程各项的 系数时要带上前 面的符号哟. 二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项： 新课讲解 例 2 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并 写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． 典例分析 解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2－8x－10＝0. 所以二次项系数为3，一次项系数为－8， 常数项为－10. 新课讲解 知识点03 一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方 程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 练一练 下面哪些数是方程 x2 – 4x +3 = 0 的解? -2，0 ，1，2，3，4. 解：1和3. 新课讲解 例 3 已知a是方程 x2+2x-2=0 的一个实数根，求 3a2+6a+ 2 019的值. 典例分析 解：由题意，得a2+2a-2=0，即a2+2a=2. ∴ 3a2+6a+2 019 =3(a2+2a) =3×2 +2 019 =2 025. 课堂小结 一 元 二 次 方 程 只含有一个未知数 未知数的最高次数是2 是整式方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解（根） 二次项系数 一次项系数 常数项 1. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别 是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0 C 当堂小练 2. 下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？ －4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4. 解：－4， 3. 当堂小练 3. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. 有一根1 m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06 m2的平 方的长方形? 解：设长方形的长为x m，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06. 整理，得50x2-25x+3=0. D 拓展与延伸 1. 若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 . 2. 若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 . 3. 若4a+2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 . 1 -1 2 第二章 一元二次方程 2.1认识一元二次方程 2.1.2 一元二次方程的解及其估算 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.一元二次方程的解 2.一元二次方程解的估算（重点） 学习目标 新课导入 知识回顾 1.一元二次方程的定义是什么？ 2.一元二次方程的形式有哪些？ 新课导入 • 什么是方程的解？ • 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做方程的 解. • 什么叫做一元一次方程？ • 只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1”的 整式方程，叫做一元一次方程.它的一般形式是： ax﹢b﹦0(a,b为常数,a≠0) 新课讲解 知识点1 一元二次方程的解 合作探究 1.学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底 增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 设这两年的年平均增长率为x,已知去年年底的图书 数是5万册,则今年年底的图书数应是5(1+x)万册.明年 年底的图书数为5(1+x)(1+x)万册,即5(1+x)2(万册).可 列得方程 5(1+x)2=7.2 整理可得 5x2+10x-2.2=0 新课讲解 1. 一元二次方程的解：能使一元二次方程两边的值相 等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一 元二次方程的根． 2. 验证一个未知数的值是否是一元二次方程的根，只 需将这个未知数的值分别代入方程两边，若所得的 值相等，则这个未知数的值就是方程的根，否则就 不是方程的根． 新课讲解 例1 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3 导引：根据一元二次方程的根的定义，将这 些数作为未知数的值分别代入方程中，能够 使方程左右两边相等的数就是方程的根． 解：－1，2. 新课讲解 讨论 结论 判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法： 将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等， 则是方程的根；若不相等，就不是方程的根． 如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根， 那么字母b的值为(  ) A. 3  B. －3  C. 4  D．－4 根据根的意义，将x＝2直接代入方程的左右两边，就可得到以b为 未知数的一元一次方程，求解即可． B 新课讲解 例 典例分析 1 方程x2+x－12＝0的两个根为(  ) A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3 D 新课讲解 练一练 1 下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可 知方程x2－x＝2的解是(  ) A. x＝－1 B. x＝0 C. x＝2 D. x1＝－1，x2＝2 x －2 －1 0 1 2 3 … x2－x 6 2 0 0 2 6 … D 新课讲解 知识点2 一元二次方程解的估算 对于前一课第一个问题，你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x(m) 吗？我们知道，x满足方程(8－2x)(5－2x)＝18. (1)x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由． (2)你能确定x的大致范围吗？ (3)填写下表： (4)你知道所求宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？ 与同伴交流． x 0.5 1 1.5 2 (8－2x)(5－2x) 28 1018 4 新课讲解 （1）因为x 表示宽度，所以x不可能小于0；根据题意，8-2x 和 5-2x 分别表示地毯的长和宽，所以8-2x >0, 5-2x>0,因此 x 不 可能 大于4，也不可能大于2.5. （2）通过上面的分析，可以得到0